수학 에서 곡선을 따라 적분하는 일반적인 선적분에 대해서는
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복소해석학 에서 유수 정리(Residue theorem)를 이용한 적분법에 대해서는
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양자장론 학자
초기 학자 전자기력 강한 상호작용 약한 상호작용 재규격화
양자역학 에서경로 적분 (經路積分,path integral )은해밀턴의 원리 를 일반화하여 양자론을 기술하는 방법이다. 한 상태에서 다른 상태로 전이할확률진폭 은 두 상태 사이의 모든 가능한 경로에 대한함수적분 이다.
폴 디랙 이 경로 적분을 다소 원시적인 형태로 최초로 도입하였다.[ 1] 리처드 파인만 이 경로 적분을 개량하고, 구체적인 방법론 및 일반화를 개발하였다.[ 2] 존 휠러 에게서 지도를 받은 그의 박사 학위 논문에서 몇 가지 사전 작업이 먼저 이루어졌다.
이 기술 방식은이론물리학 에서 이후 엄청난 파급효과를 가져왔는데, 왜냐하면 시간과 공간에 대한 대칭적인 기술이 가능해졌기 때문이다. 즉, 경로적분에서는 같은 양자계에 대한 서로 전혀 다른정준켤레 의 기술 사이에 손쉬운 좌표 변환이 가능하다.
고전역학 에서는, 어느점입자 혹은질량 점의 운동은 초기 상태가 주어지면 이후의 운동 경로가 운동방정식의 해로써 모두 결정될 수 있다. 한편,양자역학 에서는불확정성 이 존재하기 때문에 고전역학에서와 같은 하나의 경로 만을 생각할 수는 없게 된다. 경로 적분에서는 시공간에서의 시작점과 끝점을 연결하는 무한히 많은 경로를 모두 다 생각하고 그것들의 합성을 통하여 양자역학적인확률진폭 을 얻게 된다.
에르빈 슈뢰딩거 의파동역학 이나베르너 하이젠베르크 의행렬역학 에서는운동 방정식 으로써 문제를 풀지만, 경로적분에서는 운동의 경로에 주목하여 전체 경로에 대하여 양자역학의 문제를 취급한다. 파인만은 디랙의 논문에서 시간t {\displaystyle t} t + Δ t {\displaystyle t+\Delta t} Δ t {\displaystyle \Delta t} 전이진폭 이 해당하는 계의라그랑지언 의지수 함수 에 대응될 수 있다는 점에 착상을 얻어 이 기법을 정식화했다. 파인만은 경로 적분을 통하여 극저온에서 액체헬륨 의초유체 상태를 이론적으로 설명하였다.
파동함수Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\mathbf {t} )} 하이젠베르크 묘사 에서의 움직이는 바탕켓 | r 0 , t 0 ⟩ {\displaystyle |\mathbf {r} _{0},\mathbf {t} _{0}\rangle }
Ψ ( r 1 , t 1 ) = ∫ d r ⟨ r 1 , t 1 | r 0 , t 0 ⟩ Ψ ( r 0 , t 0 ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {t} _{1})=\int d\mathbf {r} \left\langle \mathbf {r} _{1},\mathbf {t} _{1}|\mathbf {r} _{0},\mathbf {t} _{0}\right\rangle \Psi (\mathbf {r} _{0},\mathbf {t} _{0})} 이 때⟨ r 1 , t 1 | r 0 , t 0 ⟩ = ⟨ r 1 | e − i ℏ H ( t 1 − t 0 ) | r 0 ⟩ ≡ K ( r 1 , t 1 ; r 0 , t 0 ) {\displaystyle \left\langle \mathbf {r} _{1},\mathbf {t} _{1}|\mathbf {r} _{0},\mathbf {t} _{0}\right\rangle =\left\langle \mathbf {r} _{1}\left|e^{-{i \over {\hbar }}H(t_{1}-t_{0})}\right|\mathbf {r} _{0}\right\rangle \equiv K(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{0},t_{0})} 핵 혹은 확률진폭이라고 하며 이것이 시작점P ( r 0 , t 0 ) {\displaystyle P(\mathbf {r} _{0},\mathbf {t} _{0})} Q ( r 1 , t 1 ) {\displaystyle Q(\mathbf {r} _{1},\mathbf {t} _{1})}
K P → Q = K ( r 1 , t 1 ; r 0 , t 0 ) = ∫ P Q e i ℏ S [ P , Q ] d r ( t ) {\displaystyle K_{\rm {P\to Q}}=K(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{0},t_{0})=\int _{\rm {P}}^{\rm {Q}}e^{{i \over {\hbar }}S[{\rm {P,Q]}}}d\mathbf {r} (t)} 으로 표현된다는 것이 경로 적분의 결과이다. 여기서,H 는해밀토니언 이며S 는라그랑지언 L 에 대한 작용
S = ∫ t 0 t 1 L ( r , r ˙ , t ) d t {\displaystyle S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)dt} 이다.r {\displaystyle \mathbf {r} } r ˙ = d r / d t {\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=d\mathbf {r} /dt} t {\displaystyle \mathbf {t} } ℏ = h / 2 π {\displaystyle \hbar =h/2\pi } h 는플랑크 상수 이다.
여기서ℏ → 0 {\displaystyle \hbar \to 0} S ≫ ℏ {\displaystyle S\gg \hbar } 복소수 거듭제곱이 격렬하게 진동하게 되어 인접한 경로가 서로 간섭하여 상쇄되게 되는데, S가 경로에 따라 크게 변하지 않을 때만 이러한 상쇄가 일어나지 않으며 이것은 곧해밀턴의 원리 에 해당하는 고전적인 경로이다.
양자역학의 경로 적분은통계역학 의분배 함수 와 다음과 같은 연관성을 가진다. 시작점과 출발점이 같은 경로만을 생각하고, 그 경로 적분에윅 회전 t → i t {\displaystyle t\to {\rm {i}}t} 1 / T ℏ {\displaystyle 1/T\hbar } 바른틀 분배 함수 와 같다.
정준 기술에서, 상태의유니터리 변화 작용자는
| α ; t ⟩ = e − i H t / ℏ | α ; 0 ⟩ {\displaystyle |\alpha ;t\rangle =e^{-{\rm {i}}Ht/\hbar }|\alpha ;0\rangle } 와 같이 주어지며 여기서 상태 α는 시간t=0 에서부터 변화한다. 여기서윅 회전 을 시키면 진폭은 같은 상태의 허수시간it=T 에 대한 것
Z = T r [ e − H T / ℏ ] {\displaystyle Z={\rm {Tr}}[e^{-HT/\hbar }]} 으로 변환되며 이것은통계역학 의 해당 온도에서의분배 함수 와 같다. 이런 대응성은 일찍이에르빈 슈뢰딩거 도슈뢰딩거 방정식 을 윅 회전하면확산방정식 이 된다는 사실로부터 이미 인지하고 있었다.
Kleinert, Hagen (2009년 5월). 《Path Integrals In Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, And Financial Markets》 5판 (영어). World Scientific.Bibcode :2004piqm.book.....K .doi :10.1142/9789814273572 .ISBN 978-981-4273-55-8 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말 ) CS1 관리 - 추가 문구 (링크 ) Zinn-Justin, Jean (2009). “Path integral” (영어). 《Scholarpedia》4 (2): 8674.doi :10.4249/scholarpedia.8674 . Sergio Albeverio, Sonia Mazzucchi (2011). “Path integral: mathematical aspects” (영어). 《Scholarpedia》6 (1): 8832.doi :10.4249/scholarpedia.8832 . Swanson, Eric S. (2010년 3월). “A Primer on Functional Methods and the Schwinger-Dyson Equations” (영어). 《American Institute of Physics Conference Proceedings》1296 : 75–121.arXiv :1008.4337 .Bibcode :2010AIPC.1296...75S .doi :10.1063/1.3523221 . 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말 ) Grosche, Christian. “An Introduction into the Feynman Path Integral” (영어).arXiv :hep-th/9302097 .Bibcode :1993hep.th....2097G . MacKenzie, Richard (2000년 4월). “Path Integral Methods and Applications” (영어).arXiv :quant-ph/0004090 .Bibcode :2000quant.ph..4090M . 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말 ) Rosenfelder, R. (2012년 9월). “Pfadintegrale in der Quantenphysik ” (독일어).arXiv :1209.1315 .Bibcode :2012arXiv1209.1315R . 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말 )
