「テンソルの添字記法（英語版）」とは異なります。

抽象添字記法(ちゅうしょうそえじきほう、abstract index notation)とは、基底の成分ではなくタイプを表す添字を使った、テンソルやスピノルの数学的な記法である。添字は単なるプレースホルダーであり、特定の基底を表すものでも、数値を表すものでもない。そのため、この記法を、リッチ計算法（英語版）(Ricci calculus)と混用してはならない。この記法は、表現対象に含まれる明らかな共変性を保ちながら、現代的な抽象的テンソル記法におけるテンソル縮約や共変微分の難しさを補うために、アインシュタインの縮約記法の形式的側面を扱う方法として、ロジャー・ペンローズにより導入された。

V をベクトル空間、V^∗ をその双対とする。ランク 2 の共変テンソル${\displaystyle h\in V^{\ast }\otimes V^{\ast }}$ を考えると、h はV 上の双線型形式と同一視することができる。言い換えると、これはV上の2つの引数を持つ函数で、引数は「スロット」として表現することができる。

${\displaystyle h=h(-,-).}$

抽象記法は、単にラテン文字の添字ででスロットをラベリングするものであり、添字はスロットのラベル以外の意味を持たない（つまり、数値的ではない）。

${\displaystyle h=h_{ab}.}$

2つのテンソルの縮約は、添字ラベルの繰り返しで表され、片方のラベルは反変（V 上のテンソルに対応する上付き添字）であり、もう片方のラベルは共変（V^* 上のテンソルに対応する下付き添字）である。そのため、たとえば、

${\displaystyle {t_{ab}}^b}$

は、テンソルt =t_ab^c の最後の 2つのスロット上のトレースである。この添字を繰り返すテンソル縮約の表現方法は、アインシュタインの縮約記法と形式的には同じである。しかし、添字は数値ではないので、総和を意味しない。むしろ、タイプV とタイプV^* の各テンソル成分間の抽象的な基底独立トレース作用素（または双対）に対応している。

一般の同次テンソルは、V とV^∗ のテンソル積の元であり、以下のようなものである。

${\displaystyle V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V\otimes V^{\ast }}$

このテンソル積の各々の要素に対してラテン文字を使い、上付き添字でV に共変なもの、下付き添字でV に反変なものを示すラベル付けを行う。このように積を、

${\displaystyle V^a{V}_b{V}_c{V}^d{V}_e}$

と書く、あるいは、単純に、

${\displaystyle {{{V^a}_{bc}}^d}_e.}$

と書く。

最後の 2つの記法は最初の記法と同じ意味である。このタイプのテンソルは同じような種類の記法で書くことができる。たとえば、次のような記法もある。

${\displaystyle {{{h^a}_{bc}}^d}_e\in {{{V^a}_{bc}}^d}_e=V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V\otimes V^{\ast }.}$

一般に、共変ひとつと反変ひとつの要素が空間のテンソル積にあるときは、常に、付帯する縮約（あるいは、トレース）写像が存在する。たとえば、

${\displaystyle {\mathrm{T}\mathrm{r}}_{12}:V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V\otimes V^{\ast }\to V^{\ast }\otimes V\otimes V^{\ast }}$

は、テンソル積の先頭の 2つの空間上のトレースである。

${\displaystyle {\mathrm{T}\mathrm{r}}_{15}:V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V\otimes V^{\ast }\to V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V}$

は先頭と最後の空間のトレースである。

これらのテンソル作用素は、テンソルではインデックスの繰り返しによりテンソルであることを意味している。このように第一のトレース写像は、

${\displaystyle {\mathrm{T}\mathrm{r}}_{12}:{{{h^a}_{bc}}^d}_e\mapsto {{{h^a}_{ac}}^d}_e}$

であり、第二のトレース写像は、

${\displaystyle {\mathrm{T}\mathrm{r}}_{15}:{{{h^a}_{bc}}^d}_e\mapsto {{{h^a}_{bc}}^d}_a}$

である。

1つのベクトル空間上のテンソル積に対して、対応する組み紐写像（英語版）(braiding maps)が存在する。組み紐写像の例として、

${\displaystyle {\tau }_{(12)}:V\otimes V\to V\otimes V}$

は、2つのテンソル要素を交換する（したがって、その単独のテンソル上の作用は、${\displaystyle {\tau }_{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v}$により与えられる）。一般には、組み紐写像は、対称群の元と一対一に対応し、テンソル要素の置換として作用する。ここで、${\displaystyle {\tau }_{\sigma }}$ により置換${\displaystyle \sigma }$ に付随した組み紐写像を表す（共通部分を持たない巡回置換(cyclic permutation)の積としての表現）。

組み紐写像は、微分幾何学で、たとえば、ビアンキ恒等式を表すために重要である。ここで、${\displaystyle R}$ でリーマンテンソルを表し、${\displaystyle V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V}$ におけるテンソルと考えると、ビアンキの第一恒等式は、

${\displaystyle R+{\tau }_{(123)}R+{\tau }_{(132)}R=0}$

となる。

抽象的添字では次のように組み紐写像を扱う。特殊なテンソル積では、抽象的添字の順序付けが固定されている（通常は、これは辞書式順序付けである）。すると、添字のラベルの置換によって、組み紐が表現される。このようにすると、たとえば、リーマンテンソルは、

${\displaystyle R={R_{abc}}^d\in {V_{abc}}^d=V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V,}$

となり、ビアンキ恒等式は、

${\displaystyle {R_{abc}}^d+{R_{cab}}^d+{R_{bca}}^d=0}$

となる。

• ペンローズのグラフ記法
• アインシュタインの縮約記法
• 添字記法
• テンソル
• 反対称テンソル
• 添字の上げ下げ（英語版）(Raising and lowering indices)
• ベクトルの共変性と反変性

• Roger Penrose,The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2004, has a chapter explaining it.
• Roger Penrose andWolfgang Rindler,Spinors and space-time, volume I,two-spinor calculus and relativistic fields.

表 話 編 歴 テンソル
テンソル理論の用語集（英語版）
範囲(Scope)	数学 座標 多重線型代数 ユークリッド幾何学 テンソル代数 微分幾何学 外微分 テンソル解析 物理学 • 工学 連続体力学 電磁気学 移動現象論 一般相対性理論 コンピュータビジョン
表記法(Notation)	添字表記法 多重指数 アインシュタインの縮約記法 リッチ計算法（英語版） ペンローズのグラフ記法 フォークト表記 抽象添字記法 テトラド表記（英語版） ファン・デル・ヴェルデン表示
テンソルの定義	テンソル空間 テンソル場 テンソル密度（英語版） 曲線座標系におけるテンソル（英語版） 混合テンソル 反対称テンソル 対称テンソル テンソル作用素（英語版） テンソル束（英語版）
算法	テンソル積 楔積 テンソルの縮約 行列（2階テンソル）の転置 添字の上げ下げ（英語版） ホッジ双対 共変微分 外微分 共変外微分（英語版） リー微分 単位テンソル 零テンソル
関連事項	次元 基底 ベクトル、ベクトル空間 多重ベクトル（英語版） ベクトルの共変性と反変性 線型写像 行列 スピノール カルタン形式 微分形式 接続形式 測地線 多様体 ファイバー束 曲率形式 レヴィ・チヴィタ接続 アフィン接続
有名なテンソル	数学 クロネッカーのデルタ エディントンのイプシロン 計量テンソル クリストッフェル記号 リッチテンソル リーマン曲率テンソル ワイルテンソル（英語版） 捩率テンソル 物理学 慣性モーメント 角運動量 応力テンソル エネルギー・運動量テンソル 電磁場テンソル グルーオン場の強度テンソル アインシュタインテンソル 計量テンソル (一般相対論)
数学者	レオンハルト・オイラー カール・フリードリヒ・ガウス オーギュスタン＝ルイ・コーシー ヘルマン・グラスマン グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ ヤン・アルノルドゥス・スカウテン（英語版） ベルンハルト・リーマン エルヴィン・クリストッフェル ヴォルデマール・フォークト エリ・カルタン ヘルマン・ワイル アルベルト・アインシュタイン
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