Geometri algebra ialah cabang ilmumatematik yang menggabungkan teknik-teknikalgebra abstrak, terutamanyaalgebra kalis tukar tertib dengan bahasa dan masalah dalamgeometri. Ia merupakan antara cabang utama dalam matematik moden dan mempunyai sebilangan hubungan konsep dengan banyak bidang sepertianalisis kompleks,topologi danteori nombor. Asal usul geometri algebra bermula dengan kajian tentangsistem persamaan polinomial dalam beberapa pemboleh ubah, subjeknya bermula di mana penyelesaian persamaan tidak diguna pakai, dan adalah penting untuk memahami sifat intrinsik penyelesaian keseluruhan bagi satu sistem persamaan berbanding mencari beberapa penyelesaian; ini membawa ke beberapa bahagian terdalam bagi keseluruhan matematik, secara konsep dan teknik.
Objek kajian asas dalam geometri algebra ialahaneka algebra, iaitu satu manifestasi geometri untuk penyelesaian sistem persamaan polinomial.Keluk algebra satah yang termasukgaris,bulatan,parabola,lemniskat danbujur Cassini, membentuk antara kelas-kelas terbaik yang dikaji dalam aneka algebra. Satu titik pada satah adalah dimiliki oleh satu keluk algebra jika koordinatnya memenuhi persamaan polinomial yang diberi. Soalan-soalan asasnya adalah melibatkan kedudukan relatif keluk-keluk yang berlainan serta hubung kait antara keluk yang diberi oleh persamaan yang berbeza.
IdeaDescartes tentangkoordinat adalah penting bagi geometri algebra, namun ia telah mengalami siri transformasi yang mengagumkan bermula pada abad ke-19. Sebelum itu, koordinat dianggap sebagaitupel untuknombor nyata, tetapi ini berubah apabilanombor kompleks pertama, dan kemudiannya elemen-elemen bidang arbitrari telah diterima umum.Koordinat homogen dalamgeometri unjuran meluaskan lagi tanggapan tentang sistem koordinat dalam satu arah yang berbeza, dan memperkayakan skop geometri algebra. Kebanyakan perkembangan geometri algebra pada kurun ke-20 berlaku di dalam ruang lingkup rangka kerja algebra abstrak, dengan penekanan yang lebih diletakkan pada sifat 'intrinsik' aneka algebra yang tidak bergantung pada sebarang cara khusus pembenaman aneka tersebut dalam satu ruang koordinat ambien; ini menyamai perkembangan dalamtopologi dangeometri kompleks.
Perbezaan utama antara geometri unjuran klasik kurun ke-19 dengan geometri algebra moden, dalam bentuk yang diberi padanya olehGrothendieck danSerre, ialah yang klasik lebih tertumpu pada tanggapan geometri untuk satu titik, sementara yang moden menekankan konsep yang lebih beranalisis bagifungsi nalar danpeta sekata dan sangat hampir denganteori gemal. Perbezaan penting yang lain terletak pada skop subjek tersebut. Idea Grothendieck tentangskema memberikan bahasa dan alatan untuk pengolahan geometri bagigelang kalis tukar tertib arbitrari dan, khususnya, menghubungkan geometri algebra denganteori nombor algebra.PembuktianAndrew Wiles ke atasteorem terakhir Fermat yang sangat terkenal itu adalah contoh jelas tentang kuasa pendekatan ini.André Weil, Grothendieck, andDeligne jugamendemonstrasikan yang idea asas topologi manifold mempunyai idea yang seakan-akan sama dalam geometri algebra padamedan terhingga.
W. V. D. Hodge (1994).Methods of Algebraic Geometry: Volume 1. Cambridge University Press.ISBN0-521-46900-7.Unknown parameter|coauthors= ignored (|author= suggested) (bantuan)
W. V. D. Hodge (1994).Methods of Algebraic Geometry: Volume 2. Cambridge University Press.ISBN0-521-46901-5.Unknown parameter|coauthors= ignored (|author= suggested) (bantuan)
W. V. D. Hodge (1994).Methods of Algebraic Geometry: Volume 3. Cambridge University Press.ISBN0-521-46775-6.Unknown parameter|coauthors= ignored (|author= suggested) (bantuan)
Buku teks moden yang tidak menggunakan bahasa dari skema:
David A. Cox (1997).Ideals, Varieties, and Algorithms (ed. second). Springer-Verlag.ISBN0-387-94680-2.Unknown parameter|coauthors= ignored (|author= suggested) (bantuan)
Miles Reid (1988).Undergraduate Algebraic Geometry. Cambridge University Press.ISBN0-521-35662-8.
Igor Shafarevich (1995).Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space (ed. 2nd). Springer-Verlag.ISBN0-387-54812-2.
Buku teks dan rujukan untuk skema:
David Eisenbud (1998).The Geometry of Schemes. Springer-Verlag.ISBN0-387-98637-5.Unknown parameter|coauthors= ignored (|author= suggested) (bantuan)
Alexander Grothendieck (1960).Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS.
Alexander Grothendieck (1971).Éléments de géométrie algébrique.1 (ed. 2nd). Springer-Verlag.ISBN3-540-05113-9.
Robin Hartshorne (1977).Algebraic Geometry. Springer-Verlag.ISBN0-387-90244-9.
David Mumford (1999).The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians (ed. 2nd). Springer-Verlag.ISBN3-540-63293-X.
Igor Shafarevich (1995).Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds. Springer-Verlag.ISBN0-387-54812-2.
