연산자 이론에서퇴플리츠 연산자(Toeplitz operator)는하디 공간에 대한 원 위의곱셈 연산자의압축이다.

${\displaystyle S^1}$을 복소 평면의 단위 원으로, 표준 르베그 측도를 가지며,${\displaystyle L^2(S^1)}$을 복소수 값 제곱 적분 가능 함수의 힐베르트 공간이라고 하자.${\displaystyle S^1}$ 위의 유계 가측 복소수 값 함수${\displaystyle g}$는${\displaystyle L^2(S^1)}$에 대한곱셈 연산자${\displaystyle M_g}$를 정의한다.${\displaystyle P}$를${\displaystyle L^2(S^1)}$에서하디 공간${\displaystyle H^2}$로의 투영이라고 하자. 심볼${\displaystyle g}$를 가진 퇴플리츠 연산자는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle T_g=P{M}_g{|}_{H^2},}$

여기서 " | "는 제한을 의미한다.

${\displaystyle H^2}$ 위의 유계 연산자는기저${\displaystyle \{z^n,z\in \mathbb{C},n\ge 0\}}$에서 행렬 표현이 상수 대각선을 갖는 경우에만 퇴플리츠 연산자이다.

• 정리: 만약${\displaystyle g}$가연속이면,${\displaystyle T_g-\lambda }$는${\displaystyle \lambda }$가 집합${\displaystyle g(S^1)}$에 속하지 않는 경우에만프레드홀름이다. 만약 프레드홀름이라면, 그 지수는 원점에 대한${\displaystyle g}$가 그리는 곡선의 회전 수의 음수이다.

증명은Douglas (1972, p.185)를 참조하라. 그는 이 정리를마르크 크레인, 해럴드 위덤, 앨런 데비나츠에게 돌린다. 이것은아티야-싱어 지수 정리의 중요한 특별한 경우로 간주될 수 있다.

• 액슬러-장성룽-새러슨 정리: 연산자${\displaystyle T_f{T}_g-T_{fg}}$는${\displaystyle H^{\mathrm{\infty }}[\overline{f}]\cap H^{\mathrm{\infty }}[g]\subseteq H^{\mathrm{\infty }}+C^0(S^1)}$인 경우에만콤팩트이다.

여기서${\displaystyle H^{\mathrm{\infty }}}$는${\displaystyle L^{\mathrm{\infty }}(S^1)}$의 해석 함수(음의 푸리에 계수가 0인 함수)의 닫힌 부분 대수,${\displaystyle H^{\mathrm{\infty }}[f]}$는${\displaystyle f}$와${\displaystyle H^{\mathrm{\infty }}}$에 의해 생성된${\displaystyle L^{\mathrm{\infty }}(S^1)}$의 닫힌 부분 대수,${\displaystyle C^0(S^1)}$은 원 위의 연속 함수 공간(대수적 집합으로서)을 나타낸다.S.Axler, S-Y. Chang, D. Sarason (1978)을 참조하라.

• 퇴플리츠 행렬

• S.Axler, S-Y. Chang, D. Sarason (1978), “Products of Toeplitz operators”, 《Integral Equations and Operator Theory》1 (3): 285–309,doi:10.1007/BF01682841,S2CID 120610368  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)
• Böttcher, Albrecht; Grudsky, Sergei M. (2000),《Toeplitz Matrices, Asymptotic Linear Algebra, and Functional Analysis》,Birkhäuser,ISBN 978-3-0348-8395-5 .
• Böttcher, A.; Silbermann, B. (2006), 《Analysis of Toeplitz Operators》 2판, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag,ISBN 978-3-540-32434-8 .
• Douglas, Ronald (1972), 《Banach Algebra techniques in Operator theory》, Academic Press .
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1985), 《Hardy Classes and Operator Theory》, Oxford University Press . Reprinted by Dover Publications, 1997,ISBN 978-0-486-69536-5.

• 연산자 이론
• 선형 연산자

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