Movatterモバイル変換

본문으로 이동

약수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.

다른 뜻에 대해서는약수 (동음이의) 문서를 참고하십시오.

수론에서약수(約數,영어:divisor) 또는인수(因數,영어:factor, 전 용어: 승자(乘子))는 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수를 말한다.다항식의 약수나가환환의 원소의 약수를 정의할 수도 있다.

정의

두정수 $a {\displaystyle a}$ , $b {\displaystyle b}$ 에 대하여 $b=ac$ 를 만족하는 정수 $c {\displaystyle c}$ 가 존재한다면, $a {\displaystyle a}$ 를 $b {\displaystyle b}$ 의약수라고 하며, 이를 $a\mid b$ 와 같이 표기한다.

모든 정수는 1, -1을 약수로 가진다. 또한, 모든 정수는 자기 자신과 그반수를 약수로 가진다. 0은 모든 정수를 약수로 가지며, 0이 아닌 정수는 0을 약수로 가지지 않는다. 즉, 정수 $n {\displaystyle n}$ 에 대하여 다음 성질들이 성립한다.

$\pm 1\mid n$
$\pm n\mid n$
$n\mid 0$
$0\mid n\iff n=0$

정수 $n {\displaystyle n}$ 의 약수 가운데 1, -1, $n {\displaystyle n}$ , $-n$ 을 $n {\displaystyle n}$ 의자명 약수(영어:trivial divisor)라고 하고 자명 약수를 제외한 약수를고유 약수(영어:non-trivial divisor)라고 한다. 자기 자신을 제외한 양의 약수를진약수(영어:proper divisor)라고 한다.

예

12의 모든 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이다. 약수는음수일 수도 있으며, 12의 모든 음의 약수는 -1, -2, -3, -4, -6, -12이다. 양의 약수와 음의 약수는 항상 서로 짝을 이룬다.
7 ∣ 42이다. 42 = 7 × 6이기 때문이다. 이를 다음과 같이 여러 가지 방법으로 서술할 수 있다.
- 7은 42의 약수/인수다.
- 42는 7의배수다.
- 7은 42를 나눈다/완제한다.
- 42는 7로 나누어떨어진다.
6의 모든 약수는 ±1, ±2, ±3, ±6이다. 그리고 고유 약수는 ±2, ±3이고 진약수는 1, 2, 3이다.
42의 모든 양의 약수는 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42이다.
0의 모든 약수는 모든 정수이다. 항상 $n\times 0=0$ 이기 때문이다.
60의 모든 양의 약수의 집합 $\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$ 은 약수 관계에 따라부분 순서 집합을 이루며, 다음과 같은하세 도형을 가진다.

성질

어떤 수의배수는 무수히 많이 있지만, 약수의 개수는 항상 유한하다. (단 0 제외. 그 이유는 어떤 수에 0을 곱한 값은 항상0이기 때문이다.) 약수 관계는 정수 집합 위의원순서다. 어떤 정수가 여러 정수의 공통의 약수라면, 그 정수들의 합과 차의 약수이기도 하다. 즉, 임의의 정수 $a, b, c {\displaystyle a,b,c}$ 에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

$a\mid a$
$a\mid b\mid c\implies a\mid c$
$a\mid b\mid a\iff a=\pm b$
$a\mid b,c\implies a\mid (b\pm c)$

2를 약수로 갖는 정수를짝수, 그렇지 않은 정수를홀수라고 한다. 홀수는 홀수만을 약수로 가지며, 짝수는 항상 홀수와 짝수를 같이 약수로 가진다(다만, 2의 거듭제곱은 짝수를 약수로 가진다).

두 정수 모두의 약수 가운데 가장 큰 하나를최대 공약수라고 한다. 두 정수 $a, b {\displaystyle a,b}$ 의 최대 공약수를 $\gcd\{a,b\}$ 라고 표기한다. 최대 공약수가 1인 두 정수를서로소라고 한다. 즉 두 정수 $a, b {\displaystyle a,b}$ 가 $\gcd\{a,b\}=1$ 을 만족시키면 서로소이다. 진약수가 1뿐인 정수를소수라고 한다. 소수의 집합을 $\mathbb {P}$ 라고 표기하자. 이는 정수의 집합 $\mathbb {Z}$ 의부분 집합이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.

$a\mid bc$ 이며, $\gcd\{a,b\}=1$ 이면, $a\mid c$
(유클리드의 보조정리) $p\in \mathbb {P}$ 이며 $p\mid ab$ 이면, $p\mid a$ 이거나 $p\mid b$

진약수의 합이 자기 자신인 정수를완전수라고 한다. 진약수의 합이 자기 자신보다 작다면부족수라고 하며, 진약수의 합이 자기 자신보다 크다면과잉수라고 한다.

약수의 개수는소인수분해의 형식으로 쉽게 알아낼 수 있다. 각소인수가 곱해진지수의 개수에 모두 1을 더한 후 그 수를 모두 곱한 값이다. 또한 약수가 어떤 합성수 n개인 자연수는 n의 인수 분해 형식을 이용하면 된다. 예를 들어 72의소인수분해는 2×2×2×3×3으로, 2가 3번, 3이 2번 곱해지므로 그 지수에 1을 모두 더한 4와 3의 곱이므로 약수는 12개이다.

각 정수 $n {\displaystyle n}$ 에 양의 약수의 개수 $d(n)$ 을 대응시키는 함수, 양의 약수의 합 $\sigma (n)$ 을 대응시키는 함수는약수 함수의 특별한 경우이다. 그렇다면, 다음 성질들이 성립한다.

$d(n)$ 은곱셈적 함수이다. 즉, 모든 서로소 정수 $n, m {\displaystyle n,m}$ 에 대하여, $d(nm)=d(n)d(m)$ 이다.
- 예를 들어, $d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)d(3)d(7)$ .
그러나 $d(n)$ 은완전 곱셈적 함수가 아니다. 즉, 모든 정수 $n, m {\displaystyle n,m}$ 에 대하여 $d(nm)=d(n)d(m)$ 이지는 않다. 사실, 두 정수 $n, m {\displaystyle n,m}$ 가 1보다 큰 공약수를 가진다면, $d(nm)<d(n)d(m)$ 이다.
- 예를 들어, $d(12)=6<2\times 4=d(2)d(6)$ .
$\sigma (n)$ 역시 곱셈적 함수이다.
- 예를 들어, $\sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\sigma (3)\sigma (7)$
정수 $n {\displaystyle n}$ 의소인수 분해가
$n=p_{1}^{\nu _{1}}p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}$

와 같다면,

n {\displaystyle n}

의 모든 양의 약수의 집합은

\left\{p_{1}^{\mu _{1}}p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}|\mu _{i}\in \mathbb {Z} ,\;0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}\right\}

이며, 이에 따라

n {\displaystyle n}

의 모든 양의 약수의 개수는

d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{n}+1)

이다.

임의의 정수 $n {\displaystyle n}$ 에 대하여, $d(n)<2{\sqrt {n}}$ 이다.
$d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}})$ . 여기서 $\gamma$ 는오일러-마스케로니 상수이다.

관련 개념

임의의환의 원소의 약수를 정의할 수 있다. 예를 들어, 정수 계수다항식환 $\mathbb {Z} [x]$ 에서,

x^{2}-1=(x+1)(x-1)

이므로,

x+1\mid x^{2}-1

이다.

같이 보기

원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/w/index.php?title=약수&oldid=40495267"

숨은 분류:

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp