끈 이론
보손 끈 이론 2차원 등각 장론 · BRST 양자화
막 끈 · D-막 · 천-페이턴 인자 · 보른-인펠트 이론 · 미분 형식 전기역학 · NS5-막 · 오리엔티폴드 · 하나니-위튼 전이
초끈 초대칭  · GSO 사영  · 그린-슈워츠 초끈  · 잡종 끈 이론  · 라몽-라몽 장  · 캘브-라몽 장 (액시온)
축소화 칼루차-클레인 이론  · T-이중성  · 칼라비-야우 다양체 · 거울 대칭  · 오비폴드  · 코니폴드  · F이론  · 라디온  · 중력광자
M이론 AdS/CFT 대응성 · 홀로그래피 원리 · 행렬 이론 · S-이중성 · 타키온 응축
양자 중력 초중력 · 딜라톤  · 브랜스-딕 이론 · 블랙홀 열역학
관련 과학자 그로스 · M. 그린 · B. 그린 · 더프 · 데이크흐라프 · 라몽 · 랜들 · 만델스탐 · 말다세나 · 무어 · 바파 · 베네치아노 · 서스킨드 · 센 · 셰르크 · 슈워츠 · 스트로민저 · 아르카니하메드 · 위튼 · 자이베르그 · 타운젠드 · 폴랴코프 · 폴친스키 · 카쿠
역사
v t e

끈 이론에서F이론(F理論,영어:F-theory)은 ⅡB종초끈 이론의축소화를 나타내는 이론이다.^[1] 이란인 이론 물리학자캄란 바파가 1996년에 발표하였다. 형식적으로는 12차원 이론이나, 이는축소화를 하지 않고는 일관적이지 않다. F이론을 사용하여 ⅡB종 초끈 이론의 수많은축소화를 계산할 수 있고, 이들 가운데 상당수는 현상론적으로 중요하다.^{[2][3][4][5][6][7][8][9]}

10차원에 존재하는 ⅡB종 끈 이론은SL(2;ℤ)S-이중성을 가진다. 이 이중성은 12차원의 F이론을원환면${\displaystyle {\mathbb{T}}^2}$에축소화하여 생긴 것으로 해석할 수 있다. 이렇게 해석하면, 원환면의 모양을 나타내는복소구조모듈라이${\displaystyle \tau }$를라몽-라몽 장 (액시온)${\displaystyle C_0}$와딜라톤${\displaystyle \mathrm{\Phi }}$의 합

${\displaystyle \tau =C_0+\mathrm{i}\exp (-\mathrm{\Phi })}$

로 해석할 수 있다. 이 복소수 값 스칼라장을액시오딜라톤(영어:axiodilaton)이라고 한다. 그러나원환면의 크기를 나타내는켈러 모듈라이에 해당하는 장은 존재하지 않는다. 즉, ⅡB종 끈 이론은 F이론을 “크기가 0인 원환면”에 축소화한 것으로 해석할 수 있다.

보다 일반적으로, F이론은 원환면의 복소구조모듈라이 공간(${\displaystyle \mathbb{C}/SL(2,\mathbb{Z})}$)의다발 구조를 갖춘칼라비-야우 다양체에 축소화할 수 있다. 다발의 특이올(singular fibre)은D7-막의 존재를 나타낸다. 따라서 F이론은 ⅡB종 끈 이론의 액시온과 딜라톤,D7-막의 배열을 기하학적인 데이터로 나타낸 이론이다.

F이론	ⅡB 초끈 이론
타원 곡선 올의 올뭉치${\displaystyle \mathrm{\Sigma }\hookrightarrow E\twoheadrightarrow M}$ 위의축소화	다양한 액시온·딜라톤·D7-막이 존재하는${\displaystyle M}$ 위의 비섭동적 축소화
타원 곡선의 복소수모듈라이${\displaystyle \tau \in \mathbb{C},\mathrm{Im}\tau >0}$	액시오딜라톤${\displaystyle C_0+\mathrm{i}\exp (-\mathrm{\Phi })}$
타원 곡선 올의SL(2;ℤ) 모듈러 변환	SL(2;ℤ)S-이중성
타원 곡선 올이 퇴화하는 복소수 3차원 부분 다양체	D7-막 및 일반적${\displaystyle (p,q)}$ 7-막

ⅡA 초끈 이론은M이론을 원 위에 콤팩트화하여 얻을 수 있지만, ⅡB 초끈 이론은 (추가로 콤팩트화한 뒤T-이중성을 사용하지 않고는)M이론에서 직접적으로 콤팩트화하여 얻을 수 없다. 그러나 F이론을원환면 위에 축소화하면 ⅡB 초끈 이론을 얻으며, ⅡB 초끈 이론의SL(2;ℤ)S-이중성은원환면의사상류군에 대응한다.

4차원${\displaystyle \mathcal{N}=1}$초대칭 이론을 얻기 위해서는 ⅡB 초끈 이론을 복소수 3차원칼라비-야우 다양체에축소화하거나, 보다 일반적으로 F이론을 복소수 4차원칼라비-야우 다양체 위에축소화하면 된다. 후자는 ⅡB 초끈 이론을 3차원칼라비-야우 다양체보다 더 일반적인 공간에축소화하는 것으로 해석할 수 있다. 이렇게 하면, 4차원에서E₈ 등의게이지 군을 만들 수 있다.

ⅡB초끈 이론은M이론으로부터 다음과 같이 얻어진다.

1. M이론을 원환면${\displaystyle {\mathbb{S}}_{\text{M}}^1\times {\mathbb{S}}_{\text{T}}^1}$ 위에 축소화한다.
2. 원${\displaystyle {\mathbb{S}}_{\text{T}}^1}$에 T-이중성을 가하여 새 원${\displaystyle {{\mathbb{S}}_{\text{T}}^1}^{\prime }}$을 얻는다.
3. 이제, 원환면${\displaystyle {\mathbb{S}}_{\text{M}}^1\times {\mathbb{S}}_{\text{T}}^1}$에서, 모양(복소구조)은 보존하지만 그 넓이를 0으로 보내는 극한을 취한다. 이 경우 원환면의 복소구조 모듈라이${\displaystyle \tau }$는 ⅡB 닫힌 끈결합 상수와 같음을 알 수 있다.

이제, 이 과정을 일반화하여,M이론을 복소수${\displaystyle n}$차원의칼라비-야우 다양체${\displaystyle {\mathbb{R}}^{11-2n}\times X_n}$에축소화하고, 이 칼라비-야우 다양체가 타원 곡선 올뭉치(예를 들어,타원 곡면)${\displaystyle X_n\twoheadrightarrow Y_{n-1}}$을 이룬다고 하자. 그렇다면, 타원 곡선 올뭉치의타원 곡선 올들의 복소수 모듈라이를 고정시킨 체 그 넓이를 0으로 보내는 극한을 취하자. 그렇다면, T-이중성에 따라서 새 차원이 생겨,${\displaystyle {\mathbb{R}}^{11-2n}\times \mathbb{R}\times Y}$ 위의 이론을 얻는다. 이는 “12차원”의 F이론으로 여길 수 있다.

ⅡA 초끈 이론의D6-막은 M이론의KK 들뜬 상태이므로, 기하학적 데이터로 주어진다. 이는T-이중성 아래 ⅡB 초끈 이론의D7-막이 된다. 즉, 이는 F이론에서타원 곡선 올이 퇴화하는 기하학적 데이터로 주어짐을 알 수 있다.

ⅡB 초끈 이론의섭동 이론이 유효하려면, 끈결합 상수가거의 어디서나 매우 작아야 한다. 이 경우, 결합 상수가 작지 않은, 복소수여차원 1(실수 여차원 2)의 자취(영어:locus)는 ⅡB 초끈 이론의D7-막에 해당한다. 이러한 극한을센 극한(সেন極限,영어:Sen limit)이라고 한다.

구체적으로, 가장 간단한 축소화인 복소수사영 직선 (리만 구)

${\displaystyle {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^1=\mathrm{Proj}\mathbb{C}[u,v]}$

위의 축소화를 생각하자. 그렇다면, 그 위의타원 곡선 올뭉치인타원 곡면은 복소수가중 사영 공간

${\displaystyle {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^{1,2,3}=\mathrm{Proj}\mathbb{C}[z,x,y]\cong {\mathbb{P}}^2/\mathrm{Sym}(3)}$

${\displaystyle \mathrm{deg}u=\mathrm{deg}v=\mathrm{deg}z=1}$

${\displaystyle \mathrm{deg}x=2}$

${\displaystyle \mathrm{deg}y=3}$

을 정의하면,

${\displaystyle {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^1\times {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^{1,2,3}}$

속의대수 곡면으로,${\displaystyle [u:v]}$에서 그 올은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.^[1]:(7)

${\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}_{[u:v]}=\mathrm{Proj}\frac{\mathbb{C}[x,y,z]}{y^2+a_1(u,v)xyz+a_3(u,v)y{z}^3-x^3-a_2(u,v)x^2{z}^2-a_4(u,v)x{z}^4-a_6(u,v)z^6}}$

여기서${\displaystyle a_i(u,v)}$는${\displaystyle 2i}$차동차 다항식이며, 따라서${\displaystyle {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^1}$의표준 가역층${\displaystyle \mathcal{K}}$의 거듭제곱${\displaystyle {\mathcal{K}}^{-n}}$의 단면을 정의한다.

이 경우, 타원 곡선의 모듈라이${\displaystyle \tau }$는 다음과 같이j-불변량으로 주어진다.

${\displaystyle b_2=a_1^2+4a_{-}2}$

${\displaystyle b_4=a_1{a}_3+2a_4}$

${\displaystyle b_6=a_3^2+4a_6}$

${\displaystyle f_4=\frac{24b_4-b_2^2}{48}}$

${\displaystyle g_6=\frac{216b_6-36b_4{b}_2+b_2^3}{864}}$

${\displaystyle j(\tau )=\frac{4(24f_4{)}^3}{4f_4^3+27g_6^2}}$

D7-막은${\displaystyle j(\tau )=\mathrm{\infty }}$인 곳, 즉모듈러 판별식이 0인 곳

${\displaystyle 0=\mathrm{\Delta }(\tau )=4f_4^3+27g_6^2}$

이다. 이는${\displaystyle [u:v]}$에 대한 24차 다항식이다 (즉,가역층${\displaystyle {\mathcal{K}}_{{\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^1}^{-24}}$의 단면이다). 따라서리만 구 위에 24개의D7-막이 존재함을 알 수 있다.

이 수는 ⅡB 초끈 이론에서 다음과 같이 계산할 수 있다. D7-막은 10차원초중력의 해로서 여차원 평면에${\displaystyle 2\pi /12}$라디안의 부족각(不足角,영어:deficit angle)을 갖는다. 따라서,리만 구를 이루기 위한 부족각${\displaystyle 4\pi }$라디안을 채우려면 24개의 D7-막이 필요하다.

일반적으로,${\displaystyle {\mathbb{P}}^1}$ 위의타원 곡면의 특이올은고다이라 구니히코가 발견한 ADE 분류를 가지며, 이 경우 특이점 근처에서 모듈라이${\displaystyle \tau }$의SL(2;ℤ) 모노드로미를 계산할 수 있다. 이 특이점들은 ⅡB 초끈 이론의 7-막에 해당한다. 이러한 7-막들은 액시오딜라톤의SL(2;ℤ) 모노드로미에 의하여 분류되며,D7-막에S-이중성을 가하여 얻는다. 이 경우, 모노드로미에 의한 7-막의 분류는 특이올의 고다이라 분류와 일치한다. 이 경우, 7-막 사이를 잇는${\displaystyle (p,q)}$-끈(기본 끈과D1-막이 겹친 상태)들의 무질량 진동 모드는 ADE 분류에 대응되는딘킨 도표의단순 리 군의딸림표현을 이루며, 따라서, 이러한축소화의 저(低)에너지양자장론은 이러한 게이지 군의양-밀스 이론을 포함하게 된다.

ⅡB초끈 이론섭동 이론이 유효하려면, 끈결합 상수가거의 어디서나 매우 작아야 한다. 이는${\displaystyle \tau }$가 i∞인 것, 즉j-불변량이 ∞가 되는 것이다. 이를 위하여,센 극한은

${\displaystyle a_3\mapsto ϵa_3}$

${\displaystyle a_4\mapsto ϵa_4}$

${\displaystyle a_6\mapsto ϵa_6}$

으로 치환했을 때${\displaystyle ϵ\to 0}$ 극한으로 정의된다. 그렇다면,모듈러 판별식과j-불변량은

${\displaystyle \mathrm{\Delta }(\tau )=-\frac{1}{4}{ϵ}^2{b}_2(b_2{b}_6-b_4^2)+\mathcal{O}({ϵ}^3)}$

${\displaystyle j(\tau )={ϵ}^{-2}\frac{b_2^4}{b_2{b}_6-b_4^2}+\mathcal{O}({ϵ}^{-1})}$

이다. 이 경우,

• ${\displaystyle b_2=0}$인 곳은 ⅡB초끈 이론에서O7-평면에 해당한다.
• ${\displaystyle b_2{b}_6-b_4^2=0}$인 곳은 ⅡB초끈 이론에서D7-막에 해당한다.

1996년에캄란 바파가 발표하였다.^[10] 이름에서 ‘F’는 ‘근본적’(fundamental), ‘아버지’(father) 등으로 해석될 수 있으며, 먼저 발표된M이론과 유사하게 명명한 것이다.

• 딜라톤
• 액시온
• M이론

• “F-theory” (영어). 《nLab》. 

• 끈 이론

• CS1 - 영어 인용 (en)
• 인용 오류 - 오래된 변수를 사용함
• CS1 - 프랑스어 인용 (fr)
• 영어 표기를 포함한 문서
• 구식 포맷의 math 태그를 사용하는 문서