대수적 수체 K {\displaystyle K} 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 유한 확대 이다. 이는대역체 의 한 종류이다.
오스트롭스키 정리 (Островский定理,영어 : Ostrowski’s theorem K {\displaystyle K} 자리 들은 다음과 같다.
실수로의 매장ι : K ↪ R {\displaystyle \iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {R} } | ⋅ | ι = | ⋅ | R ∘ ι {\displaystyle |\cdot |_{\iota }=|\cdot |_{\mathbb {R} }\circ \iota } | ⋅ | R {\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {R} }} 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를실수 무한 자리 (實數無限-,영어 : real infinite place 복소수로의 매장ι : K ↪ R {\displaystyle \iota \colon K\hookrightarrow \mathbb {R} } ι ( K ) ⊄ R {\displaystyle \iota (K)\not \subset \mathbb {R} } | ⋅ | ι = | ⋅ | C ∘ ι {\displaystyle |\cdot |_{\iota }=|\cdot |_{\mathbb {C} }\circ \iota } | ⋅ | C {\displaystyle |\cdot |_{\mathbb {C} }} 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우,ι {\displaystyle \iota } ι ¯ {\displaystyle {\bar {\iota }}} 복소수 무한 자리 (複素數無限-,영어 : complex infinite place 대수적 정수환O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 소 아이디얼 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 유한 자리 (有限-,영어 : finite place p진수체 의대수적 폐포 Q ¯ p {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}} p ∣ ( p ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}\mid (p)} p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} K ↪ Q ¯ p {\displaystyle K\hookrightarrow {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}} 절대 갈루아 군 Gal ( Q ¯ p / Q p ) {\displaystyle \operatorname {Gal} ({\bar {\mathbb {Q} }}_{p}/\mathbb {Q} _{p})} 예를 들어,유리수체 의 자리의 목록은 다음과 같다.
수체K {\displaystyle K} r 1 {\displaystyle r_{1}} r 2 {\displaystyle r_{2}}
[ K : Q ] = r 1 + 2 r 2 {\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]=r_{1}+2r_{2}} 이는K {\displaystyle K} 체의 확대 의 수와 같다. (각 복소수 자리는복소켤레 를 취할 수 있으므로, 두 번 중복해서 센다.)
대수적 수체K {\displaystyle K} 대역체 이므로, 다음과 같은곱 공식 (영어 : product formula [ 1] :185, Proposition III.1.3
∏ v | a | v = 1 , ∀ a ∈ K × {\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1,\forall a\in K^{\times }} 여기서∏ v {\displaystyle \textstyle \prod _{v}} K {\displaystyle K} | − | v {\displaystyle |-|_{v}}
a = s ∏ p p n p , s ∈ { ± 1 } {\displaystyle a=s\prod _{p}p^{n_{p}},\;s\in \{\pm 1\}} 의 경우
| a | ∞ = ∏ p p n p {\displaystyle |a|_{\infty }=\prod _{p}p^{n_{p}}} | a | p = p − n p {\displaystyle |a|_{p}=p^{-n_{p}}} 이므로
| a | ∞ | a | 2 | a | 3 ⋯ = ∏ p p n p ⋅ ∏ p p − n p = 1 {\displaystyle |a|_{\infty }|a|_{2}|a|_{3}\cdots =\prod _{p}p^{n_{p}}\cdot \prod _{p}p^{-n_{p}}=1} 이다.
대수적 수체K {\displaystyle K} 대수적 정수환 (代數的整數環,영어 : ring of algebraic integers O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} Z ⊂ K {\displaystyle \mathbb {Z} \subset K} K {\displaystyle K} 정수적 원소 들의 환이다. 즉, 다음과 같다.
O K = { a ∈ K : ∃ p ( x ) ∈ Z [ x ] : p is monic; p ( a ) = 0 } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}=\{a\in K\colon \exists p(x)\in \mathbb {Z} [x]\colon p{\mbox{ is monic; }}p(a)=0\}} 이는K {\displaystyle K} 부분환 을 이룬다.
대수적 수체K {\displaystyle K} 대수적 정수환 은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환(절댓값이 1 이하인 원소들의 집합)들의교집합 과 같다.[ 2] :192
모든 대수적 수체K {\displaystyle K} O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 크룰 차원 이 1인데데킨트 정역 이다. 즉, 다음이 성립한다.
대수기하학 적 관점에서는 그스펙트럼 을 취해 1차원아핀 스킴 으로 여길 수 있다.
모든 대수적 수체K {\displaystyle K}
O K ∩ Q = Z {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\cap \mathbb {Q} =\mathbb {Z} } K = Frac O K {\displaystyle K=\operatorname {Frac} {\mathcal {O}}_{K}} 여기서Frac {\displaystyle \operatorname {Frac} } 분수체 를 뜻한다.
대수적 수체의 대수적 정수환O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 자유 아벨 군 이며, 그 계수는K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} }
rank O K = [ K : Q ] = r 1 ( K ) + 2 r 2 ( K ) {\displaystyle \operatorname {rank} {\mathcal {O}}_{K}=[K:\mathbb {Q} ]=r_{1}(K)+2r_{2}(K)} 차수n 의 수체K {\displaystyle K} 정수 기저 (영어 : integral basis O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 기저 { b 1 , … , b n } {\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}} K {\displaystyle K}
∑ i = 1 n k i b i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k_{i}b_{i}} k i ∈ Z {\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} } 로 유일하게 나타낼 수 있고,K {\displaystyle K}
∑ i = 1 n r i b i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}r_{i}b_{i}} r i ∈ Q {\displaystyle r_{i}\in \mathbb {Q} } 의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.
일부 수체의 경우, 정수 기저가
b i = b 1 i , ∀ i = 1 , … , r 1 + 2 r 2 {\displaystyle b_{i}=b_{1}^{i},\forall i=1,\dots ,r_{1}+2r_{2}} 가 되게 잡을 수 있다. 이러한 정수 기저를거듭제곱 정수 기저 (영어 : power integral basis 단일생성체 (영어 : monogenic field 이차 수체 와원분체 는 단일생성체이지만, 3차 수체 가운데는 단일생성체가 아닌 체가 존재한다.
n {\displaystyle n} K {\displaystyle K} v 1 , … , v n ⊂ O K {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}\subset {\mathcal {O}}_{K}}
x v i = ∑ a i j v j . {\displaystyle xv_{i}=\sum a_{ij}v_{j}.} 따라서 x를 곱하는 연산을 유리수 계수정사각 행렬
X = ( a i j ) i , j = 1 , … , n {\displaystyle X=(a_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}} 로 나타낼 수 있으며, 이를 x의 기저 v1 , ..., vn 에 대한정칙 표현 (正則表現,영어 : regular representation 대각합 이나행렬식 및고유 다항식 등의불변량 은x {\displaystyle x}
X {\displaystyle X} 고유 다항식
det ( λ − X ) = λ n + c 1 λ n − 1 + ⋯ + c n {\displaystyle \det(\lambda -X)=\lambda ^{n}+c_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +c_{n}} 은x {\displaystyle x} 일계수 다항식 이다. 이 경우,X {\displaystyle X}
tr X = − c 1 {\displaystyle \operatorname {tr} X=-c_{1}} det X = ( − 1 ) n c n {\displaystyle \det X=(-1)^{n}c_{n}} 이 경우,X {\displaystyle X} T K / Q ( x ) {\displaystyle \operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(x)} x {\displaystyle x} 대각합 X {\displaystyle X} N K / Q ( x ) {\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(x)} x {\displaystyle x} 노름
대각합과 노름은 다음의 성질들을 따른다.
(대각합의 선형성)T K / Q ( a x + b y ) = a T K / Q ( x ) + b T K / Q ( y ) ∀ x , y ∈ K , a , b ∈ Q {\displaystyle \operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(ax+by)=a\operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(x)+b\operatorname {T} _{K/\mathbb {Q} }(y)\qquad \forall x,y\in K,\;a,b\in \mathbb {Q} } (노름의 승법성)N K / Q ( a x y ) = a n N K / Q ( x ) N K / Q ( y ) ∀ x , y ∈ K , a ∈ Q {\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(axy)=a^{n}\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(x)\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(y)\qquad \forall x,y\in K,\;a\in \mathbb {Q} } 수체의판별식 (判別式,영어 : discriminant
수체K {\displaystyle K} O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} { b 1 , … , b r } ⊂ O K {\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{r}\}\subset O_{K}} r = r 1 + 2 r 2 {\displaystyle r=r_{1}+2r_{2}} K {\displaystyle K}
σ 1 R , … , σ r 1 R : K ↪ R {\displaystyle \sigma _{1}^{\mathbb {R} },\dots ,\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {R} } σ 1 C , … , σ r 2 C : K ↪ C {\displaystyle \sigma _{1}^{\mathbb {C} },\dots ,\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {C} } 그렇다면 다음과 같은r × r {\displaystyle r\times r} 정사각 행렬 을 정의할 수 있다.
M = ( σ 1 R ( b 1 ) ⋯ σ r 1 R ( b 1 ) σ 1 C ( b 1 ) ⋯ σ r 2 C ( b 1 ) σ ¯ 1 ( b 1 ) ⋯ σ ¯ r 2 ( b 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ σ 1 R ( b r ) ⋯ σ r 1 R ( b r ) σ 1 C ( b r ) ⋯ σ r 2 C ( b r ) σ ¯ 1 ( b r ) ⋯ σ ¯ r 2 ( b r ) ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(b_{1})&\cdots \sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(b_{1})&\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(b_{1})&\cdots \sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(b_{1})&{\bar {\sigma }}_{1}(b_{1})&\cdots &{\bar {\sigma }}_{r_{2}}(b_{1})\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \\\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(b_{r})&\cdots \sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(b_{r})&\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(b_{r})&\cdots \sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(b_{r})&{\bar {\sigma }}_{1}(b_{r})&\cdots &{\bar {\sigma }}_{r_{2}}(b_{r})\\\end{pmatrix}}} 이 행렬의행렬식 의 제곱은 정수 기저나 자리들의 순서에 의존하지 않으며, 이를K {\displaystyle K} 판별식 Δ K {\displaystyle \Delta _{K}}
Δ K = ( det M ) 2 {\displaystyle \Delta _{K}=(\det M)^{2}} 수체의 판별식Δ K {\displaystyle \Delta _{K}}
수체의가역원 기준 (可逆元基準,영어 : regulator 레귤레이터[ * ] 유수 공식 에 등장한다. 구체적인 정의는 다음과 같다.
대수적 정수환O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 가역원군 O K × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }} K {\displaystyle K} 1의 거듭제곱근 들의순환군 Cyc ( m ) = { 1 , ζ m , ζ m 2 , … } {\displaystyle \operatorname {Cyc} (m)=\{1,\zeta _{m},\zeta _{m}^{2},\dots \}} 몫군
O K × / Cyc ( r ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }/\operatorname {Cyc} (r)} 을 생각하자. 이 군의 생성원
O K × / Cyc ( r ) = ⟨ u 1 , … , u r ⟩ {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }/\operatorname {Cyc} (r)=\langle u_{1},\dots ,u_{r}\rangle } 을 고르자. 디리클레 가역원 정리에 따라서,r = r 1 ( K ) + r 2 ( K ) − 1 {\displaystyle r=r_{1}(K)+r_{2}(K)-1} r 1 ( K ) {\displaystyle r_{1}(K)} r 2 ( K ) {\displaystyle r_{2}(K)}
K {\displaystyle K}
σ 1 R , … , σ r 1 R : K ↪ R {\displaystyle \sigma _{1}^{\mathbb {R} },\dots ,\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {R} } σ 1 C , … , σ r 2 C : K ↪ C {\displaystyle \sigma _{1}^{\mathbb {C} },\dots ,\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }\colon K\hookrightarrow \mathbb {C} } 그렇다면 다음과 같은r × ( r + 1 ) {\displaystyle r\times (r+1)}
M = ( ln | σ 1 R ( u 1 ) | ⋯ ln | σ r 1 R ( u 1 ) | 2 ln | σ 1 C ( u 1 ) | ⋯ 2 ln | σ r 2 C ( u 1 ) | ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ln | σ 1 R ( u r ) | ⋯ ln | σ r 1 R ( u r ) | 2 ln | σ 1 C ( u r ) | ⋯ 2 ln | σ r 2 C ( u r ) | ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(u_{1})|&\cdots &\ln |\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(u_{1})|&2\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(u_{1})|&\cdots &2\ln |\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(u_{1})|\\\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {R} }(u_{r})|&\cdots &\ln |\sigma _{r_{1}}^{\mathbb {R} }(u_{r})|&2\ln |\sigma _{1}^{\mathbb {C} }(u_{r})|&\cdots &2\ln |\sigma _{r_{2}}^{\mathbb {C} }(u_{r})|\\\end{pmatrix}}} M {\displaystyle M} 체 노름 의절댓값 은 항상 1이므로) 0이다.
∑ j M i , j = ln | f 1 ( u i ) ⋯ f r 1 ( u i ) g 1 ( u i ) 2 ⋯ g r 2 ( u i ) 2 | = ln | N K / Q ( u i ) | = 0 ∀ i = 1 , … , r {\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}=\ln \left|f_{1}(u_{i})\cdots f_{r_{1}}(u_{i})g_{1}(u_{i})^{2}\cdots g_{r_{2}}(u_{i})^{2}\right|=\ln |\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(u_{i})|=0\quad \forall i=1,\dots ,r} M {\displaystyle M} M − , j {\displaystyle M_{-,j}} r × r {\displaystyle r\times r} M − , j ^ {\displaystyle M_{-,{\hat {j}}}} 행렬식 det M − , j ^ {\displaystyle \det M_{-,{\hat {j}}}} j {\displaystyle j} u i {\displaystyle u_{i}} K {\displaystyle K} 가역원 기준 Reg K {\displaystyle \operatorname {Reg} _{K}}
Reg K = det M − , j ^ ∀ j = 1 , … , r + 1 {\displaystyle \operatorname {Reg} _{K}=\det M_{-,{\hat {j}}}\quad \forall j=1,\dots ,r+1} 이 부분의 본문은
분기화 입니다.
대수기하학 적으로, 포함 관계Z ↪ O K {\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow {\mathcal {O}}_{K}} 스킴 사상Spec O K ↠ Spec Z {\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\twoheadrightarrow \operatorname {Spec} \mathbb {Z} } 피복 공간 으로 볼 수 있다. 이 경우,분기화 (영어 : ramification 소수 로 생성되는주 아이디얼 이 대수적 정수환에서는소 아이디얼 이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.
수체K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } p ∈ Z + {\displaystyle p\in \mathbb {Z} ^{+}} p {\displaystyle p} 주 아이디얼 은O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 소 아이디얼 들의 곱으로 인수 분해된다.
( p ) = p 1 e 1 p 2 e 2 ⋯ p k e k {\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}{\mathfrak {p}}_{2}^{e_{2}}\dotsb {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}} 여기서e i {\displaystyle e_{i}} K {\displaystyle K} p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} 분기 지표 (영어 : ramification index
이 경우,p {\displaystyle p}
수체K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } 동치 이다.
판별식의 소인수의 수는 유한하므로, 따라서 오직 유한 개의 소수만이 분기화된다.
대수기하학 적으로, 포함 관계Z ↪ O K {\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow {\mathcal {O}}_{K}} 스킴 사상Spec O K ↠ Spec Z {\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\twoheadrightarrow \operatorname {Spec} \mathbb {Z} } 피복 공간 으로 볼 수 있다. 이 경우,분기화 (영어 : ramification 소수 로 생성되는주 아이디얼 이 대수적 정수환에서는소 아이디얼 이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.
다음과 같은 예들이 있다.
이 부분의 본문은
유리수 입니다.
유리수체Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
오스트롭스키 정리 (영어 : Ostrowski’s theorem Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
특히,Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
r 1 ( Q ) = 1 {\displaystyle r_{1}(\mathbb {Q} )=1} r 2 ( Q ) = 0 {\displaystyle r_{2}(\mathbb {Q} )=0} 유리수체의 대수적 정수환은정수환 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 주 아이디얼 정역 이다. 다시 말해, 유리수체의 대수적 정수환에서는유일 인수 분해 가 성립하며, 그아이디얼 유군 은자명군 이며, 그 유수는 1이다.
유리수체에서체 대각합 과체 노름 은항등 함수 이다.
T Q / Q ( x ) = N Q / Q ( x ) = x {\displaystyle \operatorname {T} _{\mathbb {Q} /\mathbb {Q} }(x)=\operatorname {N} _{\mathbb {Q} /\mathbb {Q} }(x)=x} 유리수체의 대수적 정수환Z {\displaystyle \mathbb {Z} } { 1 } {\displaystyle \{1\}}
Δ Q = ( det ( 1 ) ) 2 = 1 {\displaystyle \Delta _{\mathbb {Q} }=\left(\det {\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}\right)^{2}=1} 유리수체의 대수적 정수환의가역원군 은{ ± 1 } {\displaystyle \{\pm 1\}} 1의 거듭제곱근 으로만 구성된다. 즉, 디리클레 가역원 정리가 자명하게 성립한다. 유리수체의 가역원 기준은 (0×0 행렬의행렬식 이므로) 1이다.
Reg Q = 1 {\displaystyle \operatorname {Reg} _{\mathbb {Q} }=1} 유리수체의데데킨트 제타 함수 는리만 제타 함수 ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} s = 1 {\displaystyle s=1} 유수 는 1이며, 이 경우유수 공식 은 다음과 같이 성립한다.
1 = 2 r 1 ( Q ) ( 2 π ) r 2 ( Q ) h Q Reg Q | Tors ( O Q × ) | | Δ Q | = 2 1 ⋅ ( 2 π ) 0 ⋅ 1 ⋅ 1 2 ⋅ | 1 | = 1 {\displaystyle 1={\frac {2^{r_{1}(\mathbb {Q} )}(2\pi )^{r_{2}(\mathbb {Q} )}h_{\mathbb {Q} }\operatorname {Reg} _{\mathbb {Q} }}{|\operatorname {Tors} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} }^{\times })|{\sqrt {|\Delta _{\mathbb {Q} }|}}}}={\frac {2^{1}\cdot (2\pi )^{0}\cdot 1\cdot 1}{2\cdot {\sqrt {|1|}}}}=1} 제곱 인수가 없는 정수 d {\displaystyle d} 이차 수체
Q ( d ) = Q + d Q = Q [ x ] / ( x 2 − d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})=\mathbb {Q} +{\sqrt {d}}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-d)} 를 정의할 수 있다. 이는 유리수체의 2차 확대이다. 이 경우,d {\displaystyle d} 실수 이차 수체 , 음수일 경우허수 이차 수체 라고 한다. 특수한 예로,가우스 유리수 체Q ( i ) = Q + i Q = Q [ x ] / ( x 2 − 1 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (i)=\mathbb {Q} +i\mathbb {Q} =\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-1)} Q ( − 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})} 유일 인수 분해 정역 이 아닌 이차 수체이다. 예를 들어,6 = 2 ⋅ 3 = ( 1 + − 5 ) ( 1 − − 5 ) {\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-}}5)(1-{\sqrt {-}}5)}
기저를{ 1 , d } {\displaystyle \{1,{\sqrt {d}}\}}
a + b d ∈ Q ( d ) {\displaystyle a+b{\sqrt {d}}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} 는 다음과 같은 2×2정사각 행렬 로 적을 수 있다.
a + b d ↦ ( a d b b a ) {\displaystyle a+b{\sqrt {d}}\mapsto {\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}} 이 경우 대각합과 노름은 다음과 같다.
T ( a + b d ) = 2 a {\displaystyle T(a+b{\sqrt {d}})=2a} N ( a + b d ) = a 2 − d b 2 {\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}} 이차 수체 의 판별식은 다음과 같다. 제곱 없는 정수d {\displaystyle d}
Δ Q ( d ) = { d d ≡ 1 ( mod 4 ) 4 d d ≡ 2 , 3 ( mod 4 ) {\displaystyle \Delta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}} 이다. 이차 수체의 판별식과 같은 정수를기본 판별식 (영어 : fundamental discriminant
1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, …( OEIS 의 수열 A003658 ) 음의 기본 판별식들은 다음과 같다.
−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, …( OEIS 의 수열 A003657 ) 다음과 같은체의 확대 들은 대수적 수체가 아니다.
