Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Pāriet uz saturu
VikipēdijaBrīvā enciklopēdija
Meklēt

Matrica

Vikipēdijas lapa
Skaties arī jēdzienu ar līdzīgu nosaukumu:matrice.
Matricas elementu norādīšanai lieto indeksus: pirmais indekss norāda rindu, bet otrais — kolonnu.

Matrica irmatemātisks objekts —reālu vaikompleksu skaitļumasīvs, kur skaitļi izvietotitaisnstūra veidatabulā. Ar matricām var veikt algebriskas operācijas (saskaitīšana,atņemšana,reizināšana u.c.). Matricas, kurām ir tikai viena rinda vai viena kolonna, sauc parvektoriem. Skaitļu masīvus, kuriem ir vairāk kā divasdimensijas, sauc partenzoriem.

Vēsture

[labot šo sadaļu |labot pirmkodu]

Matricas jēdzienu ieviesaDžeimss Silvestrs 1850. gadā[1].Kembridžas Universitātes profesorsArturs Keilijs noteica tādas darbības ar matricām kā saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu.Fizikā pirmā publikācija ar matricu pielietojumu parādījās1925. gadā. Tās autorsVerners Heizenbergs pats definēja matricas, pierādīja to īpašības un izmantoja tāskvantu mehānikas matemātiskajā aprakstā.[2]

Darbības ar matricām

[labot šo sadaļu |labot pirmkodu]

Tāpat kā citiem matemātiskiem objektiem arī ar matricām var veikt tādas algebriskas operācijas kāsaskaitīšana unreizināšana. Saskaitīt var tikai vienāda izmēra matricas. Saskaitot matricas, tiek saskaitīti to atbilstošie elementi. Matricas var reizināt vienu ar otru vai arī ar kādu skaitli. Reizinot matricas ar skaitli, visi matricas elementi tiek reizināti ar doto skaitli. Matricu summai un reizināšanai ar skaitli piemīt šādas īpašības:

  1. komutativitāte:A +B =B +A,
  2. asociativitāte: (A +B) +C =A + (B +C),
  3. distributivitāte:c(A +B) =cA +cB,

kurA,B unC ir matricas, betc ir skaitlis.

Matricu reizināšana

[labot šo sadaļu |labot pirmkodu]

Divas matricas var sareizināt savā starpā, ja pirmās matricas kolonnu skaits ir vienāds ar otrās matricas rindu skaitu. Reizinājuma rezultātā tiek iegūta matrica, kuras rindu skaits ir vienāds ar pirmās matricas rindu skaitu, bet kolonnu skaits ir vienāds ar otrās matricas kolonnu skaitu. Lai aprēķinātu reizinājuma rezultātā iegūtās matricas elementu ar koordinātām (i,j), sareizina pirmās matricasi-tās rindas pirmo locekli ar otrās matricasj-tās kolonnas pirmo locekli, līdzīgi rīkojas ar pārējiemi-tās rindas unj-tās kolonnas locekļiem un to reizinājumus saskaita. Šo likumu var pierakstīt šādi:

Cij=∑kAikBkj.{\displaystyle C_{ij}=\sum _{k}A_{ik}B_{kj}.\,}

Kvadrātiskas matricas

[labot šo sadaļu |labot pirmkodu]

Kvadrātiska matrica ir matrica, kurā rindu skaits ir vienāds ar kolonnu skaitu. Šādas matricas ir īpaši plaši sastopamas lietišķajā matemātikā un fizikā, tāpēc ka tās atveido lineāras transformācijas vienastelpas ietvaros (piemēram, plaknes vai trīsdimensiju telpas). Bez tam, šīm matricām piemīt vērtīga matemātiska īpašība - spēja veidot multiplikatīvasgrupas ungredzenus. Sekojoši jēdzieni un lielumi ir attiecināmi tikai uz kvadrātiskām matricām:

Pamatraksts:Determinants
Determinantsdet(A){\displaystyle det(\mathbf {A} )} vai|A|{\displaystyle |\mathbf {A} |} ir skaitlis, kurš nosaka dažas svarīgas matricas īpašības. Vārds "determinants" nozīmē "noteicējs". Matrica irinvertējamatad un tikai tad, ja determinants nav nulle. Ja kvadrātiska matrica atveido lineāru transformāciju, tad determinanta absolūtā vērtība atbilst laukuma mainīšanās koeficientam, ja tiek transformēta divdimensiju figurā, vai apjoma mainīšanās koeficientam, ja tiek transformēts trīsdimensiju objekts. Determinanta zīme atbilst transformējamā objekta orientācijai - determinants ir pozitīvs tad un tikai tad, ja saglabājas iepriekšējā orientācija.
  • Singulāras un nesingulāras matricas
Singulāra matrica ir matrica, kuras determinants ir vienāds ar nulli. Šādai matricai neeksistē apgriezta matrica, kas izskaidro tās nosaukumu "singulāra" (šāda matrica ir "vientuļa"). Nesingulāras matricas determinants nav vienāds ar nulli un tai var atrast apgrieztu matricu. Nesingulāras matricas sauc arī par invertējamām, apgriežamām vai regulārām matricām.
Pamatraksts:Apgrieztā matrica
Līdzīgi kā skaitlima{\displaystyle a} eksistē apgriezts skaitlisa−1{\displaystyle a^{-1}}, kurš reizinājumā ara{\displaystyle a} dod 1, katrai nesingulārai matricaiA{\displaystyle \mathbf {A} } ir atrodama unikāla apgriezta matricaA−1{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}, kura reizinājumā arA{\displaystyle \mathbf {A} } dodvienības matricu.A⋅A−1=A−1⋅A=I{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\cdot \mathbf {A} =\mathbf {I} }.
Pamatraksts:Vienības matrica
Vienības matricai visi galvenās diagonāles elementi ir 1, bet pārējie ir 0. Šādu matricu parasti apzīmē arI{\displaystyle \mathbf {I} } (no angļu vārda "identity matrix") vaiE{\displaystyle \mathbf {E} } (no vācu vārda "Einheitsmatrix").
  • Diagonālmatrica
Ja visi elementi ārpus galvenās diagonāles ir nulles, tad šādu matricu sauc par diagonālmatricu.
[d11000d22000d33]{\displaystyle {\begin{bmatrix}d_{11}&0&0\\0&d_{22}&0\\0&0&d_{33}\\\end{bmatrix}}}
  • Trīsstūrveida matrica
Ja nulles ir tikai visi elementi virs galvenās diagonāles vai zem tās, tad šādu matricu sauc attiecīgi par apakšēju vai augšēju trīsstūrveida matricu.
Apakšēja trīsstūrveida matrica:[l1100l21l220l31l32l33]{\displaystyle {\begin{bmatrix}l_{11}&0&0\\l_{21}&l_{22}&0\\l_{31}&l_{32}&l_{33}\\\end{bmatrix}}}     Augšēja trīsstūrveida matrica:[u11u12u130u22u2300u33]{\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\\\end{bmatrix}}}
Pēda ir galvenās diagonāles elementu summa. Pēdu apzīmē artr(A){\displaystyle tr(\mathbf {A} )} - no angļu vārda "trace". Kaut arī pašu matricu reizināšana ir nekomutatīva, divu matricu reizinājuma pēda nav atkarīga no reizinātāju secības:tr(AB)=tr(BA){\displaystyle tr(\mathbf {AB} )=tr(\mathbf {BA} )}. Matricas pēda nemainās arī transponējot matricu:tr(A)=tr(AT){\displaystyle tr(\mathbf {A} )=tr(\mathbf {A} ^{T})}.
Ortogonāla matrica ir kvadrātiska matrica, kuras rindas un kolonnas veidoortogonālivienības vektori. Šīs matricas reizinājums ar tās transponēto matricu dod vienības matricu:A⋅AT=AT⋅A=I{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{T}=\mathbf {A} ^{T}\cdot \mathbf {A} =\mathbf {I} }.
Skaitliλ{\displaystyle \lambda } un nenulles vektoruv{\displaystyle \mathbf {v} }, kuri atbilst vienādībaiAv=λv{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }, sauc par matricasA{\displaystyle \mathbf {A} }īpašvērtību unīpašvektoru. Īpašvektori ir vektori, kuri pēc lineāras transformācijas paliek uz iepriekšējās taisnes. Īpašvērtības raksturo īpašus stāvokļus sistēmās ar vairākām brīvības pakāpēm, piemēram, rezonances mehāniskās sistēmās vai enerģijas līmeņus kvantu fizikā.

Skatīt arī

[labot šo sadaļu |labot pirmkodu]

Atsauces

[labot šo sadaļu |labot pirmkodu]
  1. ↑«matrix».Britannica. Skatīts: 03.12.2021.
  2. ↑M. Belovs, O. Judrups. "Matricas, determinanti un lineārās vienādojumu sistēmas"; 1987.
Pamata koncepti
Trīs dimensiju Eiklīda telpa
Matricas
Bilinearitāte
Multilineārā algebra
Vektoru lauka konstrukcijas
kaitliskā lineārā algebra|Skaitliskā
Autoritatīvā vadība
Saturs iegūts no "https://lv.wikipedia.org/w/index.php?title=Matrica&oldid=3512671"
Kategorijas:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp