정수론에서, 양의 정수n 에 대한진약수의 합s(n )은,n의 자기 자신을 제외한n 에 대한 모든 약수(진약수)의 합이다. 이를 수식으로 표현하면,
소수,완전수,사교수,부족수,과잉수,불가촉수를 묘사할 수 있으며, 진약수의 합 수열을 정의하는 데 사용할 수 있다.
예를 들어, 12의 진약수(즉, 12를 제외한 12의 양의 약수)는 1, 2, 3, 4, 6이므로, 12에 대한 진약수의 합은 16이다. (1 + 2 + 3 + 4 + 6).
n = 1, 2, 3, ...에 대한s(n)의 값은 다음과 같다.
- 0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ... (OEIS의 수열A001065)
진약수의 합은 특정 숫자 집단을 묘사하는 데 사용할 수 있다.
- 1은 진약수의 합이 0인 유일한 수다. 어떤 숫자가 진약수의 합이 1인 경우에만소수다.[1]
- 완전수는 진약수의 합이 자기 자신과 같고,부족수는 진약수의 합이 자기 자신보다 작으며,과잉수는 진약수의 합이 자기 자신보다 크다.[1]
- 준완전수(이러한 수가 존재하는 경우)는 진약수의 합이n + 1 과 같은 숫자n 이다. 근완전수 (2의 거듭제곱 포함되며, 지금까지 알려진 유일한 숫자)는 진약수의 합이n − 1 과 같은 숫자n이다.[1]
- 불가촉수는 진약수의 합의 값으로 표현할 수 없는 수이다. 적어도 2와 5는 진약수의 합의 결과로 나올 수 없다고 관찰한 연구 Abu Mansur al-Baghdadi (서기 1000년경)도 있다.[1][2] 그리고Paul Erdős는 불가촉수가 무한하다는 것을 증명했다.[3] 5가 진약수의 합으로 유일하게 건드릴 수 없는 홀수라는 추측은 아직 증명되지 않았지만, 준소수pq에 대해 진약수의 합은p +q + 1이라는 관찰과 함께Goldbach의 추측 형식에서 따를 것이다.[1]
Pollack & Pomerance (2016)에서 수학자 Erdős의 "가장 좋아하는 조사 주제" 중 하나가 진약수의 합이라고 언급했다.
음이 아닌 정수n 에 대한 진약수의 합 함수를 반복하면, 진약수의 합 수열n,s (n),s(s(n)), ...이 생성된다 (이 수열에서는s (0) = 0을 정의한다). 이러한 수열이 항상소수로 끝나는지,완전수인지,사교수의 주기적인 수열로 끝나는지는 알 수 없다.[4]
- 약수 함수: 숫자의 (x 의 거듭제곱) 양의 약수의 합
- William of Auberive, 진약수의 합에 관심이 있는 중세시대의 수비학자
- ↑가나다라마Pollack, Paul;Pomerance, Carl (2016), “Some problems of Erdős on the sum-of-divisors function”, 《Transactions of the American Mathematical Society》, Series B3: 1–26,doi:10.1090/btran/10,MR 3481968
- ↑Sesiano, J. (1991), “Two problems of number theory in Islamic times”, 《Archive for History of Exact Sciences》41 (3): 235–238,doi:10.1007/BF00348408,JSTOR 41133889,MR 1107382,S2CID 115235810
- ↑Erdős, P. (1973),“Über die Zahlen der Form
und
”(PDF), 《Elemente der Mathematik》28: 83–86,MR 0337733 - ↑Weisstein, Eric Wolfgang.“Catalan's Aliquot Sequence Conjecture” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
