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Perduto cartesiano

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NaMatemática, dados douscunjuntosX iY, lperduto cartesiano (óperduto direto) de ls dous cunjuntos (scrito cumoX ×Y) ye l cunjunto de todos lspares ourdenados cujo purmeiro eilemiento pertence laX i l segundo, laY.

X×Y={(x,y)∣x∈X∧y∈Y}.{\displaystyle X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X\;\wedge \;y\in Y\}.}

L perduto cartesiano recibe sou nome deRené Çcartes, cuja formulaçon de lageometrie analítica dou ourige l'este cunceito.

Por eisemplo, se l cunjunto X ye l de ls treze eilemientos de lbaralho anglés

X={La,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2}{\displaystyle X=\{\mathrm {La} ,\mathrm {K} ,\mathrm {Q} ,\mathrm {J} ,10,9,8,7,6,5,4,3,2\}}

i l Y ye l de ls quatro naipes:

Y = {♠, &heiarts;,♦, &clus;}

anton l perduto cartesiano desses dous cunjuntos será l cunjunto culas 52 cartas de l baralho:

X ×Y = {(La,♠), (K,♠), ..., (2,♠), (La, &heiarts;), ..., (3, &clus;), (2, &clus;)}.

Outro eisemplo ye l praino bidimensionalR×R, adondeR ye l cunjunto denúmaros reales i ls pares ourdenados ténen la forma de (x,y), adondex iy son númaros reales (beija lsistema de cordenadas cartesiano). Subconjuntos de l perduto cartesiano son chamados derelaçones binárias, ifunçones, un de ls cunceitos mais amportantes de la matemática, son defenidas cumo tipos speciales de relaçones.

Teorie de ls Cunjuntos

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Nateorie de ls cunjuntos, i, an special, na sue formulaçon pulsaxiomas de Zermelo-Fraenkel, la defeniçon de

X×Y={(x,y) | x∈X∧y∈Y}{\displaystyle X\times Y=\{(x,y)\ |\ x\in X\land y\in Y\}\,}

nun ye sastifatória. Debemos custruir, usando ls axiomas, un cunjunto suficientemente grande para cunter todos lspares ourdenados, i, depuis, reduzir este cunjunto al perduto escalar pulaxioma de la separaçon.

Cumo unpar ourdenado ye defenido por(la,b)={{la},{la,b}}{\displaystyle (la,b)=\{\{la\},\{la,b\}\}\,}, tenemos qu'eilhes son cunjuntos formados por subconjuntos de l'ounion de ls cunjuntosX iY. Ó seia, cada par ourdenado ye unsubconjunto de lcunjunto de las partes deX∪Y{\displaystyle X\cup Y\,}. Antoce, laxioma de la poténcia debe ser aplicado dues bezes subre laounion deX iY, i subre este cunjunto aplica-se laxioma de la separaçon.

Splicitamente:

X×Y={p∈P(P(X∪Y)) | p={{x},{x,y}},x∈X,y∈Y}{\displaystyle X\times Y=\{p\in P(P(X\cup Y))\ |\ p=\{\{x\},\{x,y\}\},x\in X,y\in Y\}\,}

Debe-se amostrar quenaide quedou de fura, ó seia, que qualquiera par ourdenado pertence al perduto scalar. Para esso, suponha quela∈X∧b∈Y{\displaystyle la\in X\land b\in Y\,}. Anton, pula defeniçon d'ounion,la∈X∪Y∧b∈X∪Y{\displaystyle la\in X\cup Y\land b\in X\cup Y\,}. Pula defeniçon de lcunjunto de las partes,{la}∈P(X∪Y)∧{la,b}∈P(X∪Y){\displaystyle \{la\}\in P(X\cup Y)\land \{la,b\}\in P(X\cup Y)\,}. Finalmente, aplicando-se de nuobo la defeniçon de lcunjunto de las partes, tenemos que(la,b)={{la},{la,b}}∈P(P(X∪Y)){\displaystyle (la,b)=\{\{la\},\{la,b\}\}\in P(P(X\cup Y))\,}.

Cardinal

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Lcardinal de l perduto cartesiano de dous cunjuntos ye lperduto de ls cardinales de ls cunjuntos andebiduales:

|X×Y|=|X|⋅|Y|{\displaystyle |X\times Y|=|X|\cdot |Y|}

Generalizaçon

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L perduto cartesiano puode ser generalizado para mais de dous cunjuntos:

X1 × ... ×Xm = { (x1,... ,xm) |x1 pertence laX1 i ... ixm pertence laXm }

ó antuitibamente (X1 × ... ×Xm-1) ×Xm.

Un eisemplo ye l seguinte. Seia l cunjunto L cun trés eilemientos:

{1, 2, 3}

l cunjunto M cun dous eilemientos:

{la,b},

i l cunjunto N cun 2 eilemientos:

{$, %},

l perduto cartesiano L × M × N ye:

{(1 ,la, $), (1 ,la ,%), (2 ,la ,$), (2 ,la ,%), (3 ,la ,$), (3 ,la ,%), (1 ,b, $), (1 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (3 ,b ,$), (3 ,b ,%)}

Un outro eisemplo desso ye lspácio euclidiano de trés dimensonesR×R×R{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }.

Notaçon potencial

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Para spressar l perduto cartesiano dun cunjunto por si mesmo stá permitida la notaçon potencial:

X×X×⋯×X⏟=Xnnvezes{\displaystyle {\begin{matrix}&\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} &=X^{n}\\&n\mathrm {vezes} \end{matrix}}}

Assi, l mencionado spácio euclidiano tridimensional puode-se repersentar cumoR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.

Perduto anfenito

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L'ouserbaçon de que la strutura de l perduto cartesianoXm{\displaystyle X^{m}\,} ten uastrutura semelhante al cunjunto de las funçones de domínio {1, 2, ..., m} i eimaigeX sugere que l perduto cartesiano puoda ser generalizado para anfenitas parcelas, cumo un cunjunto de funçones.

SeiaΛ{\displaystyle \Lambda \,} un cunjunto (nó-bazio), chamado de cunjunto de índices. SeiaXλ{\displaystyle X_{\lambda }\,} un cunjunto defenido para cada índiceλ∈Λ{\displaystyle \lambda \in \Lambda \,} (eilhes puoden ser eiguales ó nó). Anton lperduto destes cunjuntos ye defenido por:

SeiaΛ=N⋆{\displaystyle \Lambda =\mathbb {N^{\star }} \,}, ó seia, stamos andexando puls númaros naturales (sin l zero). SeiaXi={1,2,…,i}{\displaystyle X_{i}=\{1,2,\ldots ,i\}\,}. Anton∏Xi{\displaystyle \prod X_{i}\,} ye l cunjunto de las sequéncias de númaros naturales an que l purmeiro termo ye 1, l segundo termo ye 1 ó 2, l terceiro termo ye 1, 2 ó 3, etc.

Axioma de la Scolha

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Un resultado paradoxal ye que, usando ls axiomas usuales de la Teorie de ls Cunjuntos sin ancluir laxioma de la scolha, nun ye possible amostrar que l perduto de cunjuntos nó-bazios ten algun eilemiento.

Projeçon canónica

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Las funçones mais amportantes que ten cumo domínio unperduto cartesiano son las projeçones canónicas.

Ne l causo fenito, lai-ésima projeçon canónica ye la funçon que retorna lai-ésima cordenada.

Ó seia:

Ne l causo anfenito, cumo cada eilemiento deΠλXλ{\displaystyle \Pi _{\lambda }X_{\lambda }\,} ye ua funçon, tenemos que:

π1(x,y)=x{\displaystyle \pi _{1}(x,y)=x\,}
π2(x,y)=y{\displaystyle \pi _{2}(x,y)=y\,}
π10(2,4,8,16,…)=1024{\displaystyle \pi _{10}(2,4,8,16,\ldots )=1024\,}

Perdutos de Struturas Matemáticas

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Bárias struturas matemáticas son mantidas, dua forma natural (canónica) al se passar pa ls perdutos cartesianos. Por eisemplo:

Todos estes cunceitos puoden ser unificados usando-se lperduto categorial, defenido naTeorie de las catadories.

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