Movatterモバイル変換

Naar inhoud springen

Breuk (wiskunde)

Koppelingen bewerken

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

(Doorverwezen vanafBreukgetal)

Het toepassen van breuken bij het opdelen van een taart. De taart is verdeeld in vier delen, waarvan één deel is weggenomen. Elk deel is¹⁄₄ deel van de taart.

Eenbreuk ofgebroken getal is de onuitgewerkte deling van eengeheel getal, de teller, door een ander geheel getal, de noemer. De teller telt het aantal door het in de noemer gegeven geheeltallige delen. Tussen de teller en de noemer staat een streep: de breukstreep. Zo geeft in de breuk³⁄₄ de teller 3 aan dat de breuk bestaat uit 3 delen ter grootte van de door de noemer 4 aangegeven delen¹⁄₄. Beschouwt men de breuk als deling, dan is de teller het deeltal en de noemer de deler. Het resultaat van de deling is hetquotiënt van die twee getallen.

Men spreekt over een echte breuk wanneer deabsolute waarde van de teller kleiner is dan die van de noemer, bijvoorbeeld¹⁄₅ of²⁄₃, en over een onechte breuk wanneer dat niet zo is, bijvoorbeeld¹⁄₁ of⁶⁄₅. Echte breuken hebben een waarde die absoluut gezien kleiner is dan 1, onechte breuken leveren een waarde op die absoluut gezien groter of gelijk is aan 1. Een breuk met teller 1, bijvoorbeeld¹⁄₄₀, noemt men een stambreuk.^[1]

Een breuk is een voorstelling van eenrationaal getal en ieder rationaal getal kan als breuk worden geschreven. Bij hetrekenonderwijs in hetbasisonderwijs vormen breuken de inleiding tot het delen. Getallen die niet als breuk zijn te schrijven zijnirrationaal.

Bij een deling van een grootheid door een andere wordt net zoals bij een breuk het deeltal de teller en de deler de noemer genoemd en met een breukstreep genoteerd.

De wiskundigeSimon Stevin heeft de naam noemer voor de deler in een breuk bedacht.^[2] Op basisscholen wordt het rekenen met breuken in groep 6 geïntroduceerd.

Schrijfwijzen

[bewerken |brontekst bewerken]

Een breuk wordt genoteerd met de teller en de noemer gescheiden door een breukstreep, een horizontale (1/2) of eenschuine streep (¹⁄₂), in lopende tekst ook als 1/2.

Teller: De teller is het getal boven de streep. De teller geeft aan, telt, hoe vaak de noemer voorkomt. In de breuk3/5 is 3 de teller. Als iets in een aantal gelijke stukken is verdeeld, geeft de teller 1 aan dat het om een zo'n deel gaat, 2 om twee delen enzovoort.

Noemer: De noemer is het getal onder de streep. In3/5 is 5 de noemer. Is iets in een aantal gelijke stukken verdeeld, dan geeft de noemer welk deel heet. Is iets in vijf gelijke stukken verdeeld, dan is zo'n stuk een vijfde. De naam van het deel is gelijk aan hetrangtelwoord van het aantal stukken waarin het is verdeeld.

Onechte breuk

[bewerken |brontekst bewerken]

Bij onechte breuken kan de breuk als het gehele aantal keer worden geschreven dat de noemer in de teller gaat en het overblijvende deel, derest, als echte breuk. Zo wordt7/3 geschreven als2 1/3. Het gehele deel heet ook hetaliquote deel van de breuk.

Gelijknamige breuk

[bewerken |brontekst bewerken]

Als twee breuken dezelfde noemer hebben noemt men dat gelijknamige breuken. Gelijknamige breuken kunnen wordenopgeteld door de tellers bij elkaar op te tellen.

Voorbeeld: ${\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}={\frac {5}{7}}$

Als breuken niet gelijknamig zijn kunnen ze gelijknamig worden gemaakt.

Voorbeeld: ${\frac {3}{8}}+{\frac {1}{6}}={\frac {3\times 3}{8\times 3}}+{\frac {1\times 4}{6\times 4}}={\frac {9}{24}}+{\frac {4}{24}}={\frac {13}{24}}$

Namen

[bewerken |brontekst bewerken]

Enkele breuken hebben in het Nederlands een eigen naam:

1/2 eenhalf
1/4 eenkwart
3/4driekwart
1 1/2 anderhalf

Tiendelige breuk

[bewerken |brontekst bewerken]

Een aparte categorie wordt gevormd door detiendelige of decimale breuken. Dat zijn breuken in hetdecimale talstelsel met eenmacht van 10 als noemer die niet als breuk worden genoteerd, maar als decimaal getal. Eerst wordt het 'gehele deel' van de breuk opgeschreven, bij echte breuken is dat 0, dan een komma en daarna dedecimalen. In sommige landen wordt in plaats van een komma een punt geschreven.

Voorbeelden

[bewerken |brontekst bewerken]

{\tfrac {1}{10}}={\tfrac {1}{10^{1}}}=0{,}1

(met 1cijfer achter de komma)

{\tfrac {1}{100}}={\tfrac {1}{10^{2}}}=0{,}01

(met 2 cijfers achter de komma)

{\tfrac {2}{100}}=0{,}02

0{,}0123={\tfrac {123}{10^{4}}}={\tfrac {123}{10000}}

3{,}14159=3{\tfrac {14159}{100000}}

Bewerkingen

[bewerken |brontekst bewerken]

Vereenvoudigen

[bewerken |brontekst bewerken]

Het is het handigst voordat men breuken gaat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen ze eerst zo veel mogelijk te vereenvoudigen en bij onechte breuken, totdat alle berekeningen zijn uitgevoerd, het gehele deel niet apart te schrijven:2 1/3 blijft7/3.

Van iedere breuk bestaat een eenvoudigste vorm, waarin teller en noemer zo klein mogelijk zijn. De eenvoudigste vorm van13/39 =1/3: de breuk is niet weer te geven met kleinere gehele getallen dan 1 en 3. Het 'zo klein mogelijk maken' noemt men vereenvoudigen. De efficiëntste methode is de teller en de noemer te ontbinden inpriemgetallen. De gemeenschappelijke getallen boven en onder de breuklijn kan men schrappen om zo tot de verst vereenvoudigde breuk te komen.

{\frac {60}{96}}={\frac {2\times 2\times 3\times 5}{2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3}}={\frac {(2\times 2\times 3)\times 5}{(2\times 2\times 3)\times 2\times 2\times 2}}={\frac {5}{2\times 2\times 2}}={\frac {5}{8}}

Dit onderdeel van het rekenen met breuken wordt als het meest gecompliceerd beschouwd.

Als een breuk zo ver als mogelijk wordt vereenvoudigd, ontstaat een breuk waarvan de teller en de noemer degrootste gemene deler 1 hebben.

Optellen

[bewerken |brontekst bewerken]

Voor hetoptellen van breuken moeten deze eerst gelijknamig worden gemaakt, dat wil zeggen: met hetzelfde getal in de noemer; men zegt ook "op één noemer brengen". Beide breuken moeten dezelfde noemer krijgen. Als gemeenschappelijke noemer komt het product van de afzonderlijke noemers in aanmerking, maar in het algemeen is hetkleinste gemene veelvoud (kgv) beter.

Een getal verandert niet als het met 1 vermenigvuldigd wordt, dus mag men de teller en de noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen (dit is maal 1):

{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\times 1={\frac {1}{2}}\times {\frac {3}{3}}={\frac {1\times 3}{2\times 3}}={\frac {3}{6}}

Gelijknamig maken:

{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}={4\times 1 \over 4\times 3}+{3\times 1 \over 3\times 4}={\frac {4}{12}}+{\frac {3}{12}}={\frac {7}{12}}

1{\frac {1}{4}}+2{\frac {2}{5}}=1{5\times 1 \over 5\times 4}+2{4\times 2 \over 4\times 5}=1{\frac {5}{20}}+2{\frac {8}{20}}=3{\frac {13}{20}}

Voorbeeld van het gebruik van het kleinste gemene veelvoud. Het kgv van 6 en 8 is 24= 4 × 6= 3 × 8, dus

{5 \over 6}+{7 \over 8}={4\times 5 \over 4\times 6}+{3\times 7 \over 3\times 8}={\frac {20}{24}}+{\frac {21}{24}}={\frac {41}{24}}=1{\frac {17}{24}}

Aftrekken

[bewerken |brontekst bewerken]

Bij hetaftrekken gaat men op dezelfde manier te werk:

{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}={4\times 1 \over 4\times 3}-{3\times 1 \over 3\times 4}={\frac {4}{12}}-{\frac {3}{12}}={\frac {1}{12}}

Vermenigvuldigen

[bewerken |brontekst bewerken]

Met gehele getallen

[bewerken |brontekst bewerken]

Bij hetvermenigvuldigen van een breuk met een geheel getal wordt de teller van de breuk met dat getal vermenigvuldigd. Voorbeelden:

3\times {1 \over 4}={3 \over 4}

en

5\times {3 \over 7}={15 \over 7}=2{1 \over 7}

Met breuken

[bewerken |brontekst bewerken]

Bij het vermenigvuldigen van een breuk met een andere breuk wordt de teller van de eerste breuk vermenigvuldigd met de teller van de tweede breuk en met de noemers gebeurt hetzelfde.

{2 \over 3}\times {4 \over 7}={2\times 4 \over 3\times 7}={8 \over 21}

Nog twee voorbeelden:

{1 \over 5}\times {3 \over 7}={1\times 3 \over 5\times 7}={3 \over 35}

{5 \over 6}\times {7 \over 8}={5\times 7 \over 6\times 8}={35 \over 48}

Het vermenigvuldigen van breuken met gehele getallen kan op dezelfde manier bekeken worden:

5={5 \over 1}

5\times {3 \over 7}={5 \over 1}\times {3 \over 7}={{5\times 3} \over {1\times 7}}={15 \over 7}=2{1 \over 7}

Delen

[bewerken |brontekst bewerken]

Delen is het vermenigvuldigen met hetomgekeerde. Dat houdt in dat als men een getal deelt door een breuk, zega/b, men van die breuk de teller en de noemer verwisselt en het getal vervolgens vermenigvuldigt met de omgedraaide breukb/a. Dat geldt zowel bij het delen van hele getallen als bij het delen van breuken.

2:{\frac {1}{4}}=2\times {\frac {4}{1}}={{2\times 4} \over 1}=8

{\frac {1}{2}}:{\frac {3}{5}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {5}{3}}={1\times 5 \over 2\times 3}={\frac {5}{6}}

De achtergrond van deze berekening is dat men de breuk met 1 mag vermenigvuldigen zonder dat deze daardoor verandert. In het tweede voorbeeld ziet dat er als volgt uit:

{\frac {1}{2}}:{\frac {3}{5}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {3}{5}}}={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {3}{5}}}\times 1={\frac {\frac {1}{2}}{\frac {3}{5}}}\times {\frac {\frac {5}{3}}{\frac {5}{3}}}={\frac {{\frac {1}{2}}\times {\frac {5}{3}}}{{\frac {3}{5}}\times {\frac {5}{3}}}}={\frac {{\frac {1}{2}}\times {\frac {5}{3}}}{\frac {3\times 5}{5\times 3}}}={\frac {{\frac {1}{2}}\times {\frac {5}{3}}}{1}}={1\times 5 \over 2\times 3}={\frac {5}{6}}

Het eerste voorbeeld is ook als volgt toe te lichten: als men twee taarten elk in vier even grote stukken snijdt, resulteert dat in acht stukken. Ook het delen van breuken is zo te beschrijven: als menanderhalve (1+¹⁄₂ =³⁄₂) euro uitgeeft aan artikelen die een halve euro per stuk kosten, krijgt men drie van die artikelen, want3/2 :1/2 =3/2 ×2/1 =3 × 2/2 × 1 = 3.

Algemene algebraïsche rekenregels

[bewerken |brontekst bewerken]

Vanaf hier wordt de punt ( · ) als vermenigvuldigingsteken gebruikt.

Optellen en aftrekken

[bewerken |brontekst bewerken]

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}}

{\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d-b\cdot c}{b\cdot d}}

Vermenigvuldigen en delen

[bewerken |brontekst bewerken]

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}

{\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}

Vereenvoudigen

[bewerken |brontekst bewerken]

{\frac {a}{b}}={\frac {a:x}{b:x}}

Kruislings vermenigvuldigen

[bewerken |brontekst bewerken]

Metkruislings vermenigvuldigen kan eenvergelijking tussen twee breuken worden vereenvoudigd. Daarbij wordt de noemer van het linkerlid vermenigvuldigd met de teller van het rechterlid en de teller van het linkerlid met de noemer van het rechterlid. Beide producten stelt men dan aan elkaar gelijk. De vergelijking

{\frac {9}{15}}={\frac {12}{x}}

wordt door kruislings vermenigvuldigen vereenvoudigd tot

9x=180

,

waaruit weer volgt

x=20

Muziek

[bewerken |brontekst bewerken]

Half, kwart, achtste en dergelijke worden ook in demuziek toegepast, omdat de relatieve lengte van eenmuzieknoot en van eenrust (korte pauze) hiermee aangeduid wordt. Eenhele noot duurt vier tellen, een halve noot twee tellen, een kwartnoot één tel enzovoorts. Er bestaan ook achtste, zestiende en zelfs tweeëndertigste noten.

De maatsoort wordt eveneens met een breukgetal aangegeven; bijvoorbeeld de driekwartsmaat (3/4)-maat (wals) of de zesachtstemaat (6/8-maat), met de betekenis van respectievelijk drie kwartnoten en zes achtste noten in een maat. Tevens is het ontstaan van detoonladder gebaseerd op series breukgetallen. Ook dereine stemming gaat uit van deze getallen.

Websites

[bewerken |brontekst bewerken]

TD, "[microcursus] rekenen met breuken",opwetenschapsforum.nl.

Commons heeft mediabestanden in de categorieFractions.

Voetnoten

↑Wisfaq
↑Margriet van der Heijden. Oerknal: dat is pas klare taal, 15 mei 2021. voor hetNRC Handelsblad

Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Breuk_(wiskunde)&oldid=68893966"

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp