Eenaxioma (ofpostulaat) is in dewiskunde en delogica, sindsEuclides enAristoteles, een nietbewezen, maar als grondslag aanvaardebewering. Een axioma dient als grondslag voor het bewijs van andere wiskundige beweringen ofstellingen. Een axioma maakt deel uit van eendeductief systeem. In dewiskundige logica heet een deductief systeem eentheorie. Bij het opstellen van een theorie gelden de volgende beperkingen:
- axioma's mogen niet met elkaar integenspraak zijn;
- een axioma mag niet uit andere axioma's afgeleid kunnen worden.
Als axioma's met elkaar in tegenspraak zijn, dan is een theorieinconsistent. Een axioma dat uit andere axioma's afgeleid kan worden, is geen axioma, maar een bewezenstelling. Eenverzameling van axioma's is dan ook de kleinst mogelijke verzameling van veronderstellingen die een theorie mogelijk maken.
Het woord komt van het Griekse axíōma (ἀξίωμα) 'dat wat waardig of geschikt wordt geacht' of 'dat wat zichzelf aanbeveelt als evident'.
Hoewel "axioma" en "postulaat" feitelijk synoniem zijn, is het gebruikelijk om "postulaat" te gebruiken in een bepaalde fysieke context en "axioma" in een zuiver abstracte context (bv. delogica).
De rekenkunde op basis van deaxioma's van Peano is een voorbeeld van een theorie. Deze theorie definieert denatuurlijke getallen met onder meer de volgende vijf axioma's:
- Nul is een getal.
- Elk getal heeft een opvolger en die opvolger is ook een getal.
- Nul is niet de opvolger van enig getal.
- Verschillende getallen hebben verschillende opvolgers.
- Als nul een bepaalde eigenschap heeft en als uit de veronderstelling dat een getal die eigenschap heeft, bewezen is dat zijn opvolger die ook heeft, dan heeft elk getal die eigenschap.
Ook denatuurkunde kent axioma's, bijvoorbeeld het postulaat dat delichtsnelheid in eenvacuüm hetzelfde is voor alle waarnemers die met constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen.
Twee belangrijke eigenschappen van een theorie zijnconsistentie envolledigheid. Een theorie isconsistent als er binnen de theorie geen tegenspraak afgeleid kan worden. Een theorie isvolledig als elke ware stelling die geformuleerd is in deformele taal van de theorie, binnen die theorie afgeleid (bewezen) kan worden.
De hierboven genoemde rekenkundige theorie van Peano is consistent, maarniet volledig -Gödels onvolledigheidsstelling bewijst dat elke consistente theorie die ten minste Peano's rekenkunde omvat, een ware stelling bevat die onbewijsbaar is binnen die theorie. Die theorie is daarmee dus onvolledig.
- beginsel
- grondregel
- grondstelling
- postulaat
Eenpresuppositie is ook een voor waar aangenomen stelling, maar een die sterk afhankelijk is van de gegeven context.
