Vispārīgajā gadījumā par polinomu (grieķu izcelsmes vārds;poli nozīmē "daudz",nomē - "daļa") sauc jebkurumonomu algebrisku summu, t.i., ar plusa vai mīnusa zīmēm savienotus monomus, kurus sauc par polinoma locekļiem. Ja polinomā ir tikai divi saskaitāmie, tad polinomu sauc parbinomu, ja trīs saskaitāmie, tad partrinomu. Polinomus saskaitot, atņemot vai sareizinot, vienmēr rezultātā iegūst polinomu.
3x + 5 (lineārs binoms)4x2 + 7x - 8 (kvadrāttrinoms)x3 - 4x2 + 6x + 2 (trešās pakāpes polinoms)
Vispārīgajā gadījumān-tās pakāpes polinomu pieraksta šādi (polinoma normālforma):
P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-3xn-3 + ... + a2x2 + a1x + a0.
an, an-1, an-2,..., a2, a1, a0 - polinomakoeficienti
n - polinoma pakāpe (naturāls skaitlis)
anxn - polinoma augstākās pakāpes loceklis
Ja kāds no polinoma koeficientiem (izņemot an) ir nulle, tad polinomu sauc par nepilnu n-tās pakāpes polinomu. Ja an = 1, tad polinomu sauc parreducētu polinomu. Skaitli ar kuru polinoma vērtība ir nulle, sauc par polinoma sakni. Polinoma sakne var būt gan reāls skaitlis, gan arīkomplekss skaitlis.
Divus polinomus sauc parvienādiem, ja ir vienādas to pakāpes un ir vienādi visi šo polinomu koeficienti pie vienādām mainīgā lieluma pakāpēm, kā arī ir vienādibrīvie locekļi. Parnulles polinomu sauc polinomu, kuram visi koeficienti ir vienādi ar nulli.
Par divu polinomu summu (starpību) sauc polinomu, kuru iegūst saskaitot (atņemot) dot polinomu koeficientus pie vienādiem mainīgā lieluma pakāpēm, piemēram,(3x2 - 4x + 1) - (x2 + 7x -4) = 2x2 - 11x + 5. No piemēra redzams, ka saskaitīt (atņemt) var arī dažādu pakāpju polinomus; tad summā iegūtā polinoma pakāpe ir vienāda ar saskaitāmo polinomu lielāko pakāpi. Saskaitot (atņemot) vienādu pakāpju polinomus, iegūst polinomu ar tādu pašu (vai mazāku) pakāpi. Acīmredzami polinomu saskaitīšanai ir spēkā komutatīvā un asociatīvā īpašība.
Par divu polinomuPn(x) = anxn + an-1xn-1 + an-3xn-3 + ... + a2x2 + a1x + a0 unQm(x) = amxm + am-1xm-1 + am-3xm-3 + ... + a2x2 + a1x + a0 reizinājumu sauc polinomu, kura koeficientus atrod šādi:
brīvais loceklis ira0b0;
koeficients pie x ira0b1 + a1b0;
koeficients pie x2 ira0b2 + a1b1 + a2b0;
koeficients pie x3' ira0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0.
Praktiski divus polinomus reizina, pareizinot katru pirmā polinoma locekli ar katru otrā polinoma locekli un saskaitot iegūtos rezultātus. Reizinājumā iegūtā polinoma pakāpe ir vienāda ar doto polinomu pakāpju summu n + m. Polinomu reizināšanai ir spēkā komutatīvā, asociatīvā un distributīvā īpašība attiecībā pret polinomu summas reizināšanu ar polinomu.
Par divu polinomu Pn(x) un Qm(x)polinomu dalījumu sauc tādu polinomu Sk(x), kuru reizinot ar Pn(x) iegūst polinomu Qm(x), t.i.,
Qm(x) : Pn(x) = Sk(x), ja Pn(x) * Sk(x) = Qm(x).
Taču ne katriem diviem polinomiem dalījums eksistē. Acīmredzami dalīt polinomu Qm(x) ar Pn(x) var tikai tad, ja m ≥ n, t.i., ja dalāmā polinoma pakāpe m nav mazāka par dalītāja polinoma pakāpi n; pie tam k = m - n. No dalījuma definīcijas izriet polinomu dalīšanas algoritms.
Polinomu algebrā īpaši aplūko gadījumu, kad polinoms ir jādala ar binomux - a. Viegli pārliecināties, ka šādā gadījumā dalīšanas atlikums ir nox neatkarīgs lielums (skaitlis)r. Ja polinomu ar binomu var izdalīt bez atlikuma, tad atlikumsr = 0.
Bezū teorēma (Etjēns Bezū (1730 - 1783) - franču matemātiķis): Ja, dalot Q(x) ar binomux - a, iegūst atlikumur, tad r = Q(a), t.i., dalīšanas atlikums ir vienāds ar polinoma Q(x) vērtību punktāa.
Pierādījums. Apzīmēsim S(x) dalīšanas rezultātā iegūto polinomu. Tad ir spēkā vienībaQ(x) = S(x)(x - a) + r. Šī vienība ir pareiza ar visāmx vērtībām. Ievietojot vienādībāx vietā skaitlia, iegūstam, kaQ(a) = S(a)(a - a) + r, No kurienesQ(a) = r. Līdz ar to teorēma ir pierādīta.
Secinājums. PolinomuQ(x) var izdalīt bez atlikuma ar binomux - a tad un tikai tad, ja skaitlisa ir šī polinoma sakne (Q(a) = 0).
Bezū teorēmas secinājumu lieto, sadalot polinomus reizinātājos, saīsinot algebriskās daļas, atrisinot dažādas augstāku pakāpju algebriskus vienādojumus, ja ir zināma viena vai vairākas saknes.
