数学 における等差数列 （ とうさすうれつ ） 算術数列 （ さんじゅつすうれつ 、（ 英 :arithmetic progression, arithmetic sequence ）とは、隣接する各項の差が等しい数列 である。隣接する項の差を公差 （ こうさ 、（ 英 :common difference ）という。
例えば、5, 7, 9, … 5 , 公差2 の等差数列である。同様に、1, 7, 13, … 6 の等差数列である。
等差数列の初項をa 0 d とすれば、第n 項an は
a n = a 0 + n d {\displaystyle a_{n}=a_{0}+nd} であり、一般に
a n = a m + ( n − m ) d {\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d} と書ける。
等差数列の和は算術級数 (arithmetic series ) という。等差数列の無限和（無限算術級数 ）は発散級数 である。
2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40 14 + 11 + 8 + 5 + 2 = 40 16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80
和2 + 5 + 8 + 11 + 14 2 + 14 = 16, 16 × 5 = 80
有限の[ 注釈 1] 算術級数 と言う。公差d の等差数列の第n 項までa 0 ,a 1 , …,an
S n = ∑ k = 0 n a k = a 0 + a 1 + ⋯ + a n = ( n + 1 ) a 0 + a n 2 = ( n + 1 ) 2 a 0 + n d 2 {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\\&=a_{0}+a_{1}+\dotsb +a_{n}\\&=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}\\&=(n+1){\frac {2a_{0}+nd}{2}}\end{aligned}}} と表される。この種の式は、フィボナッチ の『算盤の書 』（"Liber Abaci ";1202年 , ch. II.12）に登場する[ 注釈 2]
GIF動画: 自然数の和1 + 2 + … +n 算術級数の公式は、算術級数Sn の各項を初項a 0 an で書き換えたもの和から2Sn を求めることで得られる：
S n = a 0 + ( a 0 + d ) + ( a 0 + 2 d ) + ⋯ + ( a 0 + n d ) + S n = a n + ( a n − d ) + ( a n − 2 d ) + ⋯ + ( a n − n d ) 2 S n = ( a 0 + a n ) + ( a 0 + d + a n − d ) + ( a 0 + 2 d + a n − 2 d ) + ⋯ + ( a 0 + n d + a n − n d ) {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\color {red}a_{0}\color {green}+(a_{0}+d)\color {blue}+(a_{0}+2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}+nd)\\[5pt]{}+S_{n}&=\color {red}a_{n}\color {green}+(a_{n}-d)\color {blue}+(a_{n}-2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{n}-nd)\\\hline 2S_{n}&=\color {red}(a_{0}+a_{n})\color {green}+(a_{0}{\bcancel {{}+d}}+a_{n}{\bcancel {{}-d}})\color {blue}+(a_{0}{\bcancel {{}+2d}}+a_{n}{\bcancel {{}-2d}})\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}{\bcancel {{}+nd}}+a_{n}{\bcancel {{}-nd}})\end{aligned}}} 右辺では公差d を含む項が消去されて初項と末項の和だけが残る。結局2Sn = (n + 1)(a 0 +an ) 2 で割れば
S n = ( n + 1 ) a 0 + a n 2 {\displaystyle S_{n}=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}} を得る。そして算術級数の平均値Sn / n + 1a 0 +an / 2 数学 ・天文学 （英語版 ） 数学者 であり天文学者 であるアーリヤバタ は、Aryabhatiya （英語版 ）
初項a 0 d の等差数列に対して、初項から 第n 項までの総乗
P n := a 0 ⋅ a 1 ⋅ ⋯ ⋅ a n = a 0 ⋅ ( a 0 + d ) ⋅ ⋯ ⋅ ( a 0 + n d ) = d a 0 d ⋅ d ( a 0 d + 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ d ( a 0 d + n ) = d n + 1 ( a 0 d ) n + 1 ¯ {\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&:=a_{0}\cdot a_{1}\cdot \dotsb \cdot a_{n}\\&=a_{0}\cdot (a_{0}+d)\cdot \dotsb \cdot (a_{0}+nd)\\&=d{\frac {a_{0}}{d}}\cdot d\left({\frac {a_{0}}{d}}+1\right)\cdot \dotsb \cdot d\left({\frac {a_{0}}{d}}+n\right)\\&=d^{n+1}{\left({\frac {a_{0}}{d}}\right)}^{\overline {n+1}}\end{aligned}}} x n ¯ {\displaystyle x^{\overline {n}}} 上昇階乗冪 ）はガンマ関数 Γ を用いてP n = d n + 1 Γ ( a 0 d + n + 1 ) Γ ( a 0 d ) {\displaystyle P_{n}=d^{n+1}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {a_{0}}{d}}+n+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {a_{0}}{d}}\right)}}} という閉じた式 （英語版 ） a 0 /d 0 となる場合は、式は意味を持たない）。Γ(n + 1) =n ! 1 からn までの積1 × 2 × ⋯ ×n =n ! m からn までの積m × (m + 1) × ⋯ × (n − 1) ×n =n !/ (m − 1)!
任意の両側無限等差数列が2つ与えられたとき、それらに共通に現れる項を（項の前後関係は変えずに）並べて与えられる数列（数列の「交わり」）は、空数列であるか別の新たな等差数列であるかのどちらかである（中国の剰余定理 から示せる）。両側無限等差数列からなる族 に対し、どの2つの数列の交わりも空でないならば、その族の全ての数列に共通する項が存在する。すなわち、そのような無限等差数列の族はヘリー族 （英語版 ） [ 1]
注釈 出典 ^ Duchet, Pierre (1995), “Hypergraphs”, in Graham, R. L.; Grötschel, M.; Lovász, L., Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2 , Amsterdam: Elsevier, pp. 381-432, MR 1373663 pp. 393–394 .Fibonacci, Leonardo ; Sigler, Laurence E.訳 (2002). Fibonacci's Liber Abaci . Springer-Verlag. pp. 259-260. ISBN 0-387-95419-8 
