양자장론 학자
초기 학자 전자기력 강한 상호작용 약한 상호작용 재규격화
산란 이론에서산란 행렬 (散亂行列,영어 :scattering matrix ) 또는S행렬 이란산란 과정을 겪는소립자 [ 1] 계 의 초기 상태와 나중 상태를 연관짓는유니터리 행렬 이다. 기호는S . 이를 이용하여산란 단면적 이나 붕괴율 따위를 계산할 수 있다.양자장론 에서는 산란 행렬을파인먼 도형 으로 계산할 수 있다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
복소수 힐베르트 공간 위의 임의의 자기 수반 작용소A {\displaystyle A} 스펙트럼 의 분해를 통해H {\displaystyle {\mathcal {H}}}
H = H ac , A ⊕ H sc , A ⊕ H pp , A {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{{\text{ac}},A}\oplus {\mathcal {H}}_{{\text{sc}},A}\oplus {\mathcal {H}}_{{\text{pp}},A}} 로 분해할 수 있다. 여기서
마찬가지로, 위 부분 공간들에 대한사영 작용소
proj ac , A , proj sc , A , proj pp , A : H → H {\displaystyle \operatorname {proj} _{{\text{ac}},A},\operatorname {proj} _{{\text{sc}},A},\operatorname {proj} _{{\text{pp}},A}\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} 를 정의할 수 있다.
또한,자기 수반 작용소 에 대한 보렐 범함수 미적분학(영어 :Borel functional calculus )을 통해,x ↦ exp ( i t x ) {\displaystyle x\mapsto \exp(\mathrm {i} tx)} 유계 함수 이므로, 임의의t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } 유니터리 작용소
exp ( i t H 0 ) : H → H {\displaystyle \exp(\mathrm {i} tH_{0})\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} exp ( i t H ) : H → H {\displaystyle \exp(\mathrm {i} tH)\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} 를 정의할 수 있다.
이제,H 0 {\displaystyle H_{0}} H {\displaystyle H} 파동 연산자 (波動演算子,영어 :wave operator )는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 극한이다.[ 2] :Definition 1.1
W ± ( H , H 0 ) : H → H {\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} W ± ( H , H 0 ) = lim t → ∞ exp ( ± i H t ) exp ( ∓ i H 0 t ) proj ac , H 0 {\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})=\lim _{t\to \infty }\exp(\pm \mathrm {i} Ht)\exp(\mp \mathrm {i} H_{0}t)\operatorname {proj} _{{\text{ac}},H_{0}}} 여기서극한 은 점별 (노름) 수렴 위상에 대한 것이다. 부호가 −인 경우는 들어오는 파동, +인 경우는 나가는 파동에 해당한다. 만약W ± ( H , H 0 ) {\displaystyle W_{\pm }(H,H_{0})} 치역 이H ac , H {\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H}} 완비 파동 연산자 (完備波動演算子,영어 :complete wave operator )라고 하며,[ 2] :Definition 1.2 H ac , H 0 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}} H ac , H {\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H}} 복소수 힐베르트 공간 동형 사상(전단사 유니터리 작용소 )을 정의한다.
H 0 {\displaystyle H_{0}} H {\displaystyle H} 산란 연산자 (散亂演算子,영어 :scattering operator ) 또는산란 행렬 은 다음과 같다.[ 2]
S ( H , H 0 ) : H → H {\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}} S ( H , H 0 ) = W + ∗ ( H , H 0 ) W − ( H , H 0 ) {\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})=\operatorname {W} _{+}^{*}(H,H_{0})\operatorname {W} _{-}(H,H_{0})} 만약 ± 파동 연산자가 둘 다 완비 파동 연산자라면, 이는전단사 유니터리 변환
( S ( H , H 0 ) ↾ H ac , H 0 ) : H ac , H 0 → H ac , H {\displaystyle (\operatorname {S} (H,H_{0})\upharpoonright {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}})\colon {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}\to {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H}} 를 정의한다.
간혹T 연산자 를T ( H , H 0 ) = − i ( S ( H , H 0 ) − proj ac , H 0 ) {\displaystyle \operatorname {T} (H,H_{0})=-\mathrm {i} (\operatorname {S} (H,H_{0})-\operatorname {proj} _{{\text{ac}},H_{0}})} H ac , H 0 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}} S = i T {\displaystyle \operatorname {S} =\mathrm {i} T}
파동 연산자는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
W ± ( H , H 0 ) H 0 = H W ± ( H , H 0 ) {\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})H_{0}=H\operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})} 산란 연산자는 (만약 존재한다면) 자유 해밀토니언 연산자와 가환한다.
S ( H , H 0 ) H 0 = H 0 S ( H , H 0 ) {\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})H_{0}=H_{0}\operatorname {S} (H,H_{0})} 위그너 정리 에 따라, 만약W ± ( H , H 0 ) {\displaystyle \operatorname {W} _{\pm }(H,H_{0})}
S ( H , H 0 ) ↾ H ac , H 0 {\displaystyle \operatorname {S} (H,H_{0})\upharpoonright {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}} 는H ac , H 0 → H ac , H 0 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}\to {\mathcal {H}}_{{\text{ac}},H_{0}}} 유니터리 작용소 이다.
르베그 공간 H = L 2 ( R n ; C ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {C} )} 자기 수반 작용소 를 생각해보자.
H 0 = Δ + V 0 ( x ) {\displaystyle H_{0}=\Delta +V_{0}(x)} H 0 = Δ + V 0 ( x ) + V ( x ) {\displaystyle H_{0}=\Delta +V_{0}(x)+V(x)} V 0 , V ∈ L ∞ ( R n ; R ) {\displaystyle V_{0},V\in \operatorname {L} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )} sup x ∈ R n V ( x ) ( 1 + x 2 ) k / 2 < ∞ {\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}V(x)(1+x^{2})^{k/2}<\infty } 여기서k ∈ R {\displaystyle k\in \mathbb {R} } Δ = − ∑ i = 1 n ∂ 2 / ∂ x i 2 {\displaystyle \textstyle \Delta =-\sum _{i=1}^{n}\partial ^{2}/\partial x_{i}^{2}} 라플라스 연산자 이다.
위와 같은 경우, 다음 조건 아래 완비 과거·미래 파동 연산자 및 산란 연산자가 존재한다.
반면, 예를 들어V 0 = 0 {\displaystyle V_{0}=0} V ( x ) = ( 1 + x 2 ) − 2 {\displaystyle V(x)=(1+x^{2})^{-2}} [ 2] :§3.1
하이젠베르크 묘사 를 쓰자.민코프스키 공간 에서질량 간극 을 갖는 양자장론의 경우 점근적인 초기 및 나중 상태는포크 공간 을 이룬다. 따라서 초기 상태의 포크 공간H I {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{I}}} H F {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{F}}}
H I = span { | k 1 … k n ⟩ = a i † ( k 1 ) ⋯ a i † ( k n ) | I , 0 ⟩ I } {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{I}}=\operatorname {span} \{\left|k_{1}\ldots k_{n}\right\rangle =a_{i}^{\dagger }(k_{1})\cdots a_{i}^{\dagger }(k_{n})\left|I,0\right\rangle _{\text{I}}\}} H F = span { | p 1 … p n ⟩ = a f † ( p 1 ) ⋯ a f † ( p n ) | F , 0 ⟩ F } {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{F}}=\operatorname {span} \{\left|p_{1}\ldots p_{n}\right\rangle =a_{f}^{\dagger }(p_{1})\cdots a_{f}^{\dagger }(p_{n})\left|F,0\right\rangle _{\text{F}}\}} 이들은 자유 해밀토니언H 0 {\displaystyle H_{0}}
따라서 산란 연산자S {\displaystyle S}
⟨ β | I S | α ⟩ I = S α β = ⟨ β | F | α ⟩ I {\displaystyle \left\langle \beta \right|_{\text{I}}S\left|\alpha \right\rangle _{\text{I}}=S_{\alpha \beta }=\left\langle \beta |_{\text{F}}|\alpha \right\rangle _{\text{I}}} 양자장론에서는 산란 연산자를 보통상관함수 를 통한,LSZ 축약 공식 이라는점근적 급수 로 나타낼 수 있다.상관함수 는파인먼 도형 으로 계산할 수 있다.
또한, 양자장론에서 산란 연산자는 보통 다음 조건들을 만족시킨다.
이는 물론 물리학적으로 하나의 입자만이 존재하면 산란이 일어나지 않음을 뜻한다.
산란 행렬의 개념은 1937년에존 휠러 가 도입하였다.[ 3]
Yafaev, Dmitry R. (1995).《Mathematical scattering theory: the general theory》 (영어). Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society.ISBN 978-0-8218-0951-8 Yafaev, Dmitry R. (2010). 《Mathematical scattering theory: analytic theory》 (영어). Mathematical Surveys and Monographs158 . American Mathematical Society.doi :10.1090/surv/158 . Baumgärtel, Hellmut; Wollenberg, Manfred (1983). 《Mathematical Scattering Theory》 (영어). Operator theory: advances and applications9 .ISBN 978-3-0348-5442-9 Simon, Barry (1978).〈An overview of rigorous scattering theory〉 (PDF) (영어). Nuttal, J. (편집). 《Atomic scattering theory: mathematical and computational aspects》. University of West Ontario. 1–24쪽. Reed, Michael; Simon, Barry (1979). 《Scattering Theory》 (영어). Methods of Modern Mathematical Physics3 . Academic Press.
