양자장론 학자
초기 학자 전자기력 강한 상호작용 약한 상호작용 재규격화
양자장론 에서게이지 이론 (영어 :gauge theory )이란 그라그랑지언 이 국소적으로대칭 인 장론이다. 게이지 이론의 국소적 대칭 변환을게이지 변환 (gauge transformation)이라고 부른다. 게이지 이론의 국소적 대칭은단순 (또는반단순 )콤팩트 리 군 을 이룬다. 이 리 군의리 대수 의 각생성원 (generator )은 각각벡터 장을 이룬다. 이를 게이지 장이라고 한다.양자장론 에서는 각 장에 해당하는입자 가 있는데, 이를게이지 보손 이라고 한다.
고전전자기학 이 고전적 게이지 이론의 대표적인 예로, U(1) 대칭을 가진다. 이외에도 고전적양-밀스 이론 따위가 있다. 양자장론으로는표준 모형 과 이를 이에 포함된 이론들(양자 전기역학 ,양자 색역학 ,글래쇼-살람-와인버그 이론 ) 모두 게이지 이론의 일종이다. 예를 들어양자 전기역학 은아벨 리 군 U(1)을 기반으로 만들어졌고,양자 색역학 은 특수 유니타리 군SU(3)으로 만들어졌다.
게이지 이론은미분기하학 의올다발 이론으로 정의한다. 보통, 게이지 군은 반단순콤팩트 리 군 G {\displaystyle G} 킬링 형식 )이 존재하여, 게이지 장의 내적을 정의할 수 있기 때문이다. (그러나천-사이먼스 이론 등위상 양자장론 따위에서 비콤팩트 리 군을 사용하기도 한다.) 시공간M {\displaystyle M} 매끄러운 다양체 이다.
게이지 이론에서는M {\displaystyle M} G {\displaystyle G} 주다발 P ↠ M {\displaystyle P\twoheadrightarrow M} M → B G {\displaystyle M\to BG} 연속함수 들의호모토피류 [ M , B G ] {\displaystyle [M,BG]} B G {\displaystyle BG} G {\displaystyle G} 분류 공간 이다. 다양체M {\displaystyle M} 알렉산드로프 콤팩트화 M + {\displaystyle M^{+}} 알렉산드로프 콤팩트화 M + = S 4 {\displaystyle M^{+}=S^{4}}
[ S 4 , B G ] = π 4 ( B G ) = π 3 ( G ) {\displaystyle [S^{4},BG]=\pi _{4}(BG)=\pi _{3}(G)} 에 의하여 분류된다. 여기서π k ( ) {\displaystyle \pi _{k}()} k {\displaystyle k} 호모토피 군 이다. 이러한 가능한 주다발들을 물리학에서는순간자
게이지 이론을 양자화하는 과정에서,경로 적분 은 가능한 모든 주다발(들의 동형에 대한동치류 )들에 대하여 적분한다. 이는 일반적으로 중요하지 않지만, 예를 들어 게이지 군이유한군 인 데이크흐라프-위튼 모형(영어 :Dijkgraaf–Witten model )의 경우에는 국소적 자유도가 없으므로 이러한 대역적 자유도가 중요하다.[ 1] [ 2]
가장 간단한 경우인G = U ( 1 ) {\displaystyle G=U(1)} B U ( 1 ) = C P ∞ {\displaystyle BU(1)=\mathbb {C} P^{\infty }} 선다발 과 대응하게 된다. 복소 선다발L {\displaystyle L} 특성류 이론에 따라서 그천 특성류 c 1 ( L ) ∈ H 2 ( M ; Z ) {\displaystyle c_{1}(L)\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )} 디랙 양자화 (Dirac quantization)를 의미한다.
일반적으로, 물리적인 장들은P {\displaystyle P} R : G → U ( V ) {\displaystyle R\colon G\to U(V)} V {\displaystyle V} 벡터 공간 이라면, 이에 따른 연관 벡터다발(영어 :associated vector bundle )P × G V {\displaystyle P\times _{G}V}
ϕ ∈ Γ ( P × G V ) {\displaystyle \phi \in \Gamma (P\times _{G}V)} 이 된다. 이는 함수
ϕ ∈ Ω 0 ( P , V ) {\displaystyle \phi \in \Omega ^{0}(P,V)} 로 생각할 수 있고, 이 경우ϕ {\displaystyle \phi } 영어 :equivariance ) 조건을 만족시킨다. 임의의g ∈ G {\displaystyle g\in G}
ϕ ( x ⋅ g − 1 ) = R ( g ) ⋅ ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x\cdot g^{-1})=R(g)\cdot \phi (x)} 만약U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} s ∈ Γ ( P | U ) {\displaystyle s\in \Gamma (P|_{U})} s : U → P | U {\displaystyle s\colon U\to P|_{U}} 당김 을 정의할 수 있다.
s ∗ ϕ ∈ Ω 0 ( U , V ) {\displaystyle s^{*}\phi \in \Omega ^{0}(U,V)} 이에 따라,ϕ {\displaystyle \phi } U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} V {\displaystyle V} s {\displaystyle s} s , s ′ ∈ Γ ( P | U ) {\displaystyle s,s'\in \Gamma (P|_{U})} α : U → G {\displaystyle \alpha \colon U\to G}
s ′ ( x ) = s ( x ) ⋅ α ( x ) − 1 {\displaystyle s'(x)=s(x)\cdot \alpha (x)^{-1}} 이다. 이러한 함수α {\displaystyle \alpha } 게이지 변환 (영어 :gauge transformation )이라고 한다.ϕ {\displaystyle \phi }
( s α − 1 ) ∗ ϕ = R ( α ( x ) ) s ∗ ϕ ∈ Ω 0 ( U , V ) {\displaystyle (s\alpha ^{-1})^{*}\phi =R(\alpha (x))s^{*}\phi \in \Omega ^{0}(U,V)} 만약 표현R {\displaystyle R}
( s α − 1 ) ∗ ϕ = s ∗ ϕ {\displaystyle (s\alpha ^{-1})^{*}\phi =s^{*}\phi } 라면,ϕ {\displaystyle \phi } s ∈ Γ ( P | U ) {\displaystyle s\in \Gamma (P|_{U})} M {\displaystyle M} ϕ {\displaystyle \phi } 게이지 불변 (영어 :gauge-invariant )이라고 한다.
[ 원본 편집 ] 게이지 변환α : M → G {\displaystyle \alpha \colon M\to G}
G = C ( M , G ) {\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {C}}(M,G)} 는 각 점마다의 합성을 통해위상군 을 이룬다. 이 게이지 변환군은 일반적으로연결 공간 이 아닐 수 있고, 그 연결 조각들은호모토피류
G / G 0 = [ M , G ] {\displaystyle {\mathcal {G}}/{\mathcal {G}}_{0}=[M,G]} 에 따라서 분류된다. 여기서G 0 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 거대 게이지 변환 (영어 :large gauge transformation )이라고 한다. 예를 들어, 4차원 민코프스키 공간(의 콤팩트화)의 경우, 거대 게이지 변환들은호모토피 군
[ S 4 , G ] = π 4 ( G ) {\displaystyle [S^{4},G]=\pi _{4}(G)} 에 의하여 분류된다. 반면,G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 리 대수 C ( M , g ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(M,{\mathfrak {g}})} 미세 게이지 변환 (영어 :small gauge transformation )이라고 한다. 어떤 물리량이 게이지 불변임을 보이려면, 미세 게이지 변환과 거대 게이지 변환에 따라서 불변임을 보이면 된다. 어떤 물리량이 미세 게이지 변환에 대하여 불변이라면 이는G 0 ⊂ G {\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}\subset {\mathcal {G}}} G / G 0 {\displaystyle {\mathcal {G}}/{\mathcal {G}}_{0}} G {\displaystyle {\mathcal {G}}}
주다발P ↠ M {\displaystyle P\twoheadrightarrow M} 주접속 A {\displaystyle A} 게이지 퍼텐셜 (영어 :gauge potential )이라고 한다.
G {\displaystyle G} 리 대수 를g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} A ∈ Ω 1 ( P , g ) {\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})} P {\displaystyle P} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 딸림표현 Ad : G × g → g {\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} s ∈ Γ ( P | U ) {\displaystyle s\in \Gamma (P|_{U})} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} s ∗ A ∈ Ω 1 ( U , g ) {\displaystyle s^{*}A\in \Omega ^{1}(U,{\mathfrak {g}})}
( s α − 1 ) ∗ A = Ad ( α ( x ) ) s ∗ A + α ( x ) d α ( x ) − 1 ∈ Ω 1 ( U , g ) {\displaystyle (s\alpha ^{-1})^{*}A=\operatorname {Ad} (\alpha (x))s^{*}A+\alpha (x)d\alpha (x)^{-1}\in \Omega ^{1}(U,{\mathfrak {g}})} 이다.
주접속의곡률
F = d A + 1 2 [ A ∧ A ] ∈ Ω 2 ( P , g ) {\displaystyle F=dA+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]\in \Omega ^{2}(P,{\mathfrak {g}})} 을 정의할 수 있다.여기서d {\displaystyle d} 외미분 이고,[ ∧ A ] {\displaystyle [\wedge A]} 리 괄호 와쐐기곱 을 합성한 것이다. 주접속의 곡률은 물리학에서게이지 장세기 (영어 :gauge field strength )라고 한다.맥스웰 방정식 에서의패러데이 텐서 는 U(1) 장세기의 특수한 경우다. 마찬가지로, 단면s ∈ Γ ( P | U ) {\displaystyle s\in \Gamma (P|_{U})} s ∗ F ∈ Ω 2 ( U , g ) {\displaystyle s^{*}F\in \Omega ^{2}(U,{\mathfrak {g}})}
( s α − 1 ) ∗ F = Ad ( α ( x ) ) s ∗ F ∈ Ω 2 ( U , g ) {\displaystyle (s\alpha ^{-1})^{*}F=\operatorname {Ad} (\alpha (x))s^{*}F\in \Omega ^{2}(U,{\mathfrak {g}})} 이다.
즉, 게이지 변환이 단순하므로 게이지 장세기는 (게이지 퍼텐셜과 달리)P × G g {\displaystyle P\times _{G}{\mathfrak {g}}}
F ∈ Ω 2 ( M , P × G g ) {\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M,P\times _{G}{\mathfrak {g}})} 스칼라장ϕ ∈ Ω 0 ( P , V ) {\displaystyle \phi \in \Omega ^{0}(P,V)}
d ϕ ∈ Ω 1 ( P , V ) {\displaystyle d\phi \in \Omega ^{1}(P,V)} 는 게이지 퍼텐셜과 유사하게 다음과 같이 게이지 변환한다.
( s α − 1 ) ∗ d ϕ = R ( α ( x ) ) s ∗ d ϕ + d ( R ( α ) ) ∧ s ∗ ϕ ∈ Ω 1 ( U , V ) {\displaystyle (s\alpha ^{-1})^{*}d\phi =R(\alpha (x))s^{*}d\phi +d(R(\alpha ))\wedge s^{*}\phi \in \Omega ^{1}(U,V)} 반면d R ( A ) ∧ ϕ {\displaystyle dR(A)\wedge \phi } d R : g → u ( V ) {\displaystyle dR\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {u}}(V)} R : G → U ( V ) {\displaystyle R\colon G\to U(V)}
( s α − 1 ) ∗ ( d R ( A ) ∧ ϕ ) = R ( α ) s ∗ ( d R ( A ) ∧ ϕ ) − d ( R ( α ) ) ∧ s ∗ ϕ {\displaystyle (s\alpha ^{-1})^{*}(dR(A)\wedge \phi )=R(\alpha )s^{*}(dR(A)\wedge \phi )-d(R(\alpha ))\wedge s^{*}\phi } 따라서, 다음과 같이
D ϕ = d ϕ + d R ( A ) ∧ ϕ ∈ Ω 1 ( P , V ) {\displaystyle D\phi =d\phi +dR(A)\wedge \phi \in \Omega ^{1}(P,V)} 를 정의하자. 그렇다면
( s α − 1 ) ∗ D ϕ = R ( α ) s ∗ D ϕ {\displaystyle (s\alpha ^{-1})^{*}D\phi =R(\alpha )s^{*}D\phi } 가 되어,ϕ {\displaystyle \phi } D {\displaystyle D} 공변 미분 (영어 :covariant derivative )이라고 한다. 이는
D : Ω 0 ( M , P × G V ) → Ω 1 ( M , P × G V ) {\displaystyle D\colon \Omega ^{0}(M,P\times _{G}V)\to \Omega ^{1}(M,P\times G_{V})} 로 생각할 수 있다.
스칼라장과 게이지 퍼텐셜 말고도,페르미온 이 존재할 수 있다.M {\displaystyle M} 스핀 구조 를 가졌다고 하자. 그렇다면 위와 같이 표현R : G → U ( V ) {\displaystyle R\colon G\to U(V)} Δ ↠ M {\displaystyle \Delta \twoheadrightarrow M} 페르미온
ψ ∈ Γ ( Δ ⊗ V ) {\displaystyle \psi \in \Gamma (\Delta \otimes V)} 을 생각할 수 있다. 여기서Γ {\displaystyle \Gamma } Δ ⊗ V {\displaystyle \Delta \otimes V}
이러한 물질은 게이지 변환α : M → G {\displaystyle \alpha \colon M\to G}
ψ ( x ) ↦ R ( α ( x ) ) ⋅ ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\mapsto R(\alpha (x))\cdot \psi (x)} 으로 변환한다.
보다 일반적으로, 스핀 구조가 없더라도 적절한스핀C 구조 가 존재한다면 게이지에 대하여 대전된 페르미온이 존재할 수 있다.
양자장론은작용
S ∈ R / 2 π {\displaystyle S\in \mathbb {R} /2\pi } 에 의하여 정의된다. 이에 따라, 경로 적분에 등장하는 값
exp ( i S ) ∈ C {\displaystyle \exp(iS)\in \mathbb {C} } 을 정의할 수 있다. 보통 작용은 참된 실수S ∈ R {\displaystyle S\in \mathbb {R} } 베스-추미노-위튼 모형 등). 작용은 보통라그랑지언 L : M → R {\displaystyle {\mathcal {L}}\colon M\to \mathbb {R} }
S = ∫ M | det g | L {\displaystyle S=\int _{M}{\sqrt {|\det g|}}{\mathcal {L}}} 대표적으로,M {\displaystyle M} 리만 계량 이 주어져 있다고 하자. 그렇다면
⟨ F , F ⟩ ∈ Ω 0 ( P ) {\displaystyle \langle F,F\rangle \in \Omega ^{0}(P)} 를 정의할 수 있다. (여기서 리 대수 지수의 경우킬링 형식 을 사용한다.) 이는 게이지 불변이므로,M {\displaystyle M}
S = 1 4 g 2 ∫ ⟨ F , F ⟩ {\displaystyle S={\frac {1}{4g^{2}}}\int \langle F,F\rangle } 여기서g 2 ∈ R + {\displaystyle g^{2}\in \mathbb {R} ^{+}} 결합 상수 S {\displaystyle S} 양-밀스 작용 (영어 :Yang–Mills action )이라고 한다. 여기에변분법 을 적용하여운동 방정식 을 유도할 수 있다. 만약G = U ( 1 ) {\displaystyle G=U(1)} 맥스웰 방정식 을 얻고,G = S U ( n ) {\displaystyle G=SU(n)} 양-밀스 방정식 을 얻는다.
또한, 만약M {\displaystyle M}
∫ M F ∧ F {\displaystyle \int _{M}F\wedge F} 또한 게이지 불변이다. 여기서도 암묵적으로 킬링 형식을 사용하였다. 이 경우에는M {\displaystyle M} 계량 텐서 가 필요없다는 것에 주목하라. 이러한 항은양자 색역학 의CP 위반항 으로 알려져 있다.
물질의 경우, 마찬가지로 다음과 같은 꼴들의 항을 라그랑지언으로 사용할 수 있다.
g μ ν δ ı ¯ j D μ ϕ ¯ ı ¯ D ν ϕ j {\displaystyle g^{\mu \nu }\delta _{{\bar {\imath }}j}{\overline {D_{\mu }\phi }}^{\bar {\imath }}D_{\nu }\phi ^{j}} δ ı ¯ j ϕ ¯ ı ¯ ϕ j {\displaystyle \delta _{{\bar {\imath }}j}{\bar {\phi }}^{\bar {\imath }}\phi ^{j}} 여기서g μ ν {\displaystyle g^{\mu \nu }} 계량 텐서 의 역이고,δ ı ¯ j {\displaystyle \delta _{{\bar {\imath }}j}} V {\displaystyle V} 내적 이다.
작용에 다른 게이지 불변항을 추가할 수 있다. 예를 들어, 닫힌 곡선γ 가 있으면, 다음과 같이윌슨 고리 W {\displaystyle W}
W = χ ( ρ ) ( P exp ∫ γ A ) {\displaystyle W=\chi ^{(\rho )}\left({\mathcal {P}}\exp \int _{\gamma }A\right)} 여기서χ {\displaystyle \chi } 군 표현의 지표 고,P {\displaystyle {\mathcal {P}}} 경로순서 화 연산자다. 그러니 이런 항은 일반적인 시공에서는 대개로런츠 대칭 을 따르지 않는다.칼루차-클라인 이론 에서는축소화 된 차원에 따라 이런 항을 적을 수 있다.
다른 뜻에 대해서는게이지 이론 (수학) 문서를 참고하십시오.
