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数学 において、多項式 （たこうしき、英 :polynomial ）とは、数と不定元 （変数 とも呼ばれる）をもとにして、和と積によってつくられる式のことである。たとえば、3x 3 − 7x 2 + 2x − 23 はx を不定元とする多項式である。多項式は不定元を複数もつ場合もある。
本記事では多項式とその基本的な演算について述べ、関連して代数方程式 、因数分解 、多項式関数 といった事項に触れる。関連事項についての詳細は個別記事に譲る。なお、一部の記述は1変数多項式（不定元を1個だけもつ多項式）に特有の内容である。
代数方程式とは多項式によって表される方程式であり、これは特に1変数の場合には因数分解と密接に関係している。また、代数方程式は数学における最古の問題のひとつで、その解法の追究は複素数 や群 といった概念の発見をもたらした。
多項式関数とは多項式によって与えられる関数のことである。多項式は数学や他の科学にさまざまな形で現れるが、その背景には、複雑な関数の特徴をとらえる際に多項式関数による近似が頻繁に用いられることがあるといえるだろう。
不定元 x に関する（1変数の）多項式 とは、
a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}} という形の式のことをいう。これを
∑ k = 0 n a k x k {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}} とも書く。ただし、n は非負整数で、a n a n − 1a 0 a k x k k = 0n 項 （より詳しくはk 次の項）とよび、a k 係数 という。特に、0次の項a 0 定数項 といわれる。たとえば、多項式3x 3 − 7x 2 + 2x − 23 の項とは3x 3 ,−7x 2 ,2x ,−23 のことで、−7x 2 の係数は−7 であり、またこの多項式の定数項は−23 である。
項を並べる順番は変更してよい。たとえば−7x 2 − 23 + 2x + 3x 3 は3x 3 − 7x 2 + 2x − 23 と同じ多項式である。また、0 を係数とする項は省略してもよい。たとえばx 2 + 0x − 1x 2 − 10x 2 + 4x − 2 と4x − 2 も同じ多項式である。
−3x や2x 5 のような、唯一の項によって表される多項式のことを単項式 という。また、数a 0 定数多項式 ）。
定数多項式0 を除くすべての多項式f は、a n x n a n − 1x n − 1a 1 x +a 0 a n [ 1] n のことを多項式f の次数 f はn 次多項式であるという。さらにこのとき、n 次の項a n x n 最高次の項 ともいわれる。
定数多項式a 0 a 0 = 00 である。0 の次数は、定義しないか、あるいは−∞ と定めることが多い（零多項式 ）。
なお、多項式の係数としてはさまざまな範囲の数を用いることができる。どういった範囲の数を採用しているか明示するために、「実数 を係数とする多項式」のような表現が用いられることがある。集合K に属する数を係数とする多項式のことを「K 上の多項式」ともいう。係数の集合K としては体 または可換環 を選ぶことが多いが、必ずしもそれらに限定されない。
高々n 次の多項式 （ たかだかえぬじのたこうしき ） 次数 が高々 n の多項式である。
n 次多項式はn 次の係数a n a n [ 1] n 次の多項式」である[ 2] n 次の多項式で近似する」といった問題設定がしばしばなされるため、n 次多項式とは区別してこの概念が用いられる場合がある。
不定元x ,y に関する2変数の多項式とは、たとえば−2x 3 y 2 +x 4 − 17xy 2 − 4 のように、有限個のax k y l k ,l は非負整数、a は数）の和として表される式のことをいう。同様にして、任意の正整数m についてm 変数の多項式の概念を考えることができる。2変数以上の多項式は、一般に多変数の多項式とよばれる。
K を数の集合とする。m 個の不定元x 1 x 2 x m K 上の多項式f は、m 個の非負整数の組全体の集合をℤ≥0 m で表すとき、ℤ≥0 m のある有限部分集合I を用いて
∑ ( k 1 , k 2 , … , k m ) ∈ I a k 1 k 2 ⋯ k m x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m {\displaystyle \sum _{(k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})\in I}a_{k_{1}k_{2}\dotsb k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dotsb x_{m}^{k_{m}}} と表すことができる。ただし各a k 1 k 2 …k m K の元である。同じことを、多重指数 記法を用いて
∑ k ∈ I a k x k {\displaystyle \sum _{k\in I}a_{k}x^{k}} と書くこともできる（ここでx = (x 1 ,x 2 , …,x m a k 1 k 2 …k m x 1 k 1 x 2 k 2 x m k m a k x k f の項 とよぶ。なお、1変数多項式の場合と同様に、0 を係数とする項は省略して書いてもよい。
m 変数の多項式f を上記のように表したとき、項a k 1 k 2 …k m x 1 k 1 x 2 k 2 x m k m 次数 とは、通常k 1 +k 2 + … +k m 0 を係数とする項をすべて省略した形でf を書き表したときに、現れる項の次数のうち最大のものをf の次数 とよぶ[ 3] x ,y に関する）多項式−2x 3 y 2 +x 4 − 17xy 2 − 4 の次数は5 である。
「多項式」と「整式 」は、数学の文献では同じ意味で使われることが多い[ 4] [ 5]
また、現在の日本の中等教育課程では、本記事でいう多項式を「整式」とよび、「多項式」の語は副次的に用いる習慣がみられる。たとえば、中学校学習指導要領では「多項式」の語は「単項式」との対比においてのみ使われている[ 6] [ 7]
多項式については、「不定元」と「変数」という二つの言葉は基本的に同じ意味で使われる。
不定元（変数）x に関する多項式f があるとき、このf を多項式とみなす限りにおいては、x は単なる形式的な記号にすぎず、値を持ったりはしない。その意味で、x を「変数」とよぶのは不適切だと考えることもできる。一方で、f を多項式関数（後述）とみなした場合はx は変数となる。多項式と多項式関数は異なる概念ではあるけれども、両者には密接な関係があることから、多項式についても「不定元」でなく「変数」という言葉を使う人も少なくない[要出典 。不定元 も参照すること。
多項式を記号で表す際の記法には、たとえばf とf (x )
同じ不定元を持つ二つの多項式f ,g について、それらの和 f +g 積 fg x として、f = ∑ k = 0 m a k x k {\textstyle f=\sum _{k=0}^{m}a_{k}x^{k}} g = ∑ k = 0 n b k x k {\textstyle g=\sum _{k=0}^{n}b_{k}x^{k}} a m + 1a m + 2b n + 1b n + 2
f + g = ∑ k = 0 max ( m , n ) ( a k + b k ) x k {\displaystyle f+g=\sum _{k=0}^{\max(m,n)}(a_{k}+b_{k})x^{k}} となり、積は
f g = ∑ k = 0 m + n ( ∑ i = 0 k a i b k − i ) x k {\displaystyle fg=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}\right)x^{k}} となる。
多項式f と数c に対し、f のc 倍（一般には定数倍 ないしスカラー倍 という）とは、f の各項の係数をc 倍して得られる多項式である。これも1変数の場合について式で表すと、f = ∑ k = 0 m a k x k {\textstyle f=\sum _{k=0}^{m}a_{k}x^{k}}
c f = ∑ k = 0 m c a k x k {\displaystyle cf=\sum _{k=0}^{m}ca_{k}x^{k}} である。
これらの演算は、多項式f ,g を多項式関数（後述）とみなしたときの、関数としての加法、乗法、定数倍と対応している。また、多項式の乗法は、数列に対する畳み込み とみることもできる。
可換環R 上の不定元x 1 ,x 2 , …,x m R 上の多元環 になる。これを（x 1 ,x 2 , …,x m R 上のm 変数多項式環 R [x 1 ,x 2 , …,x m
多項式の除法とは、体K 上の（1変数）多項式f ,g （ただしg ≠ 0Q ,R を求める手続きである。
f =gQ +R R の次数はg の次数よりも小さい。（ただし、定数多項式0 の次数は0 より小さいものと解釈する。）これらの条件をみたす多項式Q ,R の組は必ず存在し、しかも一意的である。Q のことをf をg で割った商 、R のことを余り （または剰余 ）という。f をg で割った余りが0 のとき、すなわちf =gQ Q が存在するとき、f はg で割り切れる という。
より一般に、単位元をもつ可換環R 上の多項式f ,g についても、g がモニック多項式 （最高次の項の係数が1 ）ならば、同様にしてf をg で割った商および余りを定めることができる。
多項式の除法は、より一般の、余りつきの除法の特別な場合とみなすことができる。除法の原理 、ユークリッド環 も参照せよ。
なお、多項式の除法に関する商のほかに、有理式 としての商f /g
1変数多項式f = ∑ k = 0 m a k x k {\textstyle f=\sum _{k=0}^{m}a_{k}x^{k}} 微分 とは、
f ′ = ∑ k = 1 m k a k x k − 1 {\displaystyle f'=\sum _{k=1}^{m}ka_{k}x^{k-1}} で定められる多項式f ′f ′f の導多項式 という。同様にして、多変数多項式についても、各々の不定元に関する微分を考えることができる。
実数または複素数を係数とする多項式f については、それを多項式関数（後述）とみなして微分することもできるが、上述の多項式としての微分は、この関数としての微分（多変数多項式の場合には偏微分）と対応している。関数としての微分と区別するため、多項式としての微分を形式的微分 とよぶことがある。形式的微分には、多項式の係数が実数や複素数でなくても問題なく定義できるという利点がある。
多項式f に対して、導多項式がf に一致するような多項式F を求める操作のことを（形式的）積分 という。
多項式の不定元を数に置き換えることを代入 という。たとえば、多項式f (x ) =a n x n a n − 1x n − 1a 1 x +a 0 x に数c を代入することで
f ( c ) = a n c n + a n − 1 c n − 1 + ⋯ + a 1 c + a 0 {\displaystyle f(c)=a_{n}c^{n}+a_{n-1}c^{n-1}+\dots +a_{1}c+a_{0}} という数が得られる[ 注釈 1]
m 変数多項式f (x 1 , …,x m f (x 1 , …,x m 代数方程式 f (c 1 , …,c m (c 1 , …,c m のことを、多項式f (x 1 , …,x m 零点
1変数多項式f (x )f (x )根 c がf (x )f (x )x −c 因数定理 f (x )(x −c )k で割り切れ、かつ(x −c )k + 1 では割り切れないとき、c はf (x )重複度 k の根であるという。2以上の重複度をもつ根は重根
体K 上の1変数多項式f がK の代数閉包 において重根をもつことは、f と導多項式f ′判別式 を参照せよ）。f がK の代数閉包において重根をもたないとき、f は分離多項式 であるという。
与えられた多項式f をいくつかの多項式の積として表すことを、多項式f の因数分解 という。
因数分解を行うためのもっとも単純な方法は、因数分解の結果として現れる多項式の係数を未知数とみなし、それらに関する方程式を立てて解を探すことである。たとえば、2次式Ax 2 +Bx +C (ax +b )(cx +d ) =acx 2 + (ad +bc )x +bd だから、A =ac B =ad +bc C =bd a ,b ,c ,d を探せばよい。また、特に1変数の多項式を因数分解する場合には、因数定理 も重要な道具となる。
因数分解に関連して、1変数の場合における既約多項式 K であるとする。1次以上の多項式f ∈K [x ]K に係数をもつ二つの1次以上の多項式の積として表されないとき、f はK 上で既約であるという。既約でない多項式は可約 であるといわれる。多項式の因数分解は、通常、与えられた多項式を既約多項式の積として表すことが目標となる。
多項式の既約性は、係数体K の選び方に依存する。たとえば、x 2 − 2Q {\textstyle \mathbb {Q} } R {\textstyle \mathbb {R} } x 2 + 1R {\textstyle \mathbb {R} } C {\textstyle \mathbb {C} }
1変数多項式f (x )c に対し、不定元x にc を代入して得られる数f (c )関数 が得られる。これを多項式f (x )多項式関数 とよぶ。多変数多項式についても同様にして（多変数の）多項式関数が得られる。n 次多項式の定める多項式関数はn 次関数とよばれる。
多項式f の定める多項式関数は、同じ文字f で表されることが多い。多項式関数の変数を表す文字にも、しばしば、もとの多項式の不定元を表す文字が流用される。
しかしながら、多項式と多項式関数は異なる概念である。f ,g が「多項式として一致する」というのは対応する係数がすべて一致するという意味だが、f ,g の定める多項式関数が一致するにもかかわらず、両者が多項式として一致しない場合もある。たとえば、有限体F 2 {\textstyle \mathbb {F} _{2}} f (x ) =x 2 +x 0 とは異なるが、f (x )零関数 0 である。係数の集合が実数体R {\textstyle \mathbb {R} } C {\textstyle \mathbb {C} }
実数を係数とするm 変数多項式関数は、R m {\textstyle \mathbb {R} ^{m}} 連続微分可能 である。複素数係数のm 変数多項式関数はC m {\textstyle \mathbb {C} ^{m}} 正則 である。
行列多項式 は行列 変数の多項式である[ 8] P (x ) = ∑n i =0ai xi =a 0 +a 1 x +a 2 x 2 + ⋯ +an xn A で評価した値というものを
P ( A ) = ∑ i = 0 n a i A i = a 0 I + a 1 A + a 2 A 2 + ⋯ + a n A n {\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}A^{i}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n}} のこととして定義する。ここで、定数項は単位行列 I のスカラー倍に置き換わることに注意[ 9]
行列多項式方程式 は行列多項式の間の等式であって、考えている範囲の行列のうち特定のもののみがそれを満足するものを言う。同様に、考えている行列環 M n R )行列多項式恒等式 と呼ぶ。
形式冪級数 ∑∞n =0 an xn は多項式とよく似ているが、非零項が（可算）無限個あってもよい（つまり有限次とは限らない）点が異なる。ゆえに多項式と違って、一般には全ての項を陽に書き下すことは（無理数 の小数表示が全て書ききれないことと同様の意味で）できない。しかし、各項に対する扱いや演算における項の操作ルールは多項式に対するものとまったく同じくすることができる。形式冪級数ではなく収束冪級数を考えることでも多項式を一般化することができるが、積は必ずしも収束するとは限らないので、環構造の埋め込みにはならないことに注意。形式冪級数は一般に次数に関して最大の非零項を持つとは限らないが、必ず最小の非零項を持つから、多項式の次数に対応する概念として形式冪級数の位数 (order) は最小の非零項の次数として定まる。
冪級数に対して、さらに有限個の負冪の項も許した一般化として形式ローラン級数 が定義される。形式ローラン級数もまた最大の非零項を持つとは限らないが、必ず最小の非零項を持つ（が、略式的には両側無限和として∑+∞n =−∞ an xn のようにも書く）。
形式冪級数の特別の場合が多項式であったことの（形式）ローラン級数において対応する概念として、（形式）ローラン多項式は不定元の負冪の項を有限個含む多項式の類似物である。すなわち、ローラン多項式は正負の次数の項を含む有限和∑ i = − N M a i x i ( N , M ∈ N ) {\textstyle \sum _{i=-N}^{M}a_{i}x^{i}\quad (N,M\in \mathbb {N} )}
テンソル代数の普遍性 通常の多変数多項式環は、変数と係数および変数同士の可換性が仮定されている。この変数の間の可換性を仮定からはずすことで、非可換多項式環 が定義される。可換性をはずしたために、非可換多項式を一般に書き表すのは困難であるが、非可換多項式環はテンソル代数 として記述することができる。X = {x 1 ,x 2 , ...,x n K ベクトル空間あるいは可換環K 上の階数 有限な自由加群 V T (V )
T ( V ) =: K ⟨ x 1 , x 2 , … , x n ⟩ = K ⟨ X ⟩ {\displaystyle T(V)=:K\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\rangle =K\langle \mathbf {X} \rangle } などと記してK 上の非可換多項式環 と呼ぶ。ここで術語「自由 」(free) は、この環が必ずしも乗法が可換でないような多元環としての普遍性 を持つということを意味している。K 上で有限生成な（非可換）環A
A = K ⟨ α 1 , α 2 , … , α n ⟩ := { ∑ l c l α i 1 ( l ) α i 2 ( l ) ⋯ α i k l ( l ) ∣ c l ∈ K , α i j ( l ) ∈ { α 1 , … , α n } } {\displaystyle A=K\langle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\rangle :=\left\{\sum _{l}c_{l}\alpha _{i_{1}}^{(l)}\alpha _{i_{2}}^{(l)}\cdots \alpha _{i_{k_{l}}}^{(l)}\mid c_{l}\in K,\alpha _{i_{j}}^{(l)}\in \{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}\right\}} はK ⟨X ⟩準同型 像 として得られる。つまり、適当なK 多元環の全射準同型で
K ⟨ X ⟩ → A ; f ( x 1 , x 2 , … , x n ) ↦ f ( α 1 , α 2 , … , α n ) {\displaystyle K\langle \mathbf {X} \rangle \to A;\ f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto f(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})} なるものが必ず取れ、またしたがってA K ⟨X ⟩商多元環 に同型である。この準同型のV V A K 線型写像V A K 線型写像はかならずこのような形の多元環の準同型に延長可能である。これはテンソル代数の普遍性 と呼ばれる性質の一部である。
また、非可換多項式環K ⟨x 1 ,x 2 , …,x n 対称代数 S (V )xy −yx K [x 1 ,x 2 , …,x n
有理式 は、二つの多項式P, Q の商 （代数的分数式 （英語版 ） P (x )/ Q (x )代数式 の定める函数を有理函数 と呼ぶ。
多項式函数は変数に対する任意の代入に対して値が定義されるが、有理函数は分母が零にならないような変数の値に対してしか定義されない。
有理函数はローラン多項式を分母が不定元の冪であるような特別の場合として含む。
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多項式 に関連するカテゴリがあります。
