부분집합 관계를 표현한 벤 다이어그램.A 는B 의 부분집합이다. 집합론 에서집합 B 의부분집합 (部分集合,영어 :subset )A 는, 모든 원소가B 에도 속하는 집합이다. 이런 관계를 주로A ⊆B 라 표기한다. 예를 들어 집합 {1, 2}는 {1, 2, 3}의 부분집합이다.벤 다이어그램 에서는 부분집합 관계를 하나가 하나를 완전히 감싼 두 원으로 나타낸다.A =B 인 경우에도 A는 B의 부분집합이 되는데, 그렇지 않은 부분집합을진부분집합 (眞部分集合,영어 :proper subset )이라고 한다.
임의의 집합의 원소에 일정한 제약을 가해 그 집합의 부분집합을 만들 수 있다. 이는ZFC 의분류 공리꼴 에도 반영된다.
집합의 모든 부분집합을 모아놓은 집합을멱집합 이라고 한다.
집합A ,B 가 주어졌을 때,A 의 모든 원소가B 의 원소인 경우, 즉
∀ x ∈ A : x ∈ B {\displaystyle \forall x\in A:x\in B} 가 성립하는포함된다' , 또는B 가A 를포함한다 (영어 :include, contain )고도 한다. 기호로는
A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} B ⊇ A {\displaystyle B\supseteq A} 로 나타낸다.
A 가B 의 부분집합이지만 같지는 않은 경우, 즉A 가B 의 부분집합이고,A 에 속하지 않는B 의 원소가 적어도 하나 존재하는 경우,A 는B 의진부분집합 이라고 한다. 기호로는
A ⊊ B {\displaystyle A\subsetneq B} B ⊋ A {\displaystyle B\supsetneq A} 로 나타낸다.
때로는 부분집합, 진부분집합 관계를 각각⊂ , ⊊ {\displaystyle \subset ,\subsetneq } ⊆ , ⊂ {\displaystyle \subseteq ,\subset }
드물게A 가B 의 부분집합이라 하는 대신B 가A 의초집합 (超集合) 또는상위집합 (上位集合,영어 :superset ),A 가B 의 진부분집합이라 하는 대신B 가A 의진초집합 또는진상위집합 이라 표현하는 경우도 있다.
== 다음에서 A,B,C는 집합, S는전체집합 이다.
공집합 ∅은 모든 집합의 부분집합이다.A ⊆ A A ⊆ B 이고 B ⊆ A 이면, A = B이며, 또한역 도참 이다. A ⊆ B 이고 B ⊆ C 이면, A ⊆ C이다. A ⊆ S A ⊆ (A ∪ B) A ⊆ C 이고 B ⊆ C 이면, (A ∪ B) ⊆ C A ∩ B ⊆ A C ⊆ A 이고 C ⊆ B 이면, C ⊆ (A ∩ B) 다음은동치 이다.A ⊆ B A ∩ B = A A ∪ B = B A − B = ∅ B의여집합 ⊆ A의여집합 (부분집합 관계가 만족하는 더 많은 성질은여기 참고)
모든 집합은공집합 과 자기 자신을 부분집합으로 갖는다. 어떤 집합의 부분집합을 모두 모아놓은 집합을 그 집합의멱집합 이라고 하는데, 이는 자연히 적어도 공집합과 그 집합을 원소로 둔다. 부분집합 관계는 집합의 멱집합 위에서 자주 다루어지며, 이는부분순서 의 전형적인 예이다.
