Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Pereiti prie turinio
VikipedijaLaisvoji enciklopedija
Paieška

Analizinė funkcija

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Analizinė funkcija – funkcija, kuri bet kuriame apibrėžimo srities taške gali būti išskleista konverguojančia laipsnine eilute (tai tapatu teiginiui, kad funkcija yra analizinė, jei kiekviename taške gali būti išskleistaTeiloro eilute).

f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}

Analizinės funkcijos yra be galo daug kartųdiferencijuojamos funkcijos. Analizinės funkcijos sąvoka gali būti taikoma tiekrealaus, tiek irkompleksinio kintamojo argumento funkcijoms. Tačiau kompleksinio kintamojo funkcijos atveju analiziškumas reikalauja tenkinti papildomas, taip vadinamasKoši-Rymano sąlygas, todėl tokio tipo funkcijos vadinamosholomorfinėmis funkcijomis.

Kompleksinio kintamojo funkcijaf(z)=u(z)+iv(z){\displaystyle f(z)=u(z)+iv(z)} (čiau(z){\displaystyle u(z)} irv(z){\displaystyle v(z)} – realiosios kompleksinio argumento funkcijos) yra analizinė, jei tenkinama viena iš sąlygų (visos jos yra ekvivalenčios):

  1. Funkcija tenkina Koši-Rymano sąlygą kiekviename taškez=x+iy{\displaystyle z=x+iy} (analiziškumas Koši-Rymano prasme);
  2. Teiloro eilutė konverguoja įf(z){\displaystyle f(z)} funkciją kiekviename taške (analiziškumas Vejerštraso prasme);
  3. Integralas uždaru kontūru∫Γf(z)dz=0{\displaystyle \int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0} (analiziškumas Koši prasme)

Analizinių funkcijų teorija sukurta 19 a. išO. Lui Koši,B. Rymano,K. Vejerštraso darbų.[1]

Savybės

[redaguoti |redaguoti vikitekstą]
  • Aritmetinės savybės

Jeif(z){\displaystyle f(z)} irg(z){\displaystyle g(z)} yra analizinėsG⊂C{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }, tuomet

  1. funkcijosf(z)±g(z){\displaystyle f(z)\pm g(z)},f(z)⋅g(z){\displaystyle f(z)\cdot g(z)} irf(g(z)){\displaystyle f(g(z))\,} yra taip pat analizinėsG{\displaystyle G}.
  2. jeig(z){\displaystyle g(z)} srityjeG{\displaystyle G} nelygi nuliui,f(z)g(z){\displaystyle {\frac {f(z)}{g(z)}}} irgi bus analizinė srityjeG{\displaystyle G}
  3. jeif′(z){\displaystyle f'(z)} srityjeG{\displaystyle G} nėra lygi nuliui, atvirkštinė funkcijaf−1(z){\displaystyle f^{-1}(z)} irgi bus analizinė srityjeG{\displaystyle G}.
  • Analizinė funkcija be galo daug kartų diferencijuojama funkcija. Tačiau atvirkštinis teiginys bendru atveju nėra teisingas.

Pavyzdžiai

[redaguoti |redaguoti vikitekstą]

Polinominės,eksponentinės,trigonometrinės,logaritminės ir daugelis specialiųjų (Beselio,Lagero ir pan.) funkcijų yra analizinės.

Neanalizinių funkcijų pavyzdžiai:

  1. Funkcijaf(z)=|z|{\displaystyle f(z)=|z|} nėra analizinėC{\displaystyle \mathbb {C} }, kadangi neturiišvestinės taškez=0{\displaystyle z=0}.
  2. Funkcijaf(z)=z¯{\displaystyle f(z)={\overline {z}}} nėra analizinė, nes netenkina Koši-Rymano sąlygos.

Šaltiniai

[redaguoti |redaguoti vikitekstą]
  1. ↑analizinė funkcija.Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2024-02-03).
Rodomas puslapis "https://lt.wikipedia.org/w/index.php?title=Analizinė_funkcija&oldid=7178386"
Kategorija:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp