Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Menyang kontèn
WikipédiaBauwarna mardika
Golèk

Kalkulus

Iki minangka artikel pethingan. Klik ing kéné saperlu maca informasi pepaké.
Saka Wikipédia Jawa, bauwarna mardika basa Jawa
Topik jroningkalkulus

Téoréma dhasar
Limit fungsi
Kakontinuan
Kalkulus vèktor
Kalkulus matriks
Téoréma pangaji purata

Turunan

Kaidah darab
Kaidah asil-bagi
Kaidah ranté
Turunan implisit
Téoréma Taylor
Laju silih gegandhèngan
Tabèl turunan

Integral

Tabel integral
Integral ora wajar
Pangintegralan mawa:
bagéyan per bagéyan,cakram,silindher,substitusi,
substitusi trigonomètri,
pecahan parsial

Kalkulus (basa Latin:calculus, tegesé "watu cilik", kanggo ngétung) iku cabang èlmumatématika kang nyakuplimit,turunan,integral, landhèrèt ora kakira étungané. Kalkulus iku èlmu ngenani owah-owahan, kaya dénégéometri iku èlmu ngenani wangun lanaljabar iku èlmu ngenani panggarapkan kanggo mecahaké pepadhan sarta aplikasiné. Kalkulus dikembangké sakaaljabar langeometri. Kalkulus mligi nyinaoni kang ana gayutané karo laju utawa tingkat pagerakan, misalépercepatan,kurva, lankamiringan. Kalkulus duwé aplikasi kang wiyar sajeroning babagan-babagansains,ékonomi, lantèhnik; sarta bisa mecahaké manéka masalah kang ora bisa dipecahaké mawaaljabar èlemèntèr.

Dhasar kalkulus yaikuturunan,integral, lanlimit. Salah siji tujuan utama perkembangan kalkulus yaiku kanggo pamecahan masalahgaris singgung.

Kalkulus duwé rong cabang utama,kalkulus diferensial lankalkulus integral kang silih gegandhèngan liwattéoréma dhasar kalkulus. Pelajaran kalkulus iku lawang gerbang nuju wulangan matématika liyané kang luwih dhuwur, kang mirunggan nyinaonifungsi lanlimit, kang kanthi umum dijenengianalisis matématika.

Perkembangan kalkulus mligi dijurung déningArchimedes,Leibniz,Newton,Barrow,Descartes,de Fermat,Huygens, lanWallis.

Sajarah

[besut |besut sumber]
SirIsaac Newton iku panemu lan kontributor kalkulus kang misuwur.
Gottfried Wilhelm Leibniz ing awalé ditutuh njiplak saka asil makarya Sir Isaac Newton kang ora dipublikasikaké, nanging saiki dianggep kontributor kalkulus kang asil kerjané dilakokaké kanthi kapisah.

Perkembangan

[besut |besut sumber]
Artikel baku:Sajarah kalkulus

Sajarah perkembangan kalkulus bisa dideleng ing sapérangan périodhe jaman, yaikujaman kuna,jaman patengahan, lanjaman modhèren. Ing périodhe jaman kuna, sapérangan pamikiran ngenani kalkulus integral wis mijil, nanging ora dikembangaké kanthi becik lan sistematis. Pangétunganvolume lan wiyar kang wujud fungsi utama saka kalkulus integral bisa ditlusuri manèh ingPapirus MoskwaMesir (c. 1800 SM). Ing papirus mau, wongMesir wis bisa ngétung volumepiramida kapancung.[1]Archimedes ngembangaké pamikiran iki luwih adoh lan ngriptaheuristik kang mèmperkalkulus integral.[2]

Nalika jaman patengahan, matématikawanIndia,Aryabhata, migunakaké konsèp cilik ora kaétung nalika taun499 lan ngèksprèsikaké masalahastronomi sajeroning wangunpepadhan diferensial dhasar.[3] Pepadhan iki banjur ngeterakéBhāskara II ing abad angka 12 kanggo ngembangaké wangun awalturunan kang makili owah-owahan kang cilik banget ora kaétung lan njelasaké wangun awal saka "Téoréma Rolle".[4] Watara taun1000, matématikawanIrakIbn al-Haytham (Alhazen) dadi wong pisanan kang ngedhunaké rumus pangétungan asil gunggung pangkat papat, lan kanthi migunakakéindhuksi matématika, panjenengané ngembangaké siji métodhe kanggo ngedhunaké rumus umum saka asil pangkat integral kang wigati banget marang perkembangan kalkulus integral.[5] Nalika abad angka 12, siji wongPèrsiSharaf al-Din al-Tusi nemuturunan sakafungsi kubik, siji asil kang wigati sajeroning kalkulus diferensial.[6] Nalika abad angka 14,Madhava, bebarengan karo matématikawan-astronom sakamadahab astronomi lan matématika Kerala, njelasaké kasus mirunggan sakadhèrèt Taylor[7], kang ditulisaké sajeroning tèksYuktibhasa.[8][9][10]

Ing jaman modhèren, panemon indhepèndhen dumadi nalika awal abad angka 17 ing Jepang déning matématikawan kaya dénéSeki Kowa. Ing Éropah, sapérangan matématikawan kaya dénéJohn Wallis lanIsaac Barrow mènèhaké terobosan sajeroning kalkulus.James Gregory mbuktèkaké siji kasus mirunggan sakatéoréma dhasar kalkulus nalika taun 1668.

Leibniz lanNewton nyurung pamikiran-pamikiran iki bebarengan minangka siji kamanunggalan lan kaloro èlmuwan mau dianggep panemu kalkulus kanthi kapisah ing sajeroning wektu kang mèh bebarengan. Newton ngaplikasikaké kalkulus kanthi umum menyang babaganfisika sauntara Leibniz ngembangaké notasi-notasi kalkulus kang akèh dipigunakaké saiki.

Nalika Newton lan Leibniz mublikasikaké asilé kanggo sepisanané, mijil kontrovèrsi ing antarané matématikawan ngenani endi kang luwih patut kanggo nampa bebungah marang kerjané. Newton ngedhunaké asil kerjané luwih dhisik, nanging Leibniz kang pisanan mublikasikaké. Newton nutuh Leibniz nyolong pamikirané saka cathetan-cathetan kang ora dipublikasikaké, kang asring disilihaké Newton marang sapérangan anggota sakaRoyal Society.

Pamriksan kanthi princi nuduhaké yèn kaloroné nyambut gawé kanthi kapisah, kanthi Leibniz miwiti saka integral lan Newton saka turunan. Saiki, Newton lan Leibniz diwènèhi bebungah sajeroning ngembangaké kalkulus kanthi kapisah. Leibniz kang mènèhi jeneng marang èlmu cabang matématika iki minangka kalkulus, sauntara Newton njenengi "The science of fluxions".

Wiwit wektu iku, akèh matématikawan kang mènèhaké kontribusi marang pangembangan luwih lanjut saka kalkulus.

Kalkulus dadi topik kang umum banget ing SMA lan universitas jaman modhèren. Matématikawan saindhenging donya terus mènèhaké kontribusi marang perkembangan kalkulus.[11]

Prabawa wigati

[besut |besut sumber]

Sanajan sapérangan konsèp kalkulus wis dikembangaké luwih dhisik ingMesir,Yunani,Tiongkok,India,Iraq,Pèrsi, lanJepang, panggunaaan kalkulus modhèren diwiwiti ingÉropah nalika abad angka 17 wektuIsaac Newton lanGottfried Wilhelm Leibniz ngembangaké prinsip dhasar kalkulus. Asil kerjané banjur mènèhi prabawa kang kuwat marang perkembanganfisika.

Aplikasi kalkulus diferensial ngambah pangétungankarikatan lanpercepatan,kamiringan siji kurva, lan optimalisasi. Aplikasi saka kalkulus integral ngambah pangétunganwiyar,volume,dawa busur,punjer massa,makarya, lantekanan. Aplikasi luwih adoh ngambahdhèrèt pangkat landhèrèt Fourier.

Kalkulus uga kanggo éntuk pamahaman kang luwih rinci ngenani ruwang, wektu, lan obah (obah). Sakwéné maabad-abad, para matématikawan lanfilsuf ngupaya mecahaké paradhoks kang ngambah pambagian wilangan karo nol utawa uga gunggung saka dhèrèt ora kaétung. Sawijining filsuf Yunani kuna mènèhaké sapérangan conto misuwur kaya dénéparadhoks Zeno. Kalkulus mènèhaké solusi, mligi ing babagan limit lan dhèrèt ora kaétung, kang banjur kasil mecahaké paradhoks mau.

Prinsip-prinsip dhasar

[besut |besut sumber]

Limit lan cilik ora kakira étungané

[besut |besut sumber]
Artikel baku:Limit
Dhéfinisi limit: ditélakaké yèn limit f(x) nalika x nyeraki titik p iku L yèn kanggo saben wilangan ε > 0 apa waé, ana wilangan δ > 0, samengkono rupané:0<|x−p|<δ⇒|f(x)−L|<ϵ{\displaystyle 0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon }

Kalkulus lumrahé dikembangaké kanthi manipulasi sapérangan kuantitas kang cilik banget. Objèk iki, kang bisa dilakokaké minangka angka, iku cilik banget. Sawijining wilangandx kang ciliké ora kakira étungané bisa luwih gedhé tinimbang 0, nanging luwih cilik tinimbang wilangan apa waé ing dhèrèt 1, ½, ⅓,... lan wilangan réal positif apa waé. Saben pangepingan karo cilik ora kakira étungané (infinitesimal) tetepa cilik ora kakira étungané, mawa tembung liya cilik ora kakira étungané ora nyukupiproperti Archimedes. Saka pandelengan iki, kalkulus iku sakumpulan tèhnik kanggo manipulasi cilik ora kakira étungané.

Nalika abad angka 19, konsèp cilik ora kakira étungané iki ditinggalaké amarga ora cukup tliti, suwaliké konsèp iki digantèkaké déning konsèplimit. Limit njelasaké pangaji siji fungsi ing pangaji input tinentu kanthi asil saka pangaji input paling cerak. Saka pandelengan iki, kalkulus iku sakumpulan tèhnik manipulasi limit-limit tinentu. Sacara tliti, dhéfinisi limit siji fungsi yaiku:

Diwènèhaké fungsif(x) kang kadhéfinisikaké ing interval ing saubengé p, kajaba mungkin ing p iku dhéwé. Awaké dhéwé nelakaké yènlimitf(x) nalika x nyeraki p iku L, lan nulisaké:

limx→pf(x)=L{\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=L}

yèn, kanggo saben wilangan ε > 0, ana wilangan δ > 0 kang silih korèspondhèn karo dhèwèké samengkono rupané kanggo saben x:

0<|x−p|<δ⇒|f(x)−L|<ϵ{\displaystyle 0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon \,}

Turunan

[besut |besut sumber]
Artikel baku:Turunan
Grafik fungsi turunan.

Turunan saka siji fungsi makili owah-owahan kang cilik banget saka fungsi mau marang variabelé. Prosès nemu turunan saka siji fungsi diarani pandiferensialan utawa uga diferensiasi.

Sacara matématis, turunan fungsi ƒ(x) marang variabel x iku ƒ′ kang pangajiné ing titik x yaiku:

f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over {h}}} ,

kanthi sarat limit mau èksis. Yèn ƒ′ èksis ing titik x tinentu, awaké dhéwé bisa nélakaké yèn ƒ kadiferensialaké (duwé turunan) ing x, lanyèn ƒ′ èksis ing saben titik ing domain ƒ, awaké dhéwé sebut ƒ kadiferensialaké.

Yènz =x +h,h =x-z, lanh nyeraki 0 yèn lan mung yènz nyerakix, mula dhéfinisi turunan ing ndhuwur bisa uga ditulis minangka:

f′(x)=limz→xf(z)−f(x)z−x{\displaystyle f'(x)=\lim _{z\to x}{f(z)-f(x) \over {z-x}}}
Barkas:Tangent derivative calculusdia.jpeg
Garis singgung ing (x,f(x)). Turunanf'(x) siji kurva ing siji titik yaiku kamiringan saka garis singgung kang nyinggung kurva ing titik mau.

Gatèkna manawa èksprèsif(x+h)−f(x)h{\displaystyle {f(x+h)-f(x) \over {h}}} ing dhéfinisi turunan ing ndhuwur wujud gradièn saka garis sekan kang ngliwati titik (x,ƒ(x)) lan (x+h,ƒ(x)) ing kurva ƒ(x). Manawa awaké dhéwé njupuk limith nyeraki 0, mula awaké dhéwé bakal éntuk kamiringan saka garis singgung kang nyinggung kurva ƒ(x) ing titik x. Iki ateges uga garis singgung siji kurva wujud limit saka garis sekan, semono uga turunan saka siji fungsi ƒ(x) wujud gradièn saka fungsi mau.

Minangka conto, kanggo nemu gradièn saka fungsif(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}} ing titik (3,9):

f′(3)=limh→0(3+h)2−9h=limh→09+6h+h2−9h=limh→06h+h2h=limh→0(6+h)=6{\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}}

Èlmu kang nyinaoni dhéfinisi, properti, lan aplikasi sakaturunan utawakamiringan saka siji grafik diaranikalkulus diferensial

Garis singgung minangka limit saka garis sekan. Turunan saka kurvaf(x) ing siji titik yaiku kamiringan saka garis singgung kang nyinggung kurva ing titik mau. Kamiringan iki ditemtokaké kanthi migunakaké pangaji limit saka kamiringan garis sekan.

Notasi pandhiferènsialan

[besut |besut sumber]

Ana manéka jinis notasi matématika kang bisa kanggo nélakaké turunan, ngambahnotasi Leibniz, notasi Lagrange,notasi Newton, lan notasi Euler.

Notasi Leibniz ditepungaké déningGottfried Leibniz lan wujud salah siji notasi kang paling awal digunakaké. Iki asring digunakaké mligi nalika gegandhèngan antary = ƒ(x) dideleng minangka gegandhèngan fungsional antarané variabel bébas karo variabel kaiket. Turunan saka fungsi mau marang x ditulis minangka:

dydx,dfdx(x),{\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}}(x),}  utawa uga  ddxf(x).{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x).}

Notasi Lagrange ditepungaké déningJoseph Louis Lagrange lan wujud notasi kang paling asring digunakaké. Sajeroning notasi iki, turunan fungsi ƒ(x) ditulis minangka ƒ′(x) utawa uga mung ƒ′.

Notasi Newton, uga diarani notasi titik, mapanaké titik ing sandhuwuré fungsi kanggo nengeri turunan. Yèny =ƒ(t), mulay˙{\displaystyle {\dot {y}}} makili turunany marangt. Notasi iki mèh kanthi èksklusif kanggo nglambangaké turunan marang wektu. Notasi iki asring katon sajeroning babaganfisika lan babagan matématika kang gegandhèngan karo fisika.

NotasiEuler migunakaké operator diferensialD kang ditrapaké ing fungsiƒ kanggo mènèhaké turunan pisananéDf. Yèny =ƒ(x) iku variabel kaiket, mula asringx dilekataké marangD kanggo nglarifikasikaké kabébasan variabelx. Notasi Euler banjur ditulis minangka:

Dxy{\displaystyle D_{x}y\,}   atau  Dxf(x){\displaystyle D_{x}f(x)\,}.

Notasi Euler iki asring digunakaké sajeroning ngrampungaképepadhan diferensial linear.

Notasi LeibnizNotasi LagrangeNotasi NewtonNotasi Euler
Turunan ƒ(x) marangxddxf(x){\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)}ƒ′(x)y˙{\displaystyle {\dot {y}}}
kanthiy =ƒ(x)		Dxf(x){\displaystyle D_{x}f(x)\,}

Integral

[besut |besut sumber]
Artikel baku:Integral
Integral bisa dianggep pétungan wiyar laladan ing ngisor kurvaƒ(x), antara loro titika lanb.

Integral wujud siji objèk matématika kang bisa diinterpretasikaké minangka wiyar wewengkon utawa uga generalisasi siji wewengkon. Prosès nemu integral siji fungsi diarani pangintegralan utawa uga integrasi. Integral dipérang dadi loro, yaiku: integral tinentu lan integral ora tentu. Notasi matématika kang kanggo nélakaké integral yaiku∫{\displaystyle \int \,}, kaya ta huruf S kang manjang (S singkatan saka"Sum" kang tegesé panggunggungan).

Integral tinentu

[besut |besut sumber]

Diwènèhaké siji fungsiƒ mawa variabel réalx lan interval antara [a, b] ing garis réal,integral tinentu:

∫abf(x)dx,{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,,}

kanthi informal didhèfinisikaké minangka wiyar wewengkon ing babagan xy kang diwatesi déning kurva grafikƒ, sumbu-x, lan garis vèrtikalx =a lanx =b.

Ing notasi integral ing ndhuwur:a ikuwates ngisor lanb ikuwates ndhuwur kang nemtokaké domain pangintegralan,ƒ yaiku integran kang bakal diévaluasi marangx ing interval [a,b], landx wujud variabel pangintegralan.

Bebarengan karo saya akèhé subinterval lan saya ciuté amba subinterval kang dijupuk, wiyar sakabèhing batangan bakal saya nyeraki wiyar laladan ing ngisor kurva.

Ana manéka jinis pandhefinisian formal integral tinentu, nanging kang paling umum digunakaké yaiku dhefinisiintegral Riemann. Integral Rieman didhèfinisikaké minangka limit sakapanggunggungan Riemann. Upamané awaké dhéwé arep golèk wiyar laladan kang diwatesi déning fungsiƒ ing interval katutup [a,b]. Nalika nggolèki wiyar laladan mau, interval [a,b] bisa dipérang dadi akèh subinterval kang ambané ora kudu padha, lan awaké dhéwé milih sapérangann-1 titik {x1,x2,x3,...,xn-1} antara a karo b saéngga njangkepi gegandhèngan:

a=x0≤x1≤x2≤⋯≤xn−1≤xn=b.{\displaystyle a=x_{0}\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq x_{n}=b.\,\!}

HimpunanP={x0,x1,x2,…,xn−1,xn}{\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},x_{n}\}\,} iku ingaran minangkapartisi [a,b], kang mbagi [a,b] dadi sapérangann subinterval[x0,x1],[x1,x2],…,[xn−1,xn]{\displaystyle [x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\ldots ,[x_{n-1},x_{n}]}. Amba subinterval pisanan [x0,x1] dinyatakaké minangka Δx1, mangkono uga amba subinterval angkai dinyatakaké minangka Δxi =xi-xi-1. Ing saben subinterval iki dipilih siji titik sembarang lan ing subinterval angkai mau dipilih titik sembarang ti. Mula ing saben subinterval bakal ana batangan pasagi dawa kang ambané Δx lan dhuwuré wiwit saka sumbux tekan titik (ti,ƒ(ti)) ing kurva. Yèn awaké dhéwé ngétung wiyar saben batangan mau kanthi ngepingakéƒ(ti)· Δxi lan nggunggungaké sakabèhing wiyar laladan batangan mau, awaké dhéwé bakal éntuk:

Sp=∑i=1nf(ti)Δxi{\displaystyle S_{p}=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}}

PanggunggunganSp diaranipanggunggungan Riemann kanggoƒ ing interval [a,b]. Gatèkna yèn saya cilik subinterval partisi kang dijupuk, asil panggunggungan Riemann iki bakal saya nyeraki pangaji wiyar laladan kang dipénginaké. Yèn awaké dhéwé njupuk limit saka norma partisi‖P‖{\displaystyle \lVert P\rVert } nyeraki nol, mula awaké dhéwé bakal éntuk wiyar laladan mau.

Sacara tliti, dhéfinisi integral tinentu minangka limit saka panggunggungan Riemann yaiku:

Diwènèhakéƒ(x) minangka fungsi kang kadhéfinisikaké ing interval katutup [a,b]. Ditélakaké yèn wilanganI ikuintegral tinentuƒ ing sadawané [a,b] lan yènI iku limit saka panggunggungan Riemann∑i=1nf(ti)Δxi{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}} ing kaanan: Kanggo saben wilangan ε > 0 apa waé ana siji wilangan δ > 0 kang silih korèspondhènsi karo dhèwèké kanggo saben partisiP={x0,x1,…,xn}{\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\}} ing sadawané [a,b] kanthi‖P‖<δ{\displaystyle \lVert P\rVert <\delta } lan pilihanti apa waé ing [xk-1,ti], awaké dhéwé éntuk

|∑i=1nf(ti)Δxi−I|<ϵ.{\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}-I\right|<\epsilon .}

Sacara matématis bisa ditulisaké:

lim‖P‖→0∑i=1nf(ti)Δxi=I=∫abf(x)dx{\displaystyle \lim _{\lVert P\rVert \to 0}\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}=I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}

Yèn saben partisi duwé sapérangann subinterval kang padha, mula amba Δx = (b-a)/n, saéngga pepadhan ing ndhuwur bisa uga ditulis minangka:

limn→∞∑i=1nf(ti)Δx=I=∫abf(x)dx{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x=I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}

Limit iki mesthi dijupuk nalika norma partisi nyeraki nol lan gunggung subinterval kang ana nyraki ora kaétung akèhé.

Conto

Minangka conto, yèn awaké dhéwé arep ngétung integral tinentu∫0bxdx{\displaystyle \int _{0}^{b}x\,dx}, yaiku golèk wiyar laladanA ing sangisoré kurvay=x ing interval [0,b],b>0, mula pangétungan integral tinentu∫0bxdx{\displaystyle \int _{0}^{b}x\,dx} minangka limit saka panggunggungan Riemanné yaikulim‖P‖→0∑i=1nf(ti)Δxi{\displaystyle \lim _{\lVert P\rVert \to 0}\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}}

Pamilihan partisi utawa titikti kanthi sembarang bakal ngasilaké pangaji kang padha sadawané norma partisi mau nyeraki nol. Yèn awaké dhéwé milih partisiP mbagi-bagi interval [0,b] dadi n subinterval kang ambané padha Δx = (b-0)/n =b/n lan titikt'i kang dipilih yaiku titik akir kiwa saben subinterval, partisi kang diéntuki awaké dhéwé yaiku:

P={0,bn,2bn,3bn,…,nbn}{\displaystyle P=\{0,{\frac {b}{n}},{\frac {2b}{n}},{\frac {3b}{n}},\ldots ,{\frac {nb}{n}}\}} lanti=ibn{\displaystyle t_{i}={\frac {ib}{n}}}, saéngga:
∫0bf(x)dx=limn→∞∑i=1nf(ti)Δx=limn→∞∑i=1nibn.bn=limn→∞∑i=1nib2n2=limn→∞b2n2∑i=1ni=limn→∞b2n2.n(n+1)2=limn→∞b22(1+1n){\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{b}f(x)\,dx&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x\\&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {ib}{n}}.{\frac {b}{n}}\\&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {ib^{2}}{n^{2}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {b^{2}}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}i\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {b^{2}}{n^{2}}}.{\frac {n(n+1)}{2}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {b^{2}}{2}}(1+{\frac {1}{n}})\\\end{aligned}}}

Bebarengan karon nyeraki ora kaétung lan norma partisi‖P‖{\displaystyle \lVert P\rVert } nyeraki 0, mula diéntuki:

∫0bf(x)dx=A=b22{\displaystyle \int _{0}^{b}f(x)\,dx=A={\frac {b^{2}}{2}}}

Sajeroning praktèké, panrapan dhéfinisi integral tinentu nalika nggolèki pangaji integral tinentu mau arang banget digunakaké amarga ora praktis.Téoréma dhasar kalkulus (delengen pérangan ngisor) mènèhaké cara kang luwih praktis sajeroning panggolèkan pangaji integral tinentu.

Integral ora tentu

[besut |besut sumber]

Nalika integral tinentu iku wilangan kang gedhéné ditemtokaké kanthi njupuk limit gunggungan Riemann, kang diasosiasikaké kanthi partisi interval katutup kang norma partisiné nyeraki nol,téoréma dhasar kalkulus (delengen pérangan ngisor) nélakaké yèn integral tinentu siji fungsi kontinu bisa diétung kanthi gampang yèn awaké dhéwé bisa golèk antiturunan/antiderivatif fungsi mau.

Yèn

F′(x)=ddxF(x)=f(x).{\displaystyle F'\!(x)={\frac {d}{dx}}F(x)=f(x).}

Sakabèhing hmpunanantiturunan/antiderivatif siji fungsiƒ ikuintegral ora tentu utawa ugaprimitif sakaƒ marang x lan ditulisaké kanthi matématis minangka:

∫f(x)dx=F(x)+C{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}

ÈksprèsiF(x) + C ikuantiderivatif umumƒ lanC iku konstanta sembarang.

Upamané ana siji fungsif(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}, mula integral ora tentu utawa uga antiturunan saka fungsi mau yaiku:

∫x2dx=13x3+C{\displaystyle \int x^{2}dx={\frac {1}{3}}x^{3}+C}

Gateèkna yèn integral tinentu béda karo integral ora tentu. Integral tinentu sajeroning wangun∫abf(x)dx{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx} iku wilangan, nalika integral ora tentu:∫f(x)dx{\displaystyle \int f(x)dx} iku fungsi kang duwé tambahan konstanta sembarangC.

Téoréma dhasar

[besut |besut sumber]
Artikel baku:Téoréma dhasar kalkulus

Téoréma dhasar kalkulus nélakaké yèn turunan lan integral iku rong operasi kang silih adu arep. Luwih tepaté, téoréma iki nggandhèngaké pangaji saka anti derivatif karo integral tinentu. Amarga luwih gampang ngétung siji anti derivatif tinimbang nerapaké dhéfinisi integral tinentu, téoréma dhasar kalkulus mènèhi cara kang praktis sajeroning ngétung integral tinentu.

Téoréma dhasar kalkulus nélakaké:

Yèn siji fungsif ikukontinu ing interval [a,b] lan yènF iku fungsi kang ing ngendi turunané ikuf ing interval (a,b), mula

∫abf(x)dx=F(b)−F(a).{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}

Luwih lanjut, kanggo sabenx ing interval (a,b),

F′(x)=ddx∫axf(t)dt=f(x).{\displaystyle F'(x)={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}

Minangka contoné yèn awaké dhéwé arep ngétung pangaji integral∫abxdx{\displaystyle \int _{a}^{b}x\,dx}, tinimbang migunakaké dhéfinisi integral tinentu minangka limit saka gunggung Riemann (delengen pérangan ndhuwur), awaké dhéwé bisa migunakaké téoréma dhasar kalkulus kanggo ngétung pangaji integral mau.

Anti derivatif saka fungsif(x)=x{\displaystyle f(x)=x\,} ikuF(x)=12x2+C{\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}x^{2}+C}. Mula saka iku, selaras karo téoréma dhasar kalkulus, pangaji saka integral tinentu∫abxdx{\displaystyle \int _{a}^{b}x\,dx} yaiku:

∫abxdx=F(b)−F(a)=12b2−12a2{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}x\,dx&=F(b)-F(a)\\&={\frac {1}{2}}b^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}\\\end{aligned}}}

Yèn awaké dhéwé arep golèk wiyar laladan A sangisoré kurva y=x ing interval [0,b], b>0, mula awaké dhéwé bakal éntuk:

∫0bxdx=b22{\displaystyle \int _{0}^{b}x\,dx={\frac {b^{2}}{2}}}

Gatekna yèn asil kang diéntuk awaké dhéwé kanthi migunakaké téoréma dhasar kalkulus iki padha karo asil kang diéntuk kanthi nerapaké dhefinisi integral tinentu (delengen pérangan dhuwur). Amarga luwih praktis, téoréma dhasar kalkulus asring kanggo golèk pangaji integral tinentu.

Aplikasi

[besut |besut sumber]
Pola spiral logaritma cangkok Nautilus wujud conto klasik kanggo nggambaraké perkembangan lan owah-owahan kang magepokan karo kalkulus.

Kalkulus digunakaké ing saben cabang sains fisik, sains komputer,statistik,tèhnik,ékonomi,bisnis,kadhokteran,kapendhudhukan, lan ing babagan-babagan liyané. Saben konsèp ingmékanika klasik silih magepokan liwat kalkulus.Massa saka siji bandha karomassa jinis kang ora dikawruhi,momen inersia saka siji objèk, lan total ènèrgi saka siji objèk bisa ditemtokaké kanthi migunakaké kalkulus.

Sajeroning subdhisiplinlistrik lanmagnètisme, kalkulus bisa kanggo nggolèki totalfluks saka sijimédhan èlèktromagnètik. Conto historis liyané yaiku panggunaan kalkulus ingukum obah Newton, ditélakaké minangkalaju owah-owahan kang ngrujuk menyang turunan:Laju owah-owahanmomèntum saka siji bandha yaiku padha karo résultan gaya kang makarya ing bandha mau kanthi arah kang padha.

Malah rumus umum saka ukum kaloro Newton: Gaya = Massa × Percepatan, migunakaké parumusan kalkulus difèrènsial amarga percepatan bisa ditélakaké minangka turunan saka karikatan.Téyori èlèktromagnètik Maxwell lan téyori rélativitasEinstein uga dirumusaké migunakaké kalkulus difèrènsial.

Réferènsi

[besut |besut sumber]

Sumber

[besut |besut sumber]
  1. ↑Helmer Aslaksen.Why Calculus?National University of Singapore.
  2. ↑Archimedes,Method, inThe Works of ArchimedesISBN 978-0-521-66160-7
  3. ↑Aryabhata the Elder
  4. ↑Ian G. Pearce.Bhaskaracharya II.Archived 2016-09-01 at theWayback Machine.
  5. ↑Victor J. Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India",Mathematics Magazine68 (3), pp. 163-174.
  6. ↑J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat",Journal of the American Oriental Society110 (2), pp. 304-309.
  7. ↑"Madhava".Biography of Madhava. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Diarsip sakasing asli ing 2006-05-14. Dibukak ing2006-09-13.
  8. ↑"An overview of Indian mathematics".Indian Maths. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Dibukak ing2006-07-07.
  9. ↑"Science and technology in free India"(PDF).Government of Kerala — Kerala Call, September 2004. Prof.C.G.Ramachandran Nair. Diarsip sakasing asli(PDF) ing 2006-08-21. Dibukak ing2006-07-09.
  10. ↑Charles Whish (1835).Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland.
  11. ↑UNESCO-World Data on Educationisapi.dll?clientID=137079235&infobase=iwde.nfo&softpage=PL frame[pranala mati permanèn]

Pratélan pustaka

[besut |besut sumber]
  • Donald A. McQuarrie (2003).Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books.ISBN 978-1-891389-24-5
  • James Stewart (2002).Calculus: Early Transcendentals, 5th ed., Brooks Cole.ISBN 978-0-534-39321-2

Sumber liya

[besut |besut sumber]

Wacan terusan

[besut |besut sumber]
  • Robert A. Adams. (1999)ISBN 978-0-201-39607-2Calculus: A complete course.
  • Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. (1986)Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey, Mathematical Association of America No. 7,
  • John L. Bell:A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge University Press, 1998.ISBN 978-0-521-62401-5.
  • Florian Cajori, "The History of Notations of the Calculus."Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 25, No. 1 (Sep., 1923), pp. 1-46.
  • Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: "Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus", Princeton Univ. Press, 2004
  • Cliff Pickover. (2003)ISBN 978-0-471-26987-8Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind.
  • Michael Spivak. (Sept 1994)ISBN 978-0-914098-89-8 Calculus. Publish or Perish publishing.
  • Silvanus P. Thompson dan Martin Gardner. (1998)ISBN 978-0-312-18548-0Calculus Made Easy.
  • Mathematical Association of America. (1988)Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter, The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.
  • Thomas/Finney. (1996)ISBN 978-0-201-53174-9Calculus and Analytic geometry 9th, Addison Wesley.
  • Weisstein, Eric W."Second Fundamental Theorem of Calculus." dari MathWorld—A Wolfram Web Resource.

Pustaka daring

[besut |besut sumber]

Kaca wèb

[besut |besut sumber]


Artikel iki minangkaartikel rintisan. Kowé bisa ngéwangi Wikipédiangembangaké.
Dijupuk saka "https://jv.wikipedia.org/w/index.php?title=Kalkulus&oldid=1708361"
Kategori:
Kategori ndhelik:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp