慣性モーメント （かんせいモーメント、英 :moment of inertia [ 1] 慣性能率 （かんせいのうりつ）、イナーシャ [ 2] I 角運動量 L 角速度 ω
軸のまわりを回転する物体の慣性 の大きさを表す量で、回転を変えようとするときに、それに抗（あらが）う性質の大小を表わす[ 3] 傘 を持ち手の周りで回転させたり止めたりするときの手ごたえは、傘を開いているときと畳んでいる ときとで異なる。開いている時のほうが回転させたり止めたりするのに大きな力が必要になる。この時の回転させたり止めたりする時の手ごたえの大小、回転運動に対する抵抗 の大小を表わす量が慣性モーメントである。慣性モーメントが大きいものほど回転の状態[ 4] [ 5] 積 で表現される[ 6]
剛体 が特定の軸を中心に回転する際の角速度 の変化に対する慣性 （変化のしにくさ、抵抗）。トルク を角加速度 で割った値、角運動量 を角速度 で割った値。慣性モーメントは力 と加速度 （あるいは運動量 と速度 ）の関係において、質量 と同じ役割を果たしており慣性モーメントが大きいほど増減させにくい関係にある。古い文献では「回転質量」[ 7] レオンハルト・オイラー 『海軍科学』である[ 8]
慣性モーメントのSI単位 はkg·m2
質点 系がある回転軸まわりに一様な角速度 ベクトルω 回転 するとき、質点系の持つ角運動量 ベクトルL
ここでmi はi 番目の質点の質量、r i ri はその大きさである。この式からわかるように、L ω ω 線形変換 したものになっている。つまり、その線形変換をI
と表せる。この変換I テンソル であり、L I
L j = ∑ k = 1 3 I j k ω k I j k = ∑ i m i ( r i 2 δ j k − r i , j r i , k ) {\displaystyle {\begin{aligned}L_{j}&=\sum _{k=1}^{3}I_{jk}\omega _{k}\\I_{jk}&=\sum _{i}m_{i}\left(r_{i}^{2}\delta _{jk}-r_{i,j}r_{i,k}\right)\end{aligned}}} という形に表される[ 10] δjk クロネッカーのデルタ 、ri, j r i j I
となる。この定義からI 対称テンソル である。この2階のテンソルI 慣性モーメントテンソル 、または簡単に慣性テンソル [ 10] Ixx 、Iyy 、Izz を（それぞれx 、y 、z 軸に関する）慣性モーメント係数 （英 :moment of inertia coefficient Ixy 、Iyz 、Izx は慣性乗積 （英 :products of inertia [ 11]
なお、質量分布が連続的に広がっている場合には、その物体の慣性テンソル は密度ρ
となる[ 12]
物体をある回転軸まわりに回転 させたとき、ω 単位ベクトル n 角運動量 成分は次のように与えられる。
ここで、ω = |ω
ここに与えられたスカラー 量I = n ⋅ ( I n ) = ∑ i m i ( r i 2 − ( r i ⋅ n ) 2 ) {\displaystyle I={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})=\sum _{i}m_{i}(r_{i}^{2}-({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {n}})^{2})} [ 13]
慣性テンソル行列は実対称行列 なので、適当な直交座標系 {e 1 ,e 2 ,e 3 } を選ぶことで対角化 （すなわちIxy =Iyz =Izx = 0慣性主軸 、慣性モーメント{I 1 ,I 2 ,I 3 } を主慣性モーメント と呼ぶ[ 14]
( L 1 L 2 L 3 ) = ( I 1 0 0 0 I 2 0 0 0 I 3 ) ( ω 1 ω 2 ω 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\L_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}} と単純に表すことができる。
重さの無視できる長さL の棒の両端に、質量 m 、M の物体がくっついたものを考える。棒の適当な位置に回転の中心となる点を定め、そこから両端までの腕の長さをそれぞれa 、L -a I は、
I = m a 2 + M ( L − a ) 2 = ( m + M ) ( a − M m + M L ) 2 + m M m + M L 2 {\displaystyle I=ma^{2}+M(L-a)^{2}=(m+M)\left(a-{\frac {M}{m+M}}L\right)^{2}+{\frac {mM}{m+M}}L^{2}} と、計算される。この式から分かるように、慣性モーメントは、中心（回転軸）のとり方によってその値が変わる。中心として系の重心 をとったとき、慣性モーメントは最小となる。すなわちもっとも回しやすい。
半径a 、全質量M の、一様な密度 ρ =M /πa 2
となる。
これは中心から半径r 、幅dr <<r のリングの質量dM を考えると
より、このリングの慣性モーメントdI が
だから
より求めることができる。
円板外半径a 、くり抜き内半径b 、全質量M のリング状円板では、前出のdI を用いて
となる。
一般に、剛体の慣性モーメントは、剛体の質量に比例し、質量が軸から遠くに分布しているほど大きくなる。
また、回転軸が重心を通るとき慣性モーメントは最小値IG をとり、軸が重心から距離h だけ離れている場合、その軸の周りの慣性モーメントIh は
となる[ 15]
慣性テンソルI ω T
と表示できる[ 16]
回転半径 慣性モーメントI は物体の質量M に比例するから、I = M κ 2 {\displaystyle I=M\kappa ^{2}} と書くことができる。このκ は長さの次元 を持ち、回転半径と呼ばれる[ 15] はずみ車効果 慣性モーメントと同じ意味を持つ物理量として、直径D を用いて定義されるはずみ車効果GD 2 工学 での応用として、回転軸に慣性モーメントの大きい回転体を取り付けた装置をフライホイール （はずみ車）という。これは、回転速度の急激な変化を抑止したり、回転によるエネルギーを保存する目的で使用される。
^ momentは一般に「時」「瞬間」を表すが、語源はラテン語momentumであり、この語は「動き」「運動」を意味し、またラテン語movere「動かす」という動詞に起源する。inertiaはラテン語inertiaを語源とし「無関心」「怠惰」を意味し、in-は否定を表す接頭辞、artusは「技術・得意分野」を意味する。inertiaは何かをするための技術や能力が欠けているというニュアンスを持ち、物理学においては物体が静止または等速直線運動を続ける性質を指すことを表現する。天才英単語「moment」[1] 「inertia」[2] ^ inertiaの日本語読み。この日本語は科学・学術用語として使用されることは稀だが工学の世界では「回転イナーシャ」「イナーシャ比」などしばしば利用される。 ^ 小学館・精選版日本国語大辞典「慣性モーメント」[3] ^ 静止した状態から回転を始める場合、あるいは回転している状態を変化させる場合 ^ 小出昭一郎・平凡社改訂新版世界大百科事典「慣性モーメント」[4] ^ 小学館・精選版日本国語大辞典「慣性モーメント」[5] ^ (英)Rotating mass、(独)Drehmasse ^ オイラーは27歳の頃から3年間、ダニエル・ベルヌーイ に招かれロシアの首都サンクトペテルブルク の海軍学校の物理学教授となり、のち科学アカデミーの数学教授となっている。慣性モーメントについては『海軍科学』第1巻（セクション165、P.70）で明示的に定義され、固定軸の周りを回転している剛体質量要素の運動の特性を簡単な式で表現しようとしたものである。ただ「（剛体回転体は）その形状の各部に偏在する質量の各要素と、回転軸に垂直な距離、の2乗の積に比例する運動量を持つ」という考え方そのものは古くから存在していたとされる。Paul Stäckel: Elementare Dynamik der Punktsysteme und starren Körper. In: F. Klein, C. Müller (Hrsg.): Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften, Band 4 (Mechanik), Heft 4, Leipzig 1908. S. 542–547. Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften ^ (ゴールドシュタイン 1983 , p. 248) 式(5-2) ^a b (ゴールドシュタイン 1983 , p. 254) ^ (ゴールドシュタイン 1983 , p. 249) ^ (ランダウ & リフシッツ 1986 , p. 124) ^ (ゴールドシュタイン 1983 , p. 255) 式 (5-19) ^ (ランダウ & リフシッツ 1986 , pp. 124–125) ^a b (戸田 1982 , pp. 167–175) ^ (ランダウ & リフシッツ 1986 , pp. 122–124) ^ 谷腰欣司『小型モーターのしくみ』電波新聞社、2004年、24頁。ISBN 4-88554-775-X 。 ^ 堀野正俊『機械力学入門』理工学社、1990年、97頁。ISBN 4-8445-2253-1 。 ^ 谷腰欣司『小型モータとその使い方』日刊工業新聞社、1987年、21頁。ISBN 4-526-02147-4 。 ^ 電気学会 電気規格調査会 標準規格『JEC-2130 同期機』電気書院、2016年、8頁。 ^ 日本工業標準調査会『JIS B 0119 水車及びポンプ水車用語』日本規格協会、2009年。 ^ 電気設備学会編『電気設備用語辞典』オーム社、2008年。ISBN 978-4-274-20962-8 。 ^ モータ技術用語辞典編集委員会編『モータ技術用語辞典』日刊工業新聞社、2002年、52頁。ISBN 4-526-05034-2 。 ^ 電気用語辞典編集委員会編『電気用語辞典』コロナ社、1997年、643頁。ISBN 4-339-00411-1 。 線形・直線運動の量 角度・回転運動の量 次元 — L L2 次元 — — — T 時間 :t s absement :A m s （英語版 ） T 時間 :t s — 距離 :d ,位置 :r s x 変位 m 面積 :A m2 — 角度 :θ ,角変位 （英語版 ） θ rad 立体角 :Ω rad2 , sr T−1 周波数 :f s−1 ,Hz 速さ （速度の大きさ）:v ,速度 :v m s−1 動粘度 :ν ,比角運動量 （英語版 ） h m2 s−1 T−1 周波数 :f s−1 ,Hz 角速度（の大きさ）:ω ,角速度 :ω rad s−1 T−2 加速度 :a m s−2 T−2 角加速度 :α rad s−2 T−3 躍度 :j −3 T−3 角躍度 :ζ s−3 M 質量 :m kg M L2 慣性モーメント : I m2 M T−1 運動量 :p 力積 :J m s−1 ,N s （英語版 ） 作用 :𝒮 ,actergy :ℵ m2 s−1 ,J s （英語版 ） M L2 T−1 角運動量 :L ΔL m2 s−1 作用:𝒮 , actergy:ℵ m2 s−1 , J s M T−2 力 :F 重さ :F g kg m s−2 ,N エネルギー :E ,仕事 :W kg m2 s−2 ,J M L2 T−2 トルク :τ 力のモーメント :M kg m2 s−2 ,N m エネルギー:E , 仕事:W kg m2 s−2 , J M T−3 yank :Y kg m s−3 , N s−1 仕事率 :P kg m2 s−3 , W M L2 T−3 rotatum :P kg m2 s−3 , N m s−1 仕事率:P kg m2 s−3 , W
![[icon]](/mt/?noimg=&dark=on&url=https%3a%2f%2fja.wikipedia.org%2fwiki%2f%25E3%2583%2595%25E3%2582%25A1%25E3%2582%25A4%25E3%2583%25AB%3aWiki_letter_w_cropped.svg)
