Mata dadu tradisional ialahkubus dengan setiap enam sisinya ditandakan dengan bilangan titik (pip) yang berbeza daripada satu hingga enam. Apabila dilempar, dadu berhenti menunjukkaninteger rawak dari satu hingga enam pada permukaan atasnya, dengan setiap nilai berkemungkinan sama. Dadu juga mungkin mempunyai bentukpolihedral atau tidak sekata dan mungkin mempunyai sisi yang ditanda dengan angka atau simbol dan bukannya pip. Dadu yang dimuatkan direka bentuk untuk memihak kepada beberapa keputusan berbanding yang lain untukmenipu atau hiburan.
Imej komposit semua sisi daduRom 12mm (½"), ditemui diLeicestershire, England
Dadu telah digunakan sejak sebelum rekod sejarah, dan tidak pasti dari mana ia berasal. Adalah berteori bahawa dadu berkembang daripada amalan meramal dengantalus haiwan berkuku, yang secara bahasa dikenali sebagaitulang buku lima.[2] PermainansenetMesir dimainkan dengan kayu lemparan dua belah yang rata yang menunjukkan bilangan petak yang boleh digerakkan oleh pemain, dan dengan itu berfungsi sebagai satu bentuk dadu. Senet dimainkan sebelum 3000 SM dan sehingga abad ke-2 Masihi.[3] Mungkin dadu tertua yang diketahui telah digali sebagai sebahagian daripada permainan sepertibackgammon yang ditetapkan diBurnt City, tapak arkeologi di tenggaraIran, dianggarkan antara 2800 dan 2500 BC.[4][5] Dadu tulang dariSkara Brae, Scotland telah bertarikh 3100–2400 BC.[6] Penggalian dari kubur diMohenjo-daro, sebuah penempatantamadun Lembah Indus, menggali daduterracotta bertarikh 2500–1900 BC.[7]
Permainan yang melibatkan dadu disebut dalam senarai permainanRigvedaIndia kuno,Atharvaveda ,Mahabharata danBuddha.[8] Terdapat beberapa rujukanalkitabiah untuk "membuang undi" (Ibrani:יפילו גורלyappîlū ḡōrāl ), seperti dalamMazmur 22, menunjukkan bahawa dadu (atau aktiviti yang berkaitan) adalah perkara biasa apabila mazmur itu digubah. Buku lima ialahpermainan kemahiran yang dimainkan diGreece purba; bentuk terbitan mempunyai empat sisi tulang menerima nilai yang berbeza seperti dadu moden.[9]
Walaupun perjudian adalah haram, ramaiorang Rom adalah penjudi yang gemar bermain dadu, yang dikenali sebagaialeam ludere ("bermain pada dadu"). Terdapat dua saiz dadu Rom.Tali adalah dadu besar yang ditulis dengan satu, tiga, empat, dan enam pada empat sisi.Tesserae ialah dadu yang lebih kecil dengan sisi bernombor dari satu hingga enam.[11] Dadu dua puluh sisi bertarikh kembali ke ke-2 abad Masihi[12] dan dariMesir Ptolemaic seawal abad ke-2 SM.[10]
Koleksi dadu bersejarah dari pelbagai rantau di Asia
Domino danbermain kad berasal dari China sebagai perkembangan daripada dadu.[13] Peralihan daripada dadu kepada bermain kad berlaku di China sekitardinasti Tang (618–907 M), dan bertepatan dengan peralihan teknologi daripada gulungan manuskrip kepada bukublok bercetak.[14] Di Jepun, dadu digunakan untuk bermain permainan popular yang dipanggilsugoroku. Terdapat dua jenis sugoroku.Ban-sugoroku adalah serupa denganbackgammon dan bermula padazaman Heian (794–1185), manakalae-sugoroku ialahpermainan perlumbaan.[15]
Dadu dilempar ke atas permukaan sama ada dari tangan atau dari bekas yang direka untuk ini (seperti cawan atau dulang). Wajah dadu yang paling atas ketika duduk rata memberikan nilai lontaran.
Hasil lemparan dadu ditentukan oleh cara ia dibaling, mengikut undang-undangmekanik klasik. Lemparan dadu dibuat secararawak oleh ketidakpastian dalam faktor kecil seperti pergerakan kecil di tangan pelempar; Oleh itu, ia adalah bentuk kasarperkakasan penjana nombor rawak.
Satupermainan dadu kontemporari yang tipikal ialahcraps, di mana dua dadu dibaling serentak dan taruhan dibuat pada jumlah nilai dua dadu. Dadu sering digunakan untuk memperkenalkan rawak kedalam permainan papan, di mana ia sering digunakan untuk menentukan jarak di mana sekeping akan bergerak di sepanjang papan (seperti dalambackgammon danMonopoly).
Dadu biasa ialahkiub kecil, selalunya 1.6 cm (0.63 in) merentasi,[16] yang sisinya dinomborkan dari satu hingga enam, biasanya dengan corak titik bulat yang dipanggilpip. (Walaupun penggunaanangka Arab kadang-kadang dilihat, dadu seperti itu kurang biasa.)
Sisi bertentangan mata dadu moden secara tradisinya menjumlahkan sehingga tujuh, memerlukan sisi 1, 2 dan 3 untuk berkongsibucu.[17] Muka dadu boleh diletakkanmengikut arah jam atau lawan jam pada bucu ini. Jika sisi 1, 2, dan 3 berjalan melawan arah jam, dadu dipanggil "tangan kanan". Jika sisi tersebut mengikut arah jam, dadu dipanggil "tangan kiri". Dadu Barat biasanya menggunakan tangan kanan, dan dadu Cina biasanya tangan kiri.[18]
Aspek biasa yang menunjukkan susunan pip yang lebih padat bagi dadu gaya Asia (atas) berbanding dadu gaya Barat (bawah)
Pip pada dadu enam sisi standard disusun dalam corak tertentu seperti yang ditunjukkan. Dadu gaya Asia mempunyai corak yang serupa dengan yang Barat, tetapi pip lebih dekat ke tengah sisi; selain itu, pip bersaiz berbeza pada dadu gaya Asia, dan pip berwarna merah pada bahagian 1 dan 4. Empat merah mungkin berasal dari India.[18][19]
Dadu tidak ketepatan dihasilkan melalui prosespengacuan suntikan plastik, selalunya diperbuat daripadapolimetil metakrilat (PMMA). Pip atau nombor pada die adalah sebahagian daripada acuan. Pigmen yang berbeza boleh ditambah pada dadu untuk menjadikannya legap atau lutsinar, atau berbilang pigmen boleh ditambah untuk menjadikan dadu berbintik-bintik atau guli.[20]
Pewarnaan untuk penomboran dicapai dengan menenggelamkan acuan sepenuhnya dalam cat, yang dibiarkan kering. Dadu kemudiannya digilap melalui prosespenggolek gilap yang serupa denganpenggilap batu.Ejen pelelas mengikis semua cat kecuali lekukan penomboran. Pelelas yang lebih halus kemudian digunakan untuk menggilap acuan. Proses ini juga menghasilkan tepi yang lebih licin dan melengkung pada dadu.[21]
Dadu kasino ketepatan mungkin mempunyai kemasan yang digilap atau pasir, menjadikannya lutsinar atau lut sinar masing-masing. Dadu kasino digerudi pipnya, kemudian diisi siram dengan cat denganketumpatan yang sama seperti bahan yang digunakan untuk dadu, supaya pusat graviti dadu adalah sedekat mungkin dengan pusat geometri. Ini mengurangkan kebimbangan bahawa pip akan menyebabkan kecenderungan kecil.[22] Semua dadu tersebut dicop dengannombor siri untuk mengelakkan potensi penipu daripada menggantikan dadu. Dadu backgammon ketepatan dibuat dengan cara yang sama; mereka cenderung untuk menjadi lebih kecil sedikit dan mempunyai bucu dan tepi bulat, untuk membolehkan pergerakan yang lebih baik di dalam cawan dadu dan menghentikan guling yang kuat daripada merosakkan permukaan permainan.
Menggunakan aksara Unicode, wajah boleh ditunjukkan dalam teks menggunakan julat U+2680 hingga U+2685 atau menggunakan perpuluhan⚀ hingga⚅.[23]
Mata yang dimuatkan, ditimbang, curang atau bengkok ialah mata yang telah diusik supaya ia akan mendarat dengan sisi tertentu menghadap ke atas lebih kurang kerap daripada mata yang adil. Terdapat beberapa kaedah untuk membuat dadu yang dimuatkan, termasuk sisi bulat, sisi luar segi empat sama dan pemberat. Kasino dan dewan perjudian kerap menggunakan daduselulosa asetat lutsinar kerana gangguan penipuan lebih mudah dikesan berbanding dengan dadu legap.[24]
Satu set tipikal dadu main peranan dalam pelbagai warna. Ia terdiri daripada lima pepejal Platonik, bersama dengan dadu sepuluh sisi yang juga digunakan untuk menjana peratusan.
Pelbagai bentuk seperti dadu dua sisi atau empat sisi didokumenkan dalam penemuan arkeologi; contohnya, dari Mesir Purba dan Timur Tengah. Walaupun dadu enam sisi kubus menjadi jenis yang paling biasa di banyak bahagian dunia, bentuk lain sentiasa diketahui, seperti dadu 20 belah pada zaman Ptolemaic dan Rom.
Tradisi moden menggunakanset dadu polihedral bermula sekitar penghujung tahun 1960-an apabila dadu bukan kubus menjadi popular di kalangan pemainpermainan perang,[25] dan sejak itu telah digunakan secara meluas dalampermainan main peranan dan permainankad dagangan. Dadu menggunakan kedua-dua angka 6 dan 9, yang simetri secara timbal balik melalui putaran, biasanya membezakannya dengan titik atau garis bawah.
Dadu selalunya dijual dalam set, padanan dalam warna, enam bentuk berbeza. Lima daripada dadu itu berbentuk seperti pepejal Platonik, yang sisinya adalah poligon sekata . Selain daripada kubus, empat pepejal Platonik yang lain mempunyai 4, 8, 12, dan 20 sisi, membolehkan julat nombor tersebut dijana. Satu-satunya dadu bukan kubus biasa yang lain ialah dadu 10 sisi, dadutrapezohedron pentagonal, yang sisinya ialah sepuluhlayang-layang, setiap satu dengan dua panjang tepi berbeza, tiga sudut berbeza dan dua jenis bucu yang berbeza. Set sebegitu kerap kali memasukkan dadu 10 belah kedua sama ada berwarna kontras atau dinomborkan dengan puluhan, membenarkan pasangan dadu 10 belah digabungkan untuk menghasilkan nombor antara 1 dan 100.
Menggunakan dadu ini dalam pelbagai cara, permainan boleh menghampiri pelbagaitaburan kebarangkalian. Sebagai contoh, dadu 10 belah boleh dilempar secara berpasangan untuk menghasilkantaburan seragam peratusan rawak, dan menjumlahkan nilai berbilang dadu akan menghasilkan anggaran kepadataburan normal.[26]
Tidak seperti dadu biasa yang lain,dadu empat segi (tetrahedral) tidak mempunyai sisi yang menghadap ke atas apabila ia dalam keadaan diam di atas permukaan, jadi ia mesti dibaca dengan cara yang berbeza. Pada beberapa dadu empat segi, setiap sisi menampilkan berbilang nombor, dengan nombor yang sama dicetak berhampiran setiap bucu pada semua sisi. Dalam kes ini, nombor di sekeliling bucu yang menunjuk ke atas digunakan. Sebagai alternatif, nombor pada acuan tetrahedral boleh diletakkan di tengah-tengah tepi, dalam hal ini nombor di sekeliling tapak digunakan.
Biasanya, sisi pada dadu akan diletakkan jadi sisi bertentangan akan menambah sehingga satu lebih daripada bilangan sisi. (Ini tidak boleh dilakukan dengan dadu 4 sisi dan dadu dengan bilangan sisi ganjil.) Sesetengah dadu, seperti yang mempunyai 10 sisi, biasanya dinomborkan secara berurutan bermula dengan 0, dalam keadaan ini sisi yang bertentangan akan menambah satu kurang daripada bilangan sisi.
Beberapa dadu bermuka dua mempunyai susunan berbeza yang digunakan untuk tujuan menjejaki integer yang mengira ke bawah, seperti mata kesihatan.Dadu spindown ini disusun supaya integer bersebelahan muncul pada sisi bersebelahan, membolehkan pengguna mencari nombor bawah seterusnya dengan mudah. Ia biasanya digunakan denganpermainan kad koleksi.[27]
Setiap muka mempunyai tiga nombor, disusun supaya nombor tegak, diletakkan sama ada berhampiran bucu atau berhampiran tepi bertentangan, adalah sama pada ketiga-tiga muka yang boleh dilihat. Nombor tegak mewakili nilai gulungan. Die ini tidak berguling dengan baik dan oleh itu ia biasanya dilemparkan ke udara sebaliknya.
Setiap muka adalah segi tiga dan dadu menyerupai dua piramid segi empat sama yang dicantumkan pada tapak ke tapak. Biasanya, jumlah muka yang bertentangan ialah 9.
Setiap muka adalah layang- layang . Die mempunyai dua bucu tajam, di mana lima layang-layang bertemu, dan sepuluh bucu tumpul, di mana tiga layang-layang bertemu. Sepuluh muka biasanya mengandungi nombor dari sifar hingga sembilan, bukannya satu hingga sepuluh (sifar dibaca sebagai "sepuluh" dalam banyak aplikasi). Selalunya semua mukabernombor ganjil berkumpul di satu sudut tajam, dan mukagenap di sudut yang lain. Jumlah nombor pada muka bertentangan biasanya 9 (jika bernombor 0–9) atau 11 (jika bernombor 1–10).
Muka ialahsegi tiga sama sisi. Ikosahedra telah ditemui bertarikh pada zaman Rom/Ptolemaic, tetapi tidak diketahui sama ada ia digunakan sebagai dadu permainan. Dadu moden dengan 20 sisi kadangkala dinomborkan 0–9 dua kali sebagai alternatif kepada dadu 10 belah. Jumlah nombor pada muka bertentangan ialah 21 jika bernombor 1–20.
"Dadu adil seragam" ialah dadu yang semua muka mempunyai kebarangkalian hasil yang sama disebabkan oleh simetri dadu kerana ia adalahmuka-transitif. Sebagai tambahan kepada pepejal Platonik, ini secara teorinya termasuk:
Trapezohedra, dwi setantiprisma tak terhingga, dengan muka layang-layang: sebarang nombor genap tidak boleh dibahagi dengan 4 (supaya muka menghadap ke atas), bermula dari 6
Bipiramid, dwi set prisma tak terhingga, dengan muka segi tiga: sebarang gandaan 4 (supaya muka menghadap ke atas), bermula dari 8
Disphenoid, set tetrahedra tak terhingga yang diperbuat daripada segi tiga tak sekata kongruen: 4 sisi. Ini adalah tetrahedron yang kurang simetri daripada tetrahedron Platonik, tetapi masih cukup simetri untuk menjadi muka-transitif. Begitu juga,piritohedra dantetartoid kurang simetri tetapi masih dodekahedra transitif muka: 12 sisi.
Dua jenis polihedra yang lain secara teknikalnya tidak transitif muka, tetapi masih merupakan dadu adil kerana simetri:
Dadu panjang danteetotum pada dasarnya boleh dibuat dengan sebarang bilangan muka, termasuk nombor ganjil.[28] Dadu panjang adalah berdasarkan set prisma tak terhingga . Semua muka segi empat tepat adalah saling muka transitif, jadi mereka berkemungkinan sama. Kedua-dua hujung prisma mungkin dibulatkan atau ditutup dengan piramid, direka bentuk supaya dadu tidak boleh diletakkan pada muka tersebut. Dadu panjang 4 sisi lebih mudah dilempar berbanding tetrahedra, dan digunakan dalam permainan papan tradisionaldayakattai dandaldøs .
Satusebalik syiling. Sesetengah syiling dengan 1 bertanda pada satu bahagian dan 2 di sebelah yang lain tersedia, tetapi kebanyakannya hanya menggunakan syiling biasa.
Dadu panjang bertujuan untuk dilempar memanjang. Apabila dadu dilempar, satu tepi (bukan sebelah) kelihatan menghadap ke atas. Pada kedua-dua belah setiap tepi nombor yang sama dicetak (dari 1 hingga 3). Nombor pada kedua-dua belah tepi yang menghadap ke atas dibaca sebagai hasil gulungan dadu.
Prisma yang cukup nipis untuk mendarat sama ada pada "tepi" atau "muka". Apabila mendarat di tepi, hasilnya dipaparkan dengan digit (2–4) berhampiran dengan tepi atas prisma. Muka segi tiga dilabelkan dengan digit 1 dan 5.
Lima muka dadu panjang untuk Permainan Orang Kenamaan Korea; takuk yang menunjukkan nilai dipotong ke tepi, kerana dalam bentuk ganjil dadu panjang ini tanah paling atas.
Dua dadu panjang enam muka digunakan untuk mensimulasikan aktiviti menjaringkan larian dan mengambil wiket dalam permainankriket. Pada asalnya dimainkan dengan pensel enam sisi berlabel, dan sering dirujuk sebagaikriket pensel.
Muka kebanyakan dadu dilabel menggunakan urutan nombor bulat, biasanya bermula pada satu, dinyatakan dengan sama ada pip atau digit. Walau bagaimanapun, terdapat beberapa aplikasi yang memerlukan hasil selain daripada nombor. Contohnya termasuk surat untukBoggle, arahan untukWarhammer Fantasy Battle,dadu Fudge, bermain simbol kad untukdadu poker dan arahan untuk perbuatan seksual menggunakandadu seks.
Dadu mungkin mempunyai nombor yang tidak membentuk urutan pengiraan bermula pada satu. Satu variasi pada acuan standard dikenali sebagai dadu "purata".[31][32] Ini ialah dadu bermuka enam dengan sisi bernombor2, 3, 3, 4, 4, 5, yang mempunyaimin aritmetik yang sama dengan mata dadu piawai (3.5 untuk satu dadu, 7 untuk sepasang dadu), tetapi mempunyai mata yang lebih sempit. julat nilai yang mungkin (2 hingga 5 untuk satu, 4 hingga 10 untuk sepasang). Ia digunakan dalam beberapapermainan perang atas meja, yang memerlukan julat nombor yang lebih sempit.[32] Variasi bernombor lain termasukdadu Sicherman dandadu tak transitif.
Die boleh dibina dalam bentuk sfera, dengan penambahan rongga dalaman dalam bentuk dwi polyhedron daripada bentuk dadu yang dikehendaki dan berat dalaman. Berat akan mendap di salah satu titik rongga dalaman, menyebabkan ia mendap dengan salah satu nombor paling atas. Sebagai contoh, sfera dengan rongga oktahedral dan berat dalaman yang kecil akan mendap dengan salah satu daripada 6 titik rongga yang ditahan ke bawah oleh berat.
Dadu main peranan biasa, menunjukkan pelbagai warna dan gaya. Perhatikan dadu 12 muka hijau berdakwat tangan yang lebih tua (menunjukkan 11), yang dihasilkan sebelum dadu pra-dakwat adalah perkara biasa. Ramai pemain mengumpul atau memperoleh sejumlah besar dadu bercampur dan tidak sepadan. Orang Zaman Pertengahan Bermain,Muzium Seni Walters, Baltimore
Dadu polihedral biasanya digunakan dalam permainan main peranan. Permainan main peranan fantasiDungeons & Dragons (D&D) sebahagian besarnya dikreditkan dengan mempopularkan dadu dalam permainan sedemikian. Sesetengah permainan hanya menggunakan satu jenis, sepertiExalted yang hanya menggunakan dadu sepuluh belah. Yang lain menggunakan pelbagai jenis untuk tujuan permainan yang berbeza, seperti D&D, yang menggunakan semua dadu polihedral biasa. Dadu biasanya digunakan untuk menentukan keputusan sesuatu peristiwa. Permainan biasanya menentukan keputusan sama ada sebagai jumlah pada satu atau lebih dadu di atas atau di bawah nombor tetap, atau bilangan guling tertentu di atas nombor tertentu pada satu atau lebih dadu. Disebabkan oleh keadaan atau kemahiran watak, guling awal mungkin mempunyai nombor yang ditambah atau ditolak daripada keputusan akhir, atau meminta pemain membaling dadu tambahan atau kurang. Untuk menjejaki gulung dengan mudah,tatatanda dadu kerap digunakan.
Banyak permainan papan menggunakan dadu untuk mengacak sejauh mana kepingan bergerak atau untuk menyelesaikan konflik. Biasanya, ini bermakna bahawa melancarkan nombor yang lebih tinggi adalah lebih baik. Sesetengah permainan, sepertiAxis & Allies, telah menyongsangkan sistem ini dengan menjadikan nilai yang lebih rendah lebih kuat. Pada zaman moden,[bila?] beberapa pereka permainan dan permainan telah menggunakan dadu dengan cara yang berbeza dengan menjadikan setiap sisi dadu bernilai sama. DalamCastles of Burgundy, pemain menghabiskan dadu mereka untuk mengambil tindakan berdasarkan nilai dadu. Dalam permainan ini, enam tidak lebih baik daripada satu, atau sebaliknya. DalamQuarriors (dan keturunannya,Dicemasters), sisi dadu yang berbeza boleh menawarkan kebolehan yang sama sekali berbeza. Beberapa pihak sering memberikan sumber manakala yang lain memberikan pemain tindakan yang berguna.[33]
Dadu boleh digunakan untukramalan dan menggunakan dadu untuk tujuan sedemikian dipanggilcleromancy. Sepasang dadu biasa adalah biasa, walaupun bentuk polihedra lain boleh digunakan. Penganut Buddha Tibet kadangkala menggunakankaedah ramalan ini. Kemungkinan besarPythagoras menggunakanpepejal Platonik sebagai dadu. Mereka merujuk kepada dadu tersebut sebagai "dadu para dewa" dan mereka berusaha untuk memahami alam semesta melalui pemahaman geometri dalam polihedra.[34]
Dadu astrologi ialah set khusus tiga dadu 12 belah untuk ramalan; mati pertama mewakili planet, Matahari, Bulan, dan nod Bulan, mati kedua mewakili 12tanda zodiak, dan yang ketiga mewakili12 rumah. Dadu ikosahedron khusus menyediakan jawapanMagic 8-Ball, yang digunakan secara konvensional untuk memberikan jawapan kepada soalan ya-atau-tidak.
Dadu boleh digunakan untuk menjana nombor rawak untuk digunakan dalamkata laluan dan aplikasikriptografi.Electronic Frontier Foundation menerangkan kaedah yang menggunakan dadu untuk menjanafrasa laluan.[35]Diceware ialah kaedah yang disyorkan untuk menjana frasa laluan yang selamat tetapi tidak dapat dilupakan, dengan berulang kali melempar lima dadu dan memilih perkataan yang sepadan daripada senarai pra-jana.[36]
Dalam banyak konteks permainan, terutamanya permainan main peranan atas meja, tatatanda trengkas yang mewakili lemparan dadu yang berbeza digunakan. "d" atau "D" digunakan untuk menunjukkan dadu dengan bilangan sisi tertentu; contohnya,d4 menandakan dadu bermuka empat. Jika beberapa dadu daripada jenis yang sama hendak dilempar, ini ditunjukkan dengan nombor pendahulu yang menyatakan bilangan dadu. Oleh itu,6d8 bermakna pemain harus membaling enam dadu lapan sisi dan menambah hasil lemparan. Pengubah suai pada lemparan dadu juga boleh ditunjukkan seperti yang dikehendaki. Sebagai contoh,3d6+4 mengarahkan pemain untuk membaling tiga dadu bermuka enam, mengira jumlahnya dan menambah empat padanya.
^Dalgado, Sebastião Rodolfo (1936).Portuguese Vocables in Asiatic Languages. Diterjemahkan oleh Xavier Soares, Anthony (ed. bahasa Inggeris). Baroda: Oriental Institute. m/s. 131.
^Laird, Jay (2009).Encyclopedia of Play in Today's Society. SAGE Publications. m/s. 171–173.ISBN978-1-4522-6610-7.
^Finkel, Irving (2008)."Board Games".Beyond Babylon: Art, Trade, and Diplomacy in the Second Millennium B.C. Metropolitan Museum of Art. m/s. 151.ISBN978-1-58839-295-4.
^Salter, Rebecca (2006). "Board Games".Japanese Popular Prints: From Votive Slips to Playing Cards. University of Hawaii Press. m/s. 164.ISBN978-0-8248-3083-0.
^Peterson, Jon (July 2012).Playing at the World: A History of Simulating Wars, People and Fantastic Adventures, from Chess to Role-Playing Games. Unreason Press. m/s. 315–318.ISBN978-0-615-64204-8.
^Guthrie, Kenneth (1988).The Pythagorean sourcebook and library: an anthology of ancient writings which relate to Pythagoras and Pythagorean philosophy. Grand Rapids, MI: Phanes Press.ISBN978-0-933999-50-3.OCLC255212063.
^"EFF Dice-Generated Passphrases".Electronic Frontier Foundation (dalam bahasa Inggeris). 12 May 2016. Dicapai pada16 November 2018.
Diaconis, Persi ; dan Keller, Joseph B.;"Fair Dice",The American Mathematical Monthly, 96(4):337–339, 1989 (Perbincangan tentang dadu yang adil "dengan simetri" dan "dengan kesinambungan".)
Iverson, GR; Longcour, WH; et al.;Bias and Runs in Dice Throwing and Recording: A Few Million Throws, Psychometrika, vol. 36, tidak. 1 Mac 1971
Weisstein, Eric W. "Dice". MathWorld. – analysis of dice probabilities, also featuring Uspenski's work on rolling multiple dice
Rencana ini menggabungkan dan menterjemah teks dari penerbitan sekarang didomain awam: Chisholm, Hugh, penyunting (1911). "Dice".Encyclopædia Britannica (dalam bahasa Inggeris) (ed. ke-11). Cambridge University Press.Templat:Craps
.jpg)
.jpg)
_with_faces_inscribed_with_Greek_letters_MET_10.130.1158_001.jpg)
.jpg)
.jpg)
