수학에서,수열의계차수열(階差數列)은 그 수열의 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 수열이다. 예를 들어 수열

1, 4, 9, 16, ... ,n², ...

의 계차수열은

3, 5, 7, ... , 2n + 1, ...

과 같다. 수열 {a_n}의 계차수열의일반항은a_n+1 -a_n이다.

수열a_n}의계차수열은 다음과 같은 수열Δa_n}이다.^[1]

${\displaystyle \mathrm{\Delta }{a}_n=a_{n+1}-a_n}$

또,Δa_n}의 계차수열

${\displaystyle \mathrm{\Delta }\mathrm{\Delta }{a}_n=\mathrm{\Delta }{a}_{n+1}-\mathrm{\Delta }{a}_n=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n}$

을제 2계차수열이라고 하고,Δ²a_n}으로 표기한다.

임의의 자연수k에 대하여제k계차수열(kth difference)Δ^ka_n}은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}^k{a}_n=\underset{k}{\underbrace{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Delta }\cdots \mathrm{\Delta }}}{a}_n}$

또는 (점화식을 써서)^[1]

${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}^0{a}_n=a_n}$

${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}^{k+1}{a}_n=\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Delta }}^k{a}_n={\mathrm{\Delta }}^k{a}_{n+1}-{\mathrm{\Delta }}^k{a}_n}$

위에서 알 수 있듯이,a_n의 영계 차수열은 자기 자신, 일계 차수열은Δa_n이다.

• 수열1, 3, 5, 7, ...과2, 4, 6, 8, ...의 계차수열은 모두2, 2, 2, 2, ...이다.
• 수열1,⁠1/2⁠,⁠1/3⁠,⁠1/4⁠, ...의 계차수열은⁠1/1 × 2⁠,⁠1/2 × 3⁠,⁠1/3 × 4⁠, ...이다.
• 수열9, 99, 999, 9999, ...의 계차수열은90, 900, 9000, ...이다. 이계 차수열은810, 8100, ...이다.
• 피보나치 수열1, 1, 2, 3, 5, 8, ...의 계차수열은0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ..., 즉 0 하나를 앞에 붙인 것과 같다.
• 등차수열a_n =pn +q의 계차수열은상수열Δa_n =p이다. 특별히, 상수열a_n =c의 계차수열은 영수열Δa_n = 0이다.
• 조화수열a_n =⁠1/pn +q⁠의 계차수열은Δa_n =⁠p/(pn +q)(pn +p +q)⁠이다.
• 주어진 수열a_n의 합S_n =a₁ + … +a_n의 계차수열은a₂,a₃,a₄, ...이다.
• 3차다항식인n³의 1, 2, 3계 차수열은 각각3n² + 3n + 1,6n + 6,6이며, 이들은 각각 2차, 1차, 0차 다항식이다.

• 임의의 수열a_n}은 초항과 일계 차수열Δa_n}에 의해 유일하게 결정된다.

  ${\displaystyle a_n=a_1+\mathrm{\Delta }{a}_1+\mathrm{\Delta }{a}_2+\cdots +\mathrm{\Delta }{a}_{n-1}=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}\mathrm{\Delta }{a}_k}$

다만, 홀수열1, 3, ...과 짝수열2, 4, ...처럼, 일계 차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.

• 더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같이 유일하게 결정된다.^[1]

  ${\displaystyle a_n=a_1+(n-1)\mathrm{\Delta }{a}_1+\frac{(n-1)(n-2)}{2}{\mathrm{\Delta }}^2{a}_1+\cdots +{\mathrm{\Delta }}^{n-1}{a}_1=\sum _{k=0}^{n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k}){\mathrm{\Delta }}^k{a}_1}$

여기서${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})}$는(n - 1)개의 대상 중에서k 개를 고른조합수이다.

• k계 차수열의 일반항은 원래 수열의 항에 의해 다음과 같이 전개된다.

  ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}^k{a}_n=a_{n+k}-k{a}_{n+k-1}+\frac{k(k-1)}{2}{a}_{n+k-2}+\cdots +(-1{)}^k{a}_n=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})a_{n+k-i}}$

• 수열의 단조성은 계차수열을 이용해 기술할 수 있다. 수열a_n}이단조증가할필요충분조건은Δa_n ≥ 0이 모든n에게 성립하는 것이다. 수열a_n}이단조감소할 필요충분조건은,Δa_n ≤ 0이 모든n에게 성립하는 것이다.
• 아벨 변환
• 슈톨츠-체사로 정리

m계 등차수열(m ≥ 0)은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

• 0이 아닌 상수의 수열은 0계 등차수열이다.
• 계차수열이(k - 1)계 등차수열인 수열은k계 등차수열이다.

위의 예시 문단에서, 수열6, 6, ...}은 0계 등차수열이며, 그 수열을 계차수열로 하는 수열인6n - 6}은 1계 등차수열이다. 마찬가지로3n² + 3n + 1}은 2계등차수열,n³}은 3계 등차수열이다.

어떤 수열a_n}이m계 등차수열일 필요충분조건은, 일반항이n에 대한m차 다항식이라는 것이다.^[1]

• 점화식
• 계차
• 수열

• 수열
• 유한차분법

• CS1 - 중국어 인용 (zh)
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