미분기하학에서납땜(영어:soldering)은올다발의수직 벡터 다발과 올다발의 밑공간의접다발 사이의동형 사상이다. 이를 통해, 올다발의 올들이 "수평 방향"으로 붙어 있다고 간주할 수 있다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체${\displaystyle M}$
• 매끄러운 올다발${\displaystyle \pi :E\twoheadrightarrow M}$. 또한,${\displaystyle E}$ 역시다양체라고 하자.

그렇다면,${\displaystyle E}$의납땜${\displaystyle (o,\theta )}$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 단면${\displaystyle o\in \mathrm{\Gamma }(E)}$
• 매끄러운 벡터 다발의 동형${\displaystyle \theta :\mathrm{T}M\to o^{\ast }\mathrm{V}E}$. 여기서${\displaystyle \mathrm{V}E}$는${\displaystyle E}$의수직 벡터 다발이며,${\displaystyle o^{\ast }}$는 벡터 다발의당김이다.

이에 따라,${\displaystyle \theta }$는 다음과 같은,${\displaystyle \mathrm{V}E}$값의 1차 미분 형식으로 여길 수 있다.

${\displaystyle \theta \in {\mathrm{\Omega }}^1(M;o^{\ast }\mathrm{V}E)}$

이를납땜 형식(-形式,영어:solder form)이라고 한다.

만약${\displaystyle E}$가 이미매끄러운 벡터 다발이라면, 그 위의 납땜을 보통 암묵적으로${\displaystyle o\in \mathrm{\Gamma }(E)}$가${\displaystyle o=0}$이 되게 잡는다.

다양체${\displaystyle M}$ 위의 매끄러운 올다발${\displaystyle E}$ 위에 납땜이 존재할필요 조건은${\displaystyle \dim E=2\dim M}$인 것이다.

다양체${\displaystyle M}$ 위의접다발${\displaystyle \mathrm{T}M}$은 자명한 납땜 형식을 갖는다. (이 경우${\displaystyle \mathrm{V}\mathrm{T}M=\mathrm{T}M}$이다.)

매끄러운 다양체${\displaystyle M}$ 위의일반화 리만 계량${\displaystyle g}$은,공변접다발${\displaystyle {\mathrm{T}}^{\ast }M}$ 위의 납땜${\displaystyle (o,\theta )}$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것과 사실상 동치인 개념이다.

${\displaystyle o=0}$이며, 임의의${\displaystyle x\in M}$ 및${\displaystyle u,v\in {\mathrm{T}}_{x}M}$에 대하여${\displaystyle \theta (u)(v)=\theta (v)u}$

위 조건은 일반화 리만 계량의 대칭성을 나타내며, 일반화 리만 계량의 비퇴화성은${\displaystyle \theta }$가 벡터 다발의 동형이어야 한다는 것에 해당한다.

구체적으로, 일반화 리만 계량${\displaystyle g}$는 벡터 다발의 동형

${\displaystyle \theta :\mathrm{T}M\to {\mathrm{T}}^{\ast }M}$

${\displaystyle \theta :(x,v)\mapsto \left(x,g(v,-)\right)}$

을 정의한다. 반대로, 위 조건을 만족시키는 납땜${\displaystyle \theta :\mathrm{T}M\to {\mathrm{T}}^{\ast }M}$이 주어졌을 때, 일반화 리만 계량

${\displaystyle g(u,v)=\left(\theta (u)\right)(v)=\left(\theta (v)\right)(u)}$

를 정의할 수 있다.

심플렉틱 다양체${\displaystyle (M,\omega )}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다발 사상

${\displaystyle \mathrm{T}M\to {\mathrm{T}}^{\ast }M}$

${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,\omega (v,-))}$

은공변접다발${\displaystyle {\mathrm{T}}^{\ast }M}$ 위의 납땜을 정의한다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체${\displaystyle M}$
• 리 군${\displaystyle G}$
• ${\displaystyle G}$-매끄러운 주다발${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle G}$의 매끄러운 유한 차원 실수표현${\displaystyle \rho :V\to \mathrm{GL}(V;\mathbb{R})}$

이 경우,연관 벡터 다발${\displaystyle P{\times }_{G}V}$를 구성할 수 있다. 이 경우,${\displaystyle P{\times }_{G}V}$ 위의 납땜은 각${\displaystyle x\in X}$에 대하여 동형 사상

${\displaystyle {\theta }_x:{\mathrm{T}}_{x}M\to P{\times }_{G}V}$

로 주어진다.

즉, 이 경우 납땜 형식${\displaystyle \theta }$는${\displaystyle G}$-등변${\displaystyle \mathfrak{g}}$값 1차 미분 형식

${\displaystyle \theta \in {\mathrm{\Omega }}^1(P;\mathfrak{g})}$

가운데,${\displaystyle \ker \theta =\mathrm{V}P}$인 것이다. 특히,${\displaystyle \theta }$는수평 미분 형식이다.^[1]:§5.1

이 경우,${\displaystyle (P,\rho ,\theta )}$를${\displaystyle M}$ 위의${\displaystyle G}$-구조(${\displaystyle G}$-構造,영어:${\displaystyle G}$-structure)라고 한다.^[1]:§5.1[2]

만약 추가로${\displaystyle \rho }$가 충실한 표현(즉,단사 함수)일 경우, 이 경우${\displaystyle P}$는 1차틀다발${\displaystyle {\mathrm{F}}^{1}M}$의 부분 주다발이 된다. 구체적으로,${\displaystyle p\in P}$에 대응하는틀은 다음과 같다.

${\displaystyle v\mapsto {\theta }_{\pi (x)}^{-1}([(p,v)])(v\in V)}$

매끄러운 다양체${\displaystyle M}$ 위의매끄러운 주다발${\displaystyle P}$의 납땜${\displaystyle (o,\theta )}$의 개념은 자명하다. 이는 단면${\displaystyle o\in \mathrm{\Gamma }(P)}$의 존재에 따라${\displaystyle P}$가 대역적으로 자명한 주다발${\displaystyle P=M\times G}$이 되며,${\displaystyle \mathrm{V}P=P\times \mathfrak{g}}$이므로 이에 따라

${\displaystyle \mathrm{T}M\cong M\times \mathfrak{g}}$

가 되기 때문이다. 즉,접다발${\displaystyle \mathrm{T}M}$ 역시 자명한벡터 다발이 된다.

이 때문에, 보통 "주다발 위의 납땜"은 사실 그 위의 어떤연관 벡터 다발 위의 납땜을 뜻한다.

• “G-structure”. 《nLab》 (영어). 
• “Cartan connection”. 《nLab》 (영어). 
• “Integrability of G-structures”. 《nLab》 (영어). 
• “Torsion of G-structures”. 《nLab》 (영어). 
• “Torsion of a Cartan connection”. 《nLab》 (영어). 

• 미분 형식
• 올다발

• CS1 - 영어 인용 (en)
• 영어 표기를 포함한 문서