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호모토피

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대수적 위상수학에서호모토피(영어:homotopy) 또는연속 변형 함수(連續變形函數)는 어떤위상 공간을공역으로 하는 특정한연속 함수이다. 직관적으로 말해서, 호모토피는 주어진 위상 공간 위에서 어떤 두 점을 잇는 수많은 가능한경로가 연속적으로 변형되는 것을 나타낸다.

정의

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고전적 정의

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두 경로 $f,g\colon [0,1]\to Y$ 사이의 호모토피 $F {\displaystyle F}$ . 이는 양끝점을 고정시키지 않으므로 경로 호모토피가 아니다.

{\displaystyle f,g\colon [0,1]\to Y} — 두 경로 $f,g\colon [0,1]\to Y$ 사이의 호모토피 $F {\displaystyle F}$ . 이는 양끝점을 고정시키지 않으므로 경로 호모토피가 아니다.

위상 공간 $X {\displaystyle X}$ , $Y {\displaystyle Y}$ 사이의 두연속 함수

f\colon X\to Y

g\colon X\to Y

사이의호모토피는 다음과 같은 성질을 만족시키는연속 함수 $H\colon X\times [0,1]\to Y$ 이다.

$f=H(-,0)$
$g=H(-,1)$

두 연속 함수 사이에 호모토피가 존재할 경우, 두 함수가 서로호모토픽(영어:homotopic) 또는연속 변형적(連續變形的)이라 하며 $f\simeq g$ 와 같이 쓴다. 호모토픽 관계는동치 관계를 이루며, 이에 대한동치류를호모토피류(homotopy類,영어:homotopy class)라고 한다.^[1]^:158–159 연속 함수 $f {\displaystyle f}$ 의 호모토피류는 보통 $[f]$ 라고 쓴다.

상수 함수에 호모토픽한 함수를널호모토픽(null-homotopic) 또는영연속 변형적(零連續變形的)이라고 한다. 상수 함수로의 호모토피를널호모토피(null-homotopy) 또는영연속 변형 함수(零連續變形函數)라 한다.^[2]^:323

모든 위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$ 는데카르트 닫힌 범주가 아니다. 그러나 흔히 사용되는 대부분의 위상 공간을 포함하는데카르트 닫힌 범주를 정의할 수 있다. (예를 들어,콤팩트 생성 공간의 범주 $\operatorname {CGTop}$ 나콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간 $\operatorname {CGWH}$ 가 있다.) $\operatorname {CGTop}$ 에서는지수 대상의 법칙

Y^{X\times [0,1]}\cong (Y^{[0,1]})^{X}\cong (Y^{X})^{[0,1]}

이 성립한다. 여기서 $\times$ 는콤팩트 생성 공간의범주론적 곱이다. $(-)^{(-)}$ 는콤팩트 생성 공간에서의지수 대상이며, 집합으로서 이는연속 함수의 집합이다. 따라서, $\operatorname {CGTop}$ 에서는 호모토피를 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 서로동치이다.

연속 함수 공간 $Y^{X}$ 에서의경로 $h\colon [0,1]\to Y^{X}$ . 이는 가장 직관적인 정의이며, 위상 공간 위의풍성한 범주에서 직접적으로 일반화할 수 있다.
$X\times [0,1]$ 에서 $Y {\displaystyle Y}$ 로 가는연속 함수 $h\colon X\times [0,1]\to Y$ . 이는 고전적인 정의이다. 이 정의는 임의의모형 범주에서왼쪽 호모토피(영어:left homotopy)라는 이름으로 일반화된다.
- 일반적으로 $\operatorname {CGTop}$ 에서의 곱은곱공간보다 더섬세한 위상을 가진다. 그러나 구간 $[0,1]$ 은국소 콤팩트 하우스도르프 공간이므로, 만약 $X {\displaystyle X}$ 가콤팩트 생성 공간이라면 $X\times [0,1]$ 의 위상은곱공간 위상과 일치한다. 따라서,콤팩트 생성 공간 사이의연속 함수의 호모토피의 정의는 $\operatorname {Top}$ 을 사용하든, $\operatorname {CGTop}$ 을 사용하든 상관이 없다.
$X {\displaystyle X}$ 에서경로 공간 $Y^{[0,1]}$ 으로 가는연속 함수 $h\colon X\to Y^{[0,1]}$ . 이는 임의의모형 범주에서오른쪽 호모토피(영어:right homotopy)라는 이름으로 일반화된다.

풍성한 범주에서의 정의

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위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$ 는데카르트 모노이드 범주를 이룬다. 그 위의풍성한 범주 ${\mathcal {C}}$ 가 주어졌다고 하자. 즉, 임의의 두 대상 $X,Y\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여, 그 사이의 사상 집합 $\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)$ 는 사실 단순한집합이 아니라,위상 공간의 구조가 갖추어져 있다고 하자.

같은정의역과공역을 갖는 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 이 주어졌다고 하자. 이는 $\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)$ 속의 두 점

f,g\in \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)

을 이룬다. 이 경우, $f {\displaystyle f}$ 와 $g {\displaystyle g}$ 사이의호모토피는 $f {\displaystyle f}$ 와 $g {\displaystyle g}$ 를 잇는, $\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)$ 속의경로이다. 이는 $\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)$ 위의동치 관계를 이룬다.호모토피류는 $\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)$ 의경로 연결 성분이다.

고전적으로, 모든 위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$ 는데카르트 닫힌 범주를 이루지 않는다. 그러나 $\operatorname {CGTop}$ 등위상 공간으로 구성된데카르트 닫힌 범주를 사용하면, 이는 스스로 위의풍성한 범주를 이루며, 이 경우 고전적인 정의는 풍성한 범주에서의 정의의 특수한 경우가 된다.

보다 일반적으로, 위상 공간 대신 "연결 성분"의 개념을 정의할 수 있는 다른 범주, 예를 들어단체 집합의 범주 $\operatorname {sSet}$ 를 사용할 수도 있다.

모형 범주에서의 정의

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호모토피 이론은 추상적으로 임의의모형 범주 위에서 전개될 수 있다.위상 공간의 범주(또는콤팩트 생성 공간의 범주 등)는모형 범주의 구조를 가지며, 호모토피의 개념을 임의의모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다.^[3]^:§14.3 이 경우,왼쪽 호모토피(영어:left homotopy)와오른쪽 호모토피(영어:right homotopy)라는, 서로 쌍대적인 두 개념이 존재하며, 이 두 개념은 적절한 경우 (정의역이 쌍대올대상이며공역이 올대상인 경우) 서로동치이다.

편의상, 올뭉치는 $\twoheadrightarrow$ 로, 쌍대올뭉치는 $\hookrightarrow$ 로, 약한 동치는 ${\xrightarrow {\sim }}$ 로 표기하자.

왼쪽 호모토피

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임의의유한 쌍대 완비 범주에서, 다음과 같은쌍대 대각 사상이 존재한다.

X\sqcup X\to X

여기서 $\sqcup$ 은쌍대곱이다 (즉, 위상 공간의 경우분리합집합이다).모형 범주 $({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})$ 에서, 대상 $X {\displaystyle X}$ 의기둥 대상(영어:cylinder object) $\operatorname {Cyl} X$ 는쌍대 대각 사상 $X\sqcup X\to X$ 의 다음과 같은 분해이다.

X\sqcup X\to \operatorname {Cyl} X{\xrightarrow {\sim }}X

이는 위상 공간의 범주에서의 "기둥" $X\times [0,1]$ 의 일반화이다. 기둥 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.^[3]^{:280, Definition 14.3.1}

만약 $X\sqcup X\to \operatorname {Cyl} X$ 가 쌍대올뭉치라면, 이를좋은 기둥 대상(영어:good cylinder object)이라고 한다.
만약 $X\sqcup X\to \operatorname {Cyl} X$ 가 쌍대올뭉치이며, $\operatorname {Cyl} X{\xrightarrow {\sim }}X$ 가 올뭉치이자 약한 동치라면, 이를매우 좋은 기둥 대상(영어:very good cylinder object)이라고 한다.

모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 기둥 대상이 항상 존재하지만, 실제로 위상 공간에 퀼런 모형 구조(영어:Quillen model structure)를 준 경우 $X\times [0,1]$ 는 일반적으로 좋지 않다. 하지만 후레비치 모형 구조(영어:Hurewicz model structure)에서 $X\times [0,1]$ 는 매우 좋은 기둥 대상이다.

두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 사이의왼쪽 호모토피(영어:left homotopy)는 어떤 기둥 대상 $\operatorname {Cyl} X$ 에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 $h\colon \operatorname {Cyl} X\to Y$ 이다.

{\begin{matrix}X\sqcup X&\hookrightarrow &\operatorname {Cyl} X\\&{\scriptstyle f\sqcup g}\searrow &\downarrow \scriptstyle h\\&&Y\end{matrix}}

이 기둥 대상을 (매우) 좋은 기둥 대상으로 잡을 수 있다면, 이를(매우) 좋은 왼쪽 호모토피(영어:(very) good left homotopy)라고 한다.

같은정의역과공역을 갖는 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음이 성립한다.^[3]^{:282, Proposition 14.3.9(i), (ii)}

$f {\displaystyle f}$ 와 $g {\displaystyle g}$ 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 $f {\displaystyle f}$ 와 $g {\displaystyle g}$ 사이에 좋은 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부와동치이다.
만약 $Y {\displaystyle Y}$ 가 올대상이라면, $f {\displaystyle f}$ 와 $g {\displaystyle g}$ 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 $f {\displaystyle f}$ 와 $g {\displaystyle g}$ 사이에 매우 좋은 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부와동치이다.

왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 일반적으로동치 관계를 이루지 않는다.^[3]^:281 그러나 만약정의역 $X {\displaystyle X}$ 가 쌍대올대상일 경우, 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는동치 관계를 이루며,^[3]^{:282, Proposition 14.3.9(iv)} 이 경우 두 사상이 서로왼쪽 호모토픽(영어:left-homotopic)하다고 한다.

오른쪽 호모토피

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임의의유한 완비 범주에서, 다음과 같은대각 사상이 존재한다.

X\to X\times X

여기서 $\times$ 은범주론적 곱이다 (즉,위상 공간의 경우곱공간이며,콤팩트 생성 공간의 경우 곱공간의 콤팩트 생성화이다).모형 범주 $({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})$ 에서, 대상 $X {\displaystyle X}$ 의경로 공간 대상(영어:path space object) $\operatorname {Path} X$ 는대각 사상 $X\to X\times X$ 의 다음과 같은 분해이다.

X{\xrightarrow {\sim }}\operatorname {Path} X\to X\times X

이는 위상 공간의 범주에서의경로 공간 $X^{[0,1]}$ 의 일반화이다. 경로 공간 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.^[3]^{:281, Definition 14.3.4}

만약 $\operatorname {Path} X\to X\times X$ 가 쌍대올뭉치라면, 이를좋은 경로 공간 대상(영어:good path space object)이라고 한다.
만약 $\operatorname {Path} X\to X\times X$ 가 쌍대올뭉치이며, $X{\xrightarrow {\sim }}\operatorname {Path} X$ 가 올뭉치이자 약한 동치라면, 이를매우 좋은 경로 공간 대상(영어:very good path space object)이라고 한다.

모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 경로 공간 대상이 항상 존재한다.

두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 사이의오른쪽 호모토피(영어:right homotopy)는 어떤 경로 공간 대상 $\operatorname {Path} X$ 에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 $h\colon X\to \operatorname {Path} Y$ 이다.

{\begin{matrix}X\\{\scriptstyle h}\downarrow &\searrow \scriptstyle f\times g\\\operatorname {Path} Y&\twoheadrightarrow &Y\times Y\end{matrix}}

이 경로 공간 대상을 (매우) 좋은 경로 공간 대상으로 잡을 수 있다면, 이를(매우) 좋은 오른쪽 호모토피(영어:(very) good right homotopy)라고 한다.

같은정의역과공역을 갖는 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음이 성립한다.^[3]^{:282, Proposition 14.3.9(i), (ii)}

$f {\displaystyle f}$ 와 $g {\displaystyle g}$ 사이에 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 $f {\displaystyle f}$ 와 $g {\displaystyle g}$ 사이에 좋은 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부와동치이다.
만약 $X {\displaystyle X}$ 가 쌍대올대상이라면, $f {\displaystyle f}$ 와 $g {\displaystyle g}$ 사이에 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 $f {\displaystyle f}$ 와 $g {\displaystyle g}$ 사이에 매우 좋은 오른쪽 호모토피가 존재하는지 여부와동치이다.

마찬가지로, 오른쪽 호모토피의 존재는 일반적으로동치 관계를 이루지 않는다. 그러나 만약공역 $Y {\displaystyle Y}$ 가 올대상이라면, 오른쪽 호모토피의 존재는동치 관계를 이루며,^[3]^{:282, Proposition 14.3.9(iv)} 이 경우 두 사상이 서로오른쪽 호모토픽(영어:right-homotopic)하다고 한다.

왼쪽 호모토피와 오른쪽 호모토피의 관계

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왼쪽 호모토피와 오른쪽 호모토피는 다음과 같이 호환된다. 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음이 성립한다.^[3]^{:284, Proposition 14.3.11}

만약 $X {\displaystyle X}$ 가 쌍대올대상이며, 왼쪽 호모토피 $f\Rightarrow g$ 가 존재한다면, 오른쪽 호모토피 $f\Rightarrow g$ 역시 존재한다.
만약 $Y {\displaystyle Y}$ 가 올대상이며, 오른쪽 호모토피 $f\Rightarrow g$ 가 존재한다면, 왼쪽 호모토피 $f\Rightarrow g$ 역시 존재한다.

따라서,정의역이 쌍대올대상이고공역이 올대상인 경우, 왼쪽 호모토피 · 좋은 왼쪽 호모토피 · 매우 좋은 왼쪽 호모토피 · 오른쪽 호모토피 · 좋은 오른쪽 호모토피 · 매우 좋은 오른쪽 호모토피는 서로 동일한동치 관계를 정의한다. 이 경우 두 사상이 단순히 서로호모토픽하다고 한다.

또한, 주어진 쌍대올대상 $X {\displaystyle X}$ 에 대하여, 임의의 올대상 $Y {\displaystyle Y}$ 으로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉, $Y {\displaystyle Y}$ 에 의존하지 않는) 좋은 기둥 대상에 대한 왼쪽 호모토피로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, 주어진 올대상 $Y {\displaystyle Y}$ 에 대하여, 임의의 쌍대올대상 $X {\displaystyle X}$ 에서 $Y {\displaystyle Y}$ 로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉, $X {\displaystyle X}$ 에 의존하지 않는) 좋은 경로 공간 대상 $\operatorname {Path} Y$ 에 대한 오른쪽 호모토피로 나타낼 수 있다.^[3]^{:285, Corollary 14.3.13}

고전적 정의와의 관계

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위상 공간의 범주 또는콤팩트 생성 공간의 범주에 퀼런 모형 구조를 주자. 이 경우, 모든 위상 공간은 올대상이며, 모든CW 복합체는 쌍대올대상이다.

또한, 이 경우 고전적 기둥 $X\times [0,1]$ 은 (만약 $X {\displaystyle X}$ 가 쌍대올대상이라면) 좋은 기둥 대상을 이루며, 만약콤팩트 생성 공간을 사용한다면 고전적 경로 공간 $X^{[0,1]}$ 은 (모든 공간이 올대상이므로) 좋은 경로 공간 대상을 이룬다. 따라서,공역이CW 복합체인 경우 모형 범주 이론에서의 호모토피류는 고전적 호모토피류와 일치한다.

종류

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다음과 같은 특별한 호모토피(류)의 개념이 존재한다.

부분 공간을 고정한 호모토피

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위상 공간 $X {\displaystyle X}$ , $Y {\displaystyle Y}$ 및 $X {\displaystyle X}$ 의 부분 공간 $X^{'} {\displaystyle X'}$ 이 주어졌을 때, 두 연속 함수 $f,g\colon X\to Y$ 사이의 호모토피 $H\colon X\times [0,1]\to Y$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $H {\displaystyle H}$ 를 $X^{'} {\displaystyle X'}$ 에서 고정된 호모토피(영어:homotopy relative to $X^{'} {\displaystyle X'}$ )라고 한다.^[1]^:158–159

임의의 $(x',t)\in X'\times [0,1]$ 에 대하여, $H(x',t)=f(x')=g(x')$

$f {\displaystyle f}$ 와 $g {\displaystyle g}$ 가 $X^{'} {\displaystyle X'}$ 을 고정하여 호모토픽하다는 것은 기호로 다음과 같이 적는다.

f\simeq g\;\operatorname {rel} X'

부분 공간을 고정한 호모토피 역시동치 관계를 이루며, 이에 대한동치류 역시 정의할 수 있다.

이 정의의 특수한 경우로, 위상 공간 $Y {\displaystyle Y}$ 위의경로 $f,g\colon [0,1]\to Y$ 에 대하여, $\{0,1\}\subset [0,1]$ 을 고정한 호모토피를경로 호모토피(영어:path homotopy)라고 한다. 경로 호모토픽 관계는 보통 $\simeq _{\text{p}}$ 로 쓴다.^[2]^:323

아이소토피

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두 위상 공간 $X {\displaystyle X}$ , $Y {\displaystyle Y}$ 사이의 두매장 $f,g\colon X\to Y$ 사이의 호모토피 $H\colon X\times [0,1]\to Y$ 가 다음 조건을 만족시킬 경우, $H {\displaystyle H}$ 를아이소토피(영어:isotopy) 또는동위(同位)라고 한다.

모든 $t\in [0,1]$ 에 대하여, $H(-,t)\colon X\to Y$ 는매장이다.

같이 보기

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각주

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↑^가^나곽진호; 이재운 (2007). 《조합적 곡면위상론》. 경문사.
↑^가^나Munkres, James R. (2000).《Topology》 2판 (영어). Prentice Hall.ISBN 978-0-13-181629-9.MR 0464128.Zbl 0951.54001.
↑^가^나^다^라^마^바^사^아^자^차May, Peter; Ponto, Kathleen (2012년 2월).《More concise algebraic topology: localization, completion, and model categories》(PDF) (영어). Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press.ISBN 978-022651178-8. 2017년 7월 6일에원본 문서(PDF)에서 보존된 문서. 2016년 2월 12일에 확인함.

Hatcher, Allen (2002).《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press.ISBN 978-0-521-79540-1.MR 1867354.Zbl 1044.55001.
May, J. Peter (1999년 9월).《A concise course in algebraic topology》(PDF) (영어). Chicago Lectures in Mathematics. Chicago:University of Chicago Press.ISBN 978-02-2651-183-2.

외부 링크

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위키미디어 공용에호모토피 주제와 관련된 미디어 분류가 있습니다.

“Homotopy” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001.ISBN 978-1-55608-010-4.
“Isotopy (in topology)” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001.ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang.“Homotopy” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang.“Homotopic” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang.“Homotopy class” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang.“Isotopy” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Homotopy” (영어). 《nLab》.
- “Cylinder object” (영어). 《nLab》.
- “Path object” (영어). 《nLab》.
- “Cylinder functor” (영어). 《nLab》.

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