수학에서, 어떤 수의제곱근(-根,영어:square root) 또는자승근은 제곱하여 그 수가 되는 모든 수이다.거듭제곱의 역연산이다. 즉,실수 및복소수에서, '제곱한 수의 뿌리가 되는 모든 수'를 뜻한다.실수의 범위에서만 보면, 모든 양의 실수는 서로덧셈 역원인 두 제곱근을 가지며, 이 중 음이 아닌 하나를주요 제곱근(主要제곱根,영어:principal square root)이라고 한다. 그러나 0의 제곱근은 0뿐이므로 이를 주요 제곱근으로 삼으며, 음의 실수의 실수 제곱근은 존재하지 않으므로 주요 제곱근을 정의할 수 없다. 예를 들어, 실수 9의 제곱근은 ±3이며, 이 중 주요 제곱근은 3이다. 또한 −4의 제곱근은 존재하지 않는다.복소수의 범위에서 보면, 모든 0이 아닌 복소수는 서로중심 대칭인 두 제곱근을 가지며, 이 중 편각이 원래의 반인 하나를 주요 제곱근으로 삼는다. 예를 들어, 복소수의 제곱근은이며, 이 중 주요 제곱근은 1 +i이다.
기원전 1800년과 기원전 1600년 사이에 작성된YBC 7289 점토판에는√2의 근삿값을 계산한 결과가 적혀 있다.[1]60진법 (1;24,51,10)을 10진법으로 바꾸면 1.41421296..으로 실제√2의 값 1.41421356..과 소숫점 아래 다섯 자리까지 일치한다.
페르시아의 수학자콰리즈미(783~850)는 《약분·소거 계산론(영어판)》에서 제곱근을 ‘자드르(جذر)’라고 불렀다. ‘자드르(جذر)’는 ‘근본’·‘기반’·‘뿌리’ 등을 뜻하는데 이것에 유럽에 전해지면서 ‘뿌리’라는 뜻의 라틴어 단어 ‘라딕스(radix)’로 번역되었다.[2]
아랍 수학자들은 ‘자드르(جذر)’의 첫글자인 짐(ﺟ)을 제곱근을 위한 기호로 썼는데, 이렇게 쓰인 가장 오래된 문헌으로는이븐 알야사민(아랍어판)(?~1204)의 저작이 있다.[3] 한편 유럽에서는레기오몬타누스(1436~1476)가 대문자 R을 제곱근 기호로 쓰기 시작했다. 현대적인근호 √의 기원은 아랍 문자ﺟ이 변형된 것이라는 설과 소문자 r이 변형된 것이라는 설 등이 있다. 현대적인 근호가 제일 먼저 쓰인 책은크리스토프 루돌프(독일어판)의 독일어 대수학 교과서인 《Behend vnnd Hübsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeincklich die Coss genennt werden》(1525)이다.
제곱근의 풀이법은아르키메데스의 저서에서도 언급된 바 있으며,헤론은바빌로니아 법과 거의 비슷한 풀이를 저서에서 제시하기도 했다. 나눗셈과 비슷한 방법으로 제곱근을 구하는 전통적인 방법인개평법도 있다. 개평법은 16세기에 발견된 풀이로써 (a1＋a2＋…＋ak)2 ＝a12＋(2a1＋a2)a2＋(2a1＋2a2＋a3)a3 ＋…＋(2a1＋2a2＋…＋ak)ak라는 항등식으로부터 유도되었다. 그러나 이 방법은 각 자리의 숫자를 정확히 구할 수 있는 대신 과정이 복잡하고계산 효율이 낮아 현대에는 거의 사용되지 않는다. 대신에, 제곱근에 빠르게수렴하는수열을 만들어근삿값을 구하는 방법인바빌로니아 법을 이용하는 것이 보통이다. 이것은뉴턴랩슨 법을 이용하여이차방정식의근사해를 구하는 것과 동일하다.
