0062. 不同路径
题目地址(62. 不同路径)
https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/
题目描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。问总共有多少条不同的路径？
例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？ 示例 1:输入: m = 3, n = 2输出: 3解释:从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。1. 向右 -> 向右 -> 向下2. 向右 -> 向下 -> 向右3. 向下 -> 向右 -> 向右示例 2:输入: m = 7, n = 3输出: 28 提示：1 <= m, n <= 100题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9前置知识
排列组合
公司
阿里
腾讯
百度
字节
思路
首先这道题可以用排列组合的解法来解，需要一点高中的知识。
而这道题我们也可以用动态规划来解。其实这是一道典型的适合使用动态规划解决的题目，它和爬楼梯等都属于动态规划中最简单的题目，因此也经常会被用于面试之中。
读完题目你就能想到动态规划的话，建立模型并解决恐怕不是难事。其实我们很容易看出，由于机器人只能右移动和下移动， 因此第[i, j]个格子的总数应该等于[i - 1, j] + [i, j -1]， 因为第[i,j]个格子一定是从左边或者上面移动过来的。
这不就是二维平面的爬楼梯么？和爬楼梯又有什么不同呢？
代码大概是：
Python Code:
class Solution: def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int: d = [[1] * n for _ in range(m)] for col in range(1, m): for row in range(1, n): d[col][row] = d[col - 1][row] + d[col][row - 1] return d[m - 1][n - 1]复杂度分析
时间复杂度：$O(M * N)$
空间复杂度：$O(M * N)$
由于 dp[i][j] 只依赖于左边的元素和上面的元素，因此空间复杂度可以进一步优化， 优化到 O(n).
具体代码请查看代码区。
当然你也可以使用记忆化递归的方式来进行，由于递归深度的原因，性能比上面的方法差不少：
直接暴力递归的话可能会超时。
Python3 Code:
class Solution: @lru_cache def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int: if m == 1 or n == 1: return 1 return self.uniquePaths(m - 1, n) + self.uniquePaths(m, n - 1)关键点
排列组合原理
记忆化递归
基本动态规划问题
空间复杂度可以进一步优化到 O(n), 这会是一个考点
代码
代码支持 JavaScript，Python3, CPP
JavaScript Code:
/* * @lc app=leetcode id=62 lang=javascript * * [62] Unique Paths * * https://leetcode.com/problems/unique-paths/description/ *//** * @param {number} m * @param {number} n * @return {number} */var uniquePaths = function (m, n) { const dp = Array(n).fill(1); for (let i = 1; i < m; i++) { for (let j = 1; j < n; j++) { dp[j] = dp[j] + dp[j - 1]; } } return dp[n - 1];};Python3 Code:
class Solution: def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int: dp = [1] * n for _ in range(1, m): for j in range(1, n): dp[j] += dp[j - 1] return dp[n - 1]CPP Code:
class Solution {public: int uniquePaths(int m, int n) { vector<int> dp(n + 1, 0); dp[n - 1] = 1; for (int i = m - 1; i >= 0; --i) { for (int j = n - 1; j >= 0; --j) dp[j] += dp[j + 1]; } return dp[0]; }};复杂度分析
时间复杂度：$O(M * N)$
空间复杂度：$O(N)$
扩展
你可以做到比$O(M * N)$更快，比$O(N)$更省内存的算法么？这里有一份资料可供参考。
提示： 考虑数学
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