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상 (수학)

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수학에서상(像,영어:image)은 어떤함수에 대한정의역의 원소(들)에 대응하는공역의 원소(들)이다. 반대로,원상(原像,영어:preimage) 또는역상(逆像,영어:inverse image)은 어떤 함수에 대한공역의 원소(들)에 대응하는정의역의 원소(들)이다.

정의

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정의역이X{\displaystyle X},공역이Y{\displaystyle Y}인 함수f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}를 생각하자. 정의역의 원소x∈X{\displaystyle x\in X}의, 함수f{\displaystyle f}에 대한상은 공역의 원소f(x)∈Y{\displaystyle f(x)\in Y}이다. 정의역의부분 집합A⊆X{\displaystyle A\subseteq X}의, 함수f{\displaystyle f}에 대한상은 공역의 부분 집합

f(A)={f(x):x∈A}⊆Y{\displaystyle f(A)=\{f(x)\colon x\in A\}\subseteq Y}

이다.

공역의 원소y∈Y{\displaystyle y\in Y}의, 함수f{\displaystyle f}에 대한원상은 정의역의 부분 집합

f−1(y)={x∈X:f(x)=y}⊆X{\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\colon f(x)=y\}\subseteq X}

이다. 이는 정의역의 원소가 아니라, 정의역의 부분 집합이라는 데 주의하자. 공역의 부분 집합B⊆Y{\displaystyle B\subseteq Y}의, 함수f{\displaystyle f}에 대한원상은 정의역의 부분 집합

f−1(B)={x∈X:f(x)∈B}⊆X{\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\colon f(x)\in B\}\subseteq X}

이다.

정의역의 상을치역이라고 한다. 반대로, 공역의 원상은 항상 정의역이다.

상과 원상의 표기는 다음과 같이 여러 가지가 있다.

상원상
f(A){\displaystyle f(A)}f−1(B){\displaystyle f^{-1}(B)}
f[A]{\displaystyle f[A]}f−1[B]{\displaystyle f^{-1}[B]}
f∗(A){\displaystyle f_{*}(A)}f∗(B){\displaystyle f^{*}(B)}
f→(A){\displaystyle f^{\rightarrow }(A)}f←(B){\displaystyle f^{\leftarrow }(B)}

성질

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합성

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임의의함수f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y} 및g:Y→Z{\displaystyle g\colon Y\to Z}에 대하여, 그합성g∘f:X→Z{\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}의 상과 원상은 다음과 같다.

(g∘f)(A)=g(f(A))(A⊆X){\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))\qquad (A\subseteq X)}
(g∘f)−1(C)=f−1(g−1(C))(C⊆Z){\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))\qquad (C\subseteq Z)}

즉, 상은함자

Set→Set{\displaystyle \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} }
X→P(X){\displaystyle X\to {\mathcal {P}}(X)}
(f:X→Y)↦(f:P(X)→P(Y)){\displaystyle (f\colon X\to Y)\mapsto (f\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y))}

를 정의하며, 원상은 함자

Setop→Set{\displaystyle \operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }
X→P(X){\displaystyle X\to {\mathcal {P}}(X)}
(f:X→Y)↦(f−1:P(Y)→P(X)){\displaystyle (f\colon X\to Y)\mapsto (f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X))}

를 정의한다.

단조성

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임의의함수f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}에 대하여, 다음이 성립한다.

즉, 임의의함수f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}에 대하여,

f:P(X)→P(Y){\displaystyle f\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}
f−1:P(Y)→P(X){\displaystyle f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}

는 (범주로 본)멱집합격자 사이의 두함자를 이룬다.

상과 원상 사이의 관계

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임의의함수f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

이에 따라, 임의의함수f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}에 대하여,f:P(X)→P(Y){\displaystyle f\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}와f−1:P(Y)→P(X){\displaystyle f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}는 서로수반 함자이다.

f⊣f−1{\displaystyle f\dashv f^{-1}}

기타 성질

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그 밖에도, 임의의함수f:X→Y{\displaystyle f\colon X\to Y}에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

외부 링크

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집합
함수
기수
순서수
역설의 해소
선택 공리
집합론의모형
큰 기수
ZF와 독립된 명제
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