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핵 (수학)

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수학에서, 어떤사상의핵(核,kernel 커널[*])은 0의원상의 포함 사상으로 생각할 수 있는 특별한단사 사상이다.범주론을 통해 추상적으로 정의할 수 있으나, 적절한 조건을 만족시키는구체적 범주에서는 특정 원소의원상의 포함 함수가 된다.

정의

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영 사상을 갖는 범주C{\displaystyle {\mathcal {C}}} 속의 사상f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}의핵ker⁡f:K→X{\displaystyle \ker f\colon K\to X}은 다음과 같은 영 사상과의동등자이다.

ker⁡f=eq⁡{f,0XY}{\displaystyle \ker f=\operatorname {eq} \{f,0_{XY}\}}

영 대상을 갖는 범주 속의 사상f{\displaystyle f}에 대하여,f=ker⁡g{\displaystyle f=\ker g}인g{\displaystyle g}가 존재한다면f{\displaystyle f}를정규 단사 사상(正規單射寫像,영어:normal monomorphism)이라고 한다. "정규"라는 용어는군론의정규 부분군에서 유래하였다. 임의의 영 대상을 갖는 범주에서, 정규 단사 사상은 (동등자이므로)단사 사상이다.

모든단사 사상이 정규 단사 사상인 영 사상을 갖는 범주를정규 범주(正規範疇,영어:normal category)라고 한다.

성질

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준가법 범주 (아벨 군의모노이드 범주Ab{\displaystyle \operatorname {Ab} } 위의풍성한 범주)에서, 두 사상의동등자는 그 차의 핵과 같다.

eq⁡{f,g}=ker⁡(f−g){\displaystyle \operatorname {eq} \{f,g\}=\ker(f-g)}

아벨 범주에서 모든 사상은 핵을 가지며, 모든단사 사상은 정규 단사 사상이다. 구체적으로, 아벨 범주에서 모든 단사 사상은 그여핵의 핵과 같으며, 모든전사 사상은 그 핵의 여핵과 같다.

예

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벡터 공간과 가군

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환R{\displaystyle R} 위의왼쪽 가군의 범주R-Mod{\displaystyle R{\text{-Mod}}}는영 사상을 갖는 범주이며, 이 범주에서 모든 사상(가군 준동형)은 핵을 갖는다.구체적으로,f:M→N{\displaystyle f\colon M\to N}의 핵ker⁡f:K↪M{\displaystyle \ker f\colon K\hookrightarrow M}는 다음과 같은 포함 함수이다.

K={m∈M:f(m)=0N}{\displaystyle K=\{m\in M\colon f(m)=0_{N}\}}

R-Mod{\displaystyle R{\text{-Mod}}}에서 모든 단사 사상은 정규 단사 사상이다. 이는 (군이나유사환의 경우와 달리) 임의의부분 가군에 대한몫가군을 정의할 수 있기 때문이다.

특히,선형대수학에서R{\displaystyle R}가체일 경우, 체 위의 가군들은벡터 공간이며, 벡터 공간의 범주에서는 핵이 존재한다. 특히,행렬은 유한 차원 벡터 공간 사이의선형 변환을 정의하며, 행렬의 핵은 벡터 공간의 범주에서의 핵이다. 선형대수학에서 핵은영공간(零空間,영어:null space)이라고 불리기도 한다.

군

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군과군 준동형의 범주Grp{\displaystyle \operatorname {Grp} }에서, 영 사상은 1(군 연산의 항등원)로 가는상수 함수이다.Grp{\displaystyle \operatorname {Grp} }에서 모든 사상(군 준동형)은 핵을 갖는다.구체적으로,f:G→H{\displaystyle f\colon G\to H}의 핵ker⁡f:K↪G{\displaystyle \ker f\colon K\hookrightarrow G}는 다음과 같은 포함 함수이다.

K={g∈G:f(g)=0H}{\displaystyle K=\{g\in G\colon f(g)=0_{H}\}}

이 경우,K{\displaystyle K}는G{\displaystyle G}의정규 부분군을 이룬다.

군의 범주에서, 임의의군 준동형f:G→H{\displaystyle f\colon G\to H}에 대하여 다음 두 조건이 서로동치이다.

아벨 군과군 준동형의 범주Ab{\displaystyle \operatorname {Ab} }에서, 영 사상과 핵은Grp{\displaystyle \operatorname {Grp} }에서와 같다. 즉, 영 사상은 0(군 연산의 항등원)으로 가는상수 함수이며, 핵은 0의 원상으로 가는 포함 함수이다.Ab{\displaystyle \operatorname {Ab} }에서단사 함수인 모든군 준동형은 정규 단사 사상이다. 이는아벨 군의 모든부분군이정규 부분군이기 때문이다.

유사환

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유사환과 유사환 준동형의 범주Rng{\displaystyle \operatorname {Rng} }에서, 영 사상은 0 (덧셈 항등원)으로 가는상수 함수이다.Rng{\displaystyle \operatorname {Rng} }에서 모든 사상은 핵을 갖는다.구체적으로,f:R→S{\displaystyle f\colon R\to S}의 핵ker⁡f:k→R{\displaystyle \ker f\colon {\mathfrak {k}}\to R}는 다음과 같은 포함 함수이다.

k={g∈G:f(g)=0H}{\displaystyle {\mathfrak {k}}=\{g\in G\colon f(g)=0_{H}\}}

이 경우,k{\displaystyle {\mathfrak {k}}}는R{\displaystyle R}의아이디얼을 이룬다.

유사환의 범주에서, 임의의 유사환 준동형f:R→S{\displaystyle f\colon R\to S}에 대하여 다음 두 조건이 서로동치이다.

(곱셈 단위원을 갖는)환과환 준동형의 범주Ring{\displaystyle \operatorname {Ring} }에서 핵은 존재하지 않는다. 이는 아이디얼은 1을 포함하지 않을 수 있어부분환을 이루지 못할 수 있기 때문이다.

점을 가진 공간

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점을 가진 공간의 범주Top∙{\displaystyle \operatorname {Top} _{\bullet }}에서, 영 사상은∙{\displaystyle \bullet }으로 가는상수 함수이다. 이 범주에서 모든 사상f:(X,∙X)→(Y,∙Y){\displaystyle f\colon (X,\bullet _{X})\to (Y,\bullet _{Y})}은 핵ker⁡f:(K,∙X)↪(X,∙X){\displaystyle \ker f\colon (K,\bullet _{X})\hookrightarrow (X,\bullet _{X})}을 가지며, 이는∙{\displaystyle \bullet }의원상에 대한 포함 함수이다.

K={x∈X:f(x)=∙Y}{\displaystyle K=\{x\in X\colon f(x)=\bullet _{Y}\}}

외부 링크

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같이 보기

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