L'àrea (dîtaària ascì) a l'é a quantitæ ch'a mezûa l'estensción de 'nasuperfìcce ciànn-a, sàiva a dî de 'na figûa inte dôe dimenscioìn. Defæti a superfìcce a l'é olêugo di pónti scitoæ in sciâ región de ciàn, co-a sò estensción ch'a l'é pe cóntra l'àrea[1].
Pe figûe inte træ dimenscioìn, l'àrea l'é definîa cómme a superfìcce totâle de quéllo ògètto, inte sto câxo chi se parliâ defæti de àrea superficiâle[2][3].
E unitæ de mezûa de l'àrea són corispóndenti a-e relatîve unitæ de mezûa dalonghéssa: ògni àrea de grandéssa unitâia a l'é determinâ da 'n quadrâto ch'o l'à di lâti che són de longhéssa unitâia lê ascì.
L'unitæ de mezûa fondamentâle a l'é o mêtro quàddro, çernûa da-oscistêma internaçionâle de unitæ de mezûa e derivâ da-omêtro, unn-a de 7 unitæ de bâze. E âtre unitæ inportànti són riportæ inta tabélla chi de sótta[4]:
Coscì cómme pe-e unitæ de mezûa da longhéssa, inte naçioìn diStâti Unîi d’América, daLibeîa e doMyanmar, óltre che parçialménte intoRégno Unîo e inCànada ascì, s'adêuvian de unitæ diferénti. Prezénpio gh'é[5]:
1 pòlice quàddro = 6.4516 cm²
1 pê quàddro = 0.09290304 m²
1 iàrda quàddra = 0.83612736 m²
1 mìggio quàddro = 2.589988110336 km²
Notâ che o mìggio utilizòu o l'é quéllo terèstre (lóngo 1.609,344 m) e no quéllomæn (lóngo 1.852 m).
Storicaménte són existîe numerôze unitæ pe mezuâ l'estensción de 'n terén. Câxo particolâ o l'é quéllo da giornâ piemontéize (Giornà intaléngoa locâle): pægia ciù ò mêno a 3.810 m², a l'é dêuviâ ancón a-a giornâ d’ancheu inte quéllaregión e inti doî comùn deÇéngio eMascimìn ascì, intaprovìnsa de Sànn-a.
L'àrea do çèrcio a l'êa za stæta calcolâ da-i grêghi antîghi into quìnto sécolo prìmma de Crìsto. A ògni mòddo, l'Ippocrate de Scîo o l'àiva sôlo scovèrto ch'a gh'è 'na relaçión quadràtica tra o ràggio e l'àrea, sénsa determinâ o valô do fatô moltiplicativo. Quésto o l'é stæto determinòu da-o matemàtico grêgoArchimêde into sò lìbbroA mezûa do çèrcio, dond'o l'é stæto ciamòu pe-a prìmma vòtta π,pi grêgo.
Into1761 o matemàtico svìseroJohann Heinrich Lambert o l'à dimostròu che π o l'é 'n nùmero iraçionâle e, into1882, o matemàtico tedéscoFerdinand von Lindemann o l'à pe cóntra mostròu che π o l'é 'n nùmero trascendentâle ascì.
L'àrea dotriàngolo a l'é stæta fòscia determinâ za da-o matemàtico grêgo-egiçiànErón de Lusciàndria, calcolâ rispètto a-i sò lâti, into lìbbroMetrica, scrîto ciù ò mêno inte l'ànno60 dòppo crìsto. Però l'é poscìbile, cómme àn sugerîo çèrti stòrichi, che za doî sécoli prìmma o grànde matemàtico Archimêde o savésse de sta fórmola chi pe calcolâ l'àrea do triàngolo.
L'introduçión do ciàn cartexàn intosécolo XVII da pàrte do matemàtico françéizeRené Descartes a l'à permìsso a-oGauss, intosécolo XIX, de elaborâ a fórmola pe calcolâ l'àrea de tùtte e figûe ciànn-e, se són conosciûe e coordinæ di sò vèrtichi.
Co-a scovèrta do càlcolo integrâle, avegnûa a-a fìn do sécolo XVII, l'é diventòu poscìbile calcolâ àree de figûe bén bén ciù conplèsse, óltre che de superfìcce cùrve de figûe inte træ dimenscioìn.
Pe figûe comme triàngoli, trapéççi o paralêlogràmmi s'adêuvia o método da diseçión, "ricostroìndo" a figûa inte 'n retàngolo ò 'n triàngolo. Defæti, ciaschedùn paralêlogràmmo o peu êse spartîo inte 'n trapéçio e 'n triàngolo. A sto pónto chi, se peu façilménte dimostrâ cómme l'àrea da figûa coscì òtegnûa a ségge pægia a quélla do retàngolo con mæxima bâze e altéssa. Dónca, l'àrea de 'n paralêlogràmmo a l'é:
dóndeb a l'é a bâze eh a l'é l'altéssa do paralêlogràmmo.
Pe de ciù, 'n çèrto paralêlogràmmo o l'é divîzo inte dôe pàrte pægie da unn-a de sò diagonâle, ciaschedùnn-a de quæ a l'é 'n triàngolo. L'àrea de sta figûa chi a l'é dónca:
Prinçìpio de càlcolo de l'àrea do çèrcio.
dóndeb a l'é a bâze eh a l'é l'altéssa do paralêlogràmmo ch'o contêgne o triàngolo. A-a mæxima manêa se peu ricavâ l'àrea do trapéçio e quélla do rónbo[4].
L'àrea do çèrcio a peu êse ricavâ co-in scistêma scìmile a-o método da diseçión: defæti, dæto 'n çèrcio de ràggior, se peu divìdde a figûa inte vàrri setoî de fórma squæxi triangolâre che, unîi tra lô, conponián in paralêlogràmmo de altéssar e de bâze a meitæ da circonferénsa, ö sæπr.
Dónca, l'àrea do çercio a saiâ pægia a:
dónder a l'é o ràggio do çèrcio eπ a l'é a costànte pi grêgo.
Scimilménte, se peu calcolâ l'àrea de l'elìsse, ch'a saiâ pægia a:
Paràmetri de 'na sfêra.
dóndex a l'é a meitæ da longhéssa da diagonâle magiô ey a l'é meitæ da longhéssa da diagonâle minô[4].
L'idêa derê a-o càlcolo da superfìcce de 'na figûa inte træ dimenscioìn a l'é quélla de "tagiâ" e "sciacâ" quésta lóngo i sò spîghi de mòddo d'òtegnî 'na figûa bidimenscionâle da quæ a se sàcce còmme calcolâ l'àrea, adêuviàndo i scistêmi za analizæ. L'ùnica figûa ch'a no se peu sciacâ e risòlve con sto método chi a l'é a sfêra: inte quésto câxo bezéugna adêuviâ a fórmola de l'Archimêde, dónca:
dónder l'è o ràggio da sfêra eπ l'è a costàntepi grêgo[6].
Sta fórmola chi l'è stæta scrîta pe-a prìmma vòtta da l'Archimêde into sò lìbbroΠερὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου (Da sfêra e do cilìndro).
Fórmole inmediâte pe-o càlcolo de l'àrea de âtre figûe tridimenscionâli són:
Superfìcce do cùbbo: dónde a l'é l'àrea de ciaschedùnn-a de sêi fàcce quadrâte[7].
Superfìcce do cilìndro: dónde a l'é dôe vòtte l'àrea da bâze e a l'é l'àrea da fàccia verticâle[8].
Superfìcce do cöno:, notâ che a l'é a mezûa de l'apotêma do cöno[9].
Raprezentaçión in sciô ciàn cartexàn de l'integrâle definîo da fonçiónf(x) in sce l'intervàllo [a,b].
Con l'introduçión, into perîodo de l'Iluminìsmo, docàlcolo infiniteximâle, l'é diventòu poscìbile calcolâ l'àrea de tùtte e figûe conpréize sótta a-a cùrva de 'na fonçión conosciûa, gràçie a-o coscì dîtointegrâle definîo ò integrâle segóndoRiemann. Defæti, dæta 'na fonçión definîa in sce l'intervàllo [a,b] e poxitîva inte sto intervàllo chi, l'integrâle definîo o l'é pægio pe-a sò definiçión a l'àrea de sótta a-o gràfico da fonçión (se poxitîva) conpréiza tra i póntia eb. Into câxo a fonçión a ségge negatîva, l'àrea coscì òtegnûa a l'é pe cóntra quélla conpréiza sórvia a-a cùrva da fonçión, sótta a l'àsse de ascìsse.
In concluxón, l'àrea conpréiza tra i gràfichi de dôe fonçioîn poxitîve a saiâ a diferénsa tra o valô de quéste pe tùtto o gràfico, dónca:[10].
.svg)
