Kalkulus (Bahasa Latin:calculus terbitancalx "batu kerikil; batu kecil; bara"[1] untuk menghitung[2]) adalah cabang ilmu matematik yang merangkumihad,terbitan,kamiran, danderet tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimanageometri adalah ilmu mengenai bentuk danalgebra adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus mempunyai aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknikal; serta dapat menyelesaikan pelbagai masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan algebra asas.[3]
Kalkulus mempunyai dua cabang utama, iaitukalkulus pembezaan dankalkulus kamiran yang saling berhubungan melaluiteorem asas kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematik lain yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakananalisis matematik.[3]
Pada zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan teratur.[4] Pengiraanisipadu dan luas yang utama dalam kalkulus kamir ditelusuri kembali padaPapirus Moskwa zamanMesir Purba s. 1800 SM yang menunjukkan kemampuan menghitung isipadupiramida terpancung.[5]Arkhimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakanheuristik yang menyerupaikalkulus integral.[6]
Pada zaman pertengahan,Aryabhata diPatalipura (kiniPatna diIndia) menggunakan konsep kecilananta atau "tak terhingga" tahun 499 M dan menggambarkan masalah kiraan falak dalam bentukpersamaan membeza dasar.[7] Persamaan ini kemudian mendorongBhāskara II pada abad ke-12 mengembangkan bentuk awalturunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorem Rolle".[8] Sekitar tahun 1000,Ibnu Haitham menjadi orang pertama yang merumuskan hitungan hasil jumlah pangkat empat, dan mengembangkan suatu kaedah permusuan umum dari hasil kuasa kamir integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral dengan menggunakaninduksi , dia m.[9] Pada abad ke-12,Sharaf al-Din al-Tusi di Iran menemukanturunan darifungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus pembeza.[10] Pada abad ke-14,Madhava bersama ahli falak seperjuangannya di sekolah falakKerala menjelaskan masalah khusus darisiri Taylor[11] yang dituliskan dalam teksYuktibhasa.[12][13][14]
Penemuan kiraan berkaitan bidang ini muncul sendiri di Jepun olehSeki Kōwa pada awal abad ke-17. Di Eropah, beberapa matematikawan sepertiJohn Wallis danIsaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus.[15]James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dariteorema dasar kalkulus pada tahun 1668.[16]Sir Isaac Newton danGottfried Wilhelm Leibniz telah menjalankan penyelidikan secara berasingan dan telah memberi sumbangan terbesar dalam kajian tersebut. Penyelidikan Sir Isaac Newton bermula apabila University of Cambridge ditutup pada tahun 1665 yang menyebabkan beliau terpaksa pulang ke tempat asalnya iaitu Lincolnshire.
Selama 18 bulan di sana, beliau telah mencipta ‘Method of Fluxions’, teorigraviti dan teoricahaya. Berikutan dengan penciptaan teori-teori tersebut, beliau telah menulis sebuah buku yang berjudul ‘De Methodis Serierum et Fluxionum’ pada tahun 1671. Namun, Sir Isaac Newton telah gagal untuk menerbitkan buku tersebut. Buku tersebut tidak diterbitkan sehingga John Colson berjaya menerbitkannya dalam versiBahasa Inggeris pada tahun 1736. Walau bagaimanapun, buku hasil tulisan Sir Isaac Newton tidak mempunyai simbol dan rumus.
Gottfried Wilhelm Leibniz telah memulakan penyelidikan beliau pada tahun1673. Beliau merupakan tokoh yang telah mencipta simbol pembezaan dan pengamiran. Penerbitan pertamanya adalah pada tahun 1684 iaitu ‘Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus’ dalam ‘Acta Eruditorum’, sebuah surat khabar yang diwujudkan pada tahun 1682 di Leipzig. Kemudian dua orang adik-beradik Bernoulli iaitu Jacob dan Johann mengambil idea tersebut dan mengembangkannya. Sejak kurun ke-17, penyelidikan tentang kalkulus telah mula berkembang dan mencapai tahap seperti yang sedia ada sekarang.
Definisi had: Katakan hadf(x) ketikax mendekati titikp adalahL apabila untuk setiap bilanganε > 0 apapun, terdapat bilanganδ > 0, sedemikian rupanya:
Kalkulus pada umumnya dibangunkan dengan memanipulasi sejumlah kuantiti yang sangat kecil. Objek ini, yang boleh diperlakukan sebagai nombor, adalah sangat kecil. Sebuah bilangandx yanginfinitesimalnya dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun tentang deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan nyata positif apapun. Setiap integer yang didarab dengan infinitesimal tetaplah infinitesimal, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi hotel Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi infinitesimal.
Pada abad ke-19, konsep infinitesimal ini digantikan oleh konsep had. Had ini menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan keputusan daripada nilai input berdekatan. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah segugusan teknik memanipulasikan had-had tertentu.
Terbitan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap pembolehubahnya. Proses menemukan terbitan dari suatu fungsi disebut sebagai pembezaan.
Secara matematik, turunan fungsi ƒ(x) terhadap pemboleh ubah x adalah ƒ' yang nilainya pada titik x ialah:
,
dengan syarat wujudnya limit tersebut. Jika ƒ' eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahawa ƒ dibezakan (mempunyai keturunan) pada x, dan jika ƒ' eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.
^Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India",Mathematics Magazine68 (3), hlm. 163-174.
^J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat",Journal of the American Oriental Society110 (2), hlm. 304-309.
^"Madhava".Biography of Madhava. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Diarkibkan daripadayang asal pada 2006-05-14. Dicapai pada2006-09-13.Unknown parameter|dead-url= ignored (bantuan)
^"An overview of Indian mathematics".Indian Maths. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Diarkibkan daripadayang asal pada 2006-07-03. Dicapai pada2006-07-07.Unknown parameter|dead-url= ignored (bantuan)
^"Science and technology in free India"(PDF).Government of Kerala — Kerala Call, September 2004. Prof.C.G.Ramachandran Nair. Diarkibkan daripadayang asal(PDF) pada 2006-08-21. Dicapai pada2006-07-09.Unknown parameter|dead-url= ignored (bantuan)
^Charles Whish (1835).Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland.
