一般の集合の間の関数については「写像 」をご覧ください。
数学 における関数 （かんすう、英 :function 仏 :fonction 独 :Funktion 蘭 :functie 羅 :functio 函数 とも書かれる）とは、かつてはある変数 に依存して決まる値あるいはその対応を表す式のことであった。この言葉はゴットフリート・ライプニッツ によって導入された。その後定義 が一般化され、現代では数 の集合 に値をとる写像 の一種であると理解されるものとなった。
二つの変数x とy があり、入力x y x y y x 独立変数 (independent variable) とする関数 」或いは簡単に「x f が選ばれることが多い）を使ってy =f (x )x =a f (a )y x f (x )数学者 レオンハルト・オイラー によるものである。オイラーは、変数や定数 を組み合わせてできた数式のことを関数と定義していたが、コーシー は、上に述べたようにy
y x y x 従属 するとも言い、y 従属変数 (dependent variable) と言い表す。独立変数がとりうる値の全体（変域）を、この関数の定義域
一方、現代的な解釈（写像としての関数）においては、関数が値を取りうる集合（変域）を終域 値域
関数の終域は実数体R {\displaystyle \mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} } 実数値関数 複素数値関数 (complex valued function) という。それぞれ定義域がどのような集合であるかは問わないが、定義域も終域も実数の集合であるような関数を実関数 (real function) といい、定義域も終域も複素数の集合であるような関数を複素関数 (complex function) という。
ディリクレ は、x f (x )
集合論的立場に立つ現代数学では、ディリクレのように関数を対応規則f のことであると解釈する。厳密には、関数（写像）f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} 直積集合 X × Y {\displaystyle X\times Y} 二項関係 ）G {\displaystyle G} ( X , Y , G ) {\displaystyle (X,Y,G)} G {\displaystyle G}
任意のx ∈ X {\displaystyle x\in X} ( x , y ) ∈ G {\displaystyle (x,y)\in G} y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} ( x , y ) ∈ G {\displaystyle (x,y)\in G} ( x , y ′ ) ∈ G {\displaystyle (x,y')\in G} y = y ′ {\displaystyle y=y'} すなわち、始域の全ての元に対して、終域のただ一つの元が対応する規則のことである。なお、始域と終域が文脈から明らかな場合などには、単にグラフG {\displaystyle G} 写像 の同義語である[ 注釈 1] 数 」の集合への写像に限る場合もある[ 注釈 2]
などはそのまま用いることができる。「数」に値を取る関数に特有の（つまり、一般の写像では成り立つとは限らない）性質もある。たとえば、像 を用いて値毎の演算と呼ばれる函数同士の演算が定義できる：x を任意として、
と定義できる。あるいはまた、実函数（実一変数で実数値の函数）f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } グラフ と呼ばれる平面上の図表 （英語版 ）
日本語 としての関数 函数 旧字体 :函數 中国 での初出は1859年に出版された李善蘭 の『代微積拾級 』といわれる。既にオランダを通じて西洋数学（特に微積分）を勉強していた神田孝平 らが翻訳の際に参考にしたとされる[ 3] [ 4]
微積分について日本語で書かれた最初の本、花井静校・福田半編『筆算微積入門』(1880年) では「函数」が用いられている[ 5] [ 6] 長澤龜之助 訳『微分学』(1881年)、岡本則録 訳『査氏微分積分学』(1883年) のいずれも用語を『代微積拾級 』、『微積遡源 』(1874年) などによっている[ 6] function の訳語は第62号 (1884年) の「原數」[ 7] [ 8] [ 9]
「函」が漢字制限による当用漢字 に含まれなかったことから、1950年代以降同音の「関」へと書き換えがすすめられた[ 10] [ 11] 学習指導要領 に「関数」が登場するのは中学校で1958年、高等学校で1960年であり、それまでは「函数」が用いられている[ 注釈 3] [ 12]
「函数」の中国語における発音は(拼音 :hánshù 志賀浩二 や小松勇作 によればこれはfunctionの音訳であるという[ 12] [ 13] 凡此變數中函彼變數則此爲彼之函數 」[ 14] [ 4] 片野善一郎 によれば、「函」の字義はつつむ、つつみこむであるから、「天 = 函(地)」という表現は「天は地を函む」ようにみえ[ 5] [ 6]
入力x ブラックボックス f f (x) なお、現代の初等教育の場においてはしばしば関数をブラックボックス のたとえで説明することがある[ 6] [ 15] [ 16]
函数を書き表すために標準的な方法がいくつかある。
一般的によく知られる記法は、函数名と引数を明示する式を用いて函数を定義する、いわゆる函数記法 である。しかし函数記法では、「函数それ自身」と「函数の値」 の表記が混同されやすく、文脈によっては両者の区別が曖昧になる場合がある。
函数はイタリック体 の文字一つで表すか（例えばf ,g ,h , ...ローマン体 の文字を複数用いて表す（例えば三角関数 :sin ,指数関数 :exp ,対数 :log ,対数積分 :Li, li ,跡 :tr, Sp など）。後者のローマン体は例えば函数名の省略形で函数を表記する際などに用いられる。イタリック体でなくローマン体を函数に用いることで、通常イタリック体で表記される変数との混同を避けることができる[ 17]
函数記法でy = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} f x y (x ,y ) が函数を定義する順序対の集合に属することを意味する（より具体的に函数f の定義域をX とすれば、函数を定義する順序対の集合とは、集合の内包的記法 （英語版 ） { ( x , f ( x ) ) ; x ∈ X } {\displaystyle \{(x,f(x));\ x\in X\}}
しばしば函数の定義は、函数f が明示された引数x に対して何をするのかという形で行われる。例えばf を任意の実数x に対して成り立つ等式f ( x ) := sin ( x 2 + 1 ) {\displaystyle f(x):=\sin(x^{2}+1)} x を自乗 して 1 を加えその正弦をとるというより単純な複数の手続きの合成 として考えることができる。
誤解のおそれのない場合、例えば複数文字の函数記号を用いる函数について、引数を明示する丸括弧は省略してよい。つまりsin ( x ) {\displaystyle \sin(x)} sin x {\displaystyle \sin x}
函数記法を用いたのはレオンハルト・オイラー が最初（1734年）とされる[ 18]
函数f の定義域X Y f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} X → f Y {\displaystyle X{\stackrel {f}{{}\to {}}}Y} f X Y f X Y f x f (x )x ↦f (x )
例えば、積の定義された集合X 上で各元を平方する函数sqr を紛れなく定義するにはsqr : X → X x ↦ x ⋅ x , {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon X&\to X\\x&\mapsto x\cdot x,\end{aligned}}} x ↦x 2
しばしば函数記号や定義域および終域については省略される。そのような記法は、函数の任意の引数における値だけが等式で与えられている状況がよくあるので、その際に特別な函数記号を用意しなくてよいため有用である。例えば、二変数の函数f : X × X → Y ; ( x , t ) ↦ f ( x , t ) {\displaystyle f\colon X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)} t 0 偏函数 （英語版 ） X → Y {\displaystyle X\to Y} x ↦ f ( x , t 0 ) {\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}
添字記法も函数記法と並んでよく用いられる記法で、函数記法のf (x )fx
矢印記法x ↦f (x )x は特定の値を表さず、単なるプレースホルダ として、左辺のx を任意の値に置き換えた際に右辺のx も同じ値で置き換える必要があることを示すために、用いられている。したがって、x の代わりにどんな記号を使ってもよく、数式中の特定の値を表す文字との混同を避けるため、中黒 "⋅ " がよく用いられる。中黒を使用することで、例えば函数自身f (⋅)x における函数の値f (x )
その他の例として、x ↦ax 2 a ( ⋅ ) 2 {\displaystyle a(\cdot )^{2}} x ↦ ∫ a x f ( u ) d u {\displaystyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du} ∫ a ( ⋅ ) f ( u ) d u {\displaystyle \int _{a}^{(\cdot )}f(u)\,du}
数学の特定の分野では、その他の特別な記法が使われたりもする。例えば線型代数学 や関数解析学 では線型写像 をベクトルに作用させるときに、それらの間に成り立つ双対性を明らかにするために内積 の記法が用いられる（量子力学 でも同様のブラ-ケット記法 が用いられる）。数理論理学 や計算理論 ではラムダ計算 の記法が、函数の抽象化 や適用 （英語版 ） 圏論 やホモロジー代数学 では、上で見た函数の矢印記法を延長あるいは一般化するように、函数からなる図式およびそれらの合成が可換図式 を満たすという意味でどのような可換性を持つかという形で記述される。
函数f が与えられたとき、定義により、f の定義域の各点x に対してf のx における値f (x )x をf (x )公理 によって保証することもあるが、大抵は函数f の定義の一部としてその特定法や記述法は言及される。
有限集合上で定義された函数の場合には、定義域の各点に割り当てられる終域の元を全て書き並べることで函数を定義することができる。例えばA := { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A:=\{1,2,3\}} f : A → R {\displaystyle f:A\to \mathbb {R} } f ( 1 ) = 2 , f ( 2 ) = 3 , f ( 3 ) = 4 {\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4}
算術 やその他既知の函数を組み合わせた式（ただし手続き的な操作や無限個の組み合わせではない閉じた形の式 （英語版 ） f はf ( n ) := n + 1 ( n ∈ { 1 , 2 , 3 } ) {\textstyle f(n):=n+1\ (n\in \{1,2,3\})}
この方法で函数を定義したとき、その函数がどのような集合上で定義されているかの決定が難しい場合がときどき生じる。例えば定義式が割り算を含む場合には、分母が零になるような変数の値は定義域から除かなければならない。同様に、実函数の定義に平方根 が含まれる場合には、平方根の引数が非負となるような変数の値の集合に定義域が収まるようにしなければならない。
式によって函数を定義する場合、それらの式が持つ性質・特性によって函数を分類することもしばしば行われる。
関数 形式 初等関数 代数関数 有理関数 多項式関数 定数関数 f (x ) =a 一次関数 f (x ) =ax +b 二次関数 ax 2 +bx +c 三次関数 ax 3 +bx 2 +cx +d 分数関数 f (x ) =a / x 無理関数 x {\displaystyle {\sqrt {x}}} 初等超越関数 指数関数 ax ,ex , 2x 対数関数 log(x ), ln(x ), loga x ) 三角関数 sin(x ), cos(x ), tan(x ) 逆三角関数 sin−1 (x ), cos−1 (x ), tan−1 (x ) 双曲線関数 sinh(x ), cosh(x ), tanh(x ) 特殊関数 ガンマ関数 Γ(x ) ベータ関数 Β(x ,y ) 誤差関数 erf(x ) テータ関数 ϑ ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta (z;\tau )} ゼータ関数 ζ(x ) マチウ関数 * 代表的な関数とその具体例の一覧表を掲げる[ 15] [ 19]
函数f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 全単射 とは、Y の各元y に対し、X の元x がちょうど一つ（少なくとも一つ、かつ、高々一つ）存在してy =f (x )f の逆函数f − 1 : Y → X {\textstyle f^{-1}\colon Y\to X} y ∈Y y =f (x )x ∈X 自然対数 函数は正の実数全体の成す集合から実数全体の成す集合への全単射であるから、逆を持ち、それは指数函数と呼ばれる実数全体から正の実数全体への函数である。
函数f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} E ⊆ X {\displaystyle E\subseteq X} F ⊆ Y {\displaystyle F\subseteq Y} f のE への制限 がE からF への全単射となり、その意味での逆函数を持つということは起こり得る。逆三角関数 はこのような仕方で定義される。
より一般に、ふたつの集合X, Y の間の二項関係 R が与えられ、X の部分集合E は各元x ∈E y ∈Y x R y x ∈E y ∈Y f : E → Y {\displaystyle f\colon E\to Y} R から陰伏的に定まるとの意味で陰関数 と呼ぶ。[ 注釈 5]
陰函数定理 は点の近傍における陰函数の存在と一意性を保証する緩やかな可微分性条件を提供するものである。
適当な函数の原始函数として沢山の函数が定義できる。例えば自然対数 函数は逆数函数1/x の原始函数でx = 10 となるものとして定義される。誤差関数 erf もこのような方法で定義される函数の例である。
より一般に、ほとんどの特殊関数 を含めた多くの函数は微分方程式 の解として定義される。最も単純な例として、指数函数はその微分が自分自身に等しいような函数の中でx = 01 となる唯一の函数として定義することができる。
冪級数 はその収束域を定義域として函数を定義することに利用できる。例えば指数函数はe x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}}} テイラー展開 の和と等しいとき、その級数を用いて直ちに適当な複素領域（つまり、級数の収束円板）上の複素変数函数に定義域を拡大することができる。これはさらに解析接続 を用いて複素平面 上のさらに大きな領域へ拡大できる。この方法は、複素変数の指数函数・対数函数及び三角函数の定義に一般的に用いられる方法である。
定義域が非負整数であるような函数（つまり数列 ）はしばしば漸化式によって定義される。
基本的な例として、非負整数にその階乗 を対応させる函数n ↦ n ! {\displaystyle n\mapsto n!} n ! = n ( n − 1 ) ! ( n > 0 ) {\textstyle n!=n(n-1)!\quad (n>0)} 0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1}
グラフ は函数の直観的描像を与えるために広く用いられる。グラフからは、例えば函数がどのように増減するかといった函数の性質を読み取ることができて、函数の理解に役立つ。函数によっては、その表現に棒グラフ なども利用できる。
各年のアメリカにおける交通事故死者数を折れ線グラフ で示した函数 同上（棒グラフ版） 与えられた函数f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} G := { ( x , f ( x ) ) : x ∈ X } {\textstyle G:=\{(x,f(x)):x\in X\}}
よくある場合としてX およびY が実数 全体（あるいはその特定の部分集合、例えば区間 など）の部分集合となっているとき、実数の組( x , y ) ∈ G {\displaystyle (x,y)\in G} デカルト平面 （英語版 ） (x ,y ) を持つ点と同一視することができる。このような函数（の一部分）の表示法の一環として、プロット図 を書くことができる（こういったプロット図もまた「函数のグラフ」として至る所で良く用いられる）。また違った座標系を使って函数の図示をすることもできる。例えば平方函数x ↦x 2 (x ,x 2 ) (x ∈ℝ ) を持つ点の全体で、直交座標系に表せばよく知られたように放物線 になる。これをもし極座標系 を用いて、極座標(r ,θ ) = (x .x 2 ) を持つ点をプロットしたならば、この場合のグラフはフェルマー螺旋 （英語版 ）
引数のとる値と函数のとる値を表の形に書きならべることに依って函数を表現することもできる。定義域が有限ならば、このやり方で函数を完全に特定することができる。例えば、掛け算をする函数f : { 1 , … , 5 } 2 → R ; f ( x , y ) := x y {\displaystyle f\colon \{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} ;\;f(x,y):=xy} 積表
x ＼y 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 6 8 10 3 3 6 9 12 15 4 4 8 12 16 20 5 5 10 15 20 25
によって表すことができる。
しかし、定義域が連続的な場合には、定義域の特定の値に対する函数の値しか表には表示することができない。中間の値が必要となったときには、補間を使って函数の値を評価することは可能である。例えば正弦函数の小数第6位までで丸めた値を並べた数表の一部を以下のように与えることができる:
x sinx 1.289 0.960557 1.290 0.960835 1.291 0.961112 1.292 0.961387 1.293 0.961662
計算機や電卓の登場以前には、対数や三角函数などの函数に対するこのような数表がしばしば編纂され出版されていた。
有限集合、あるいは自然数 または整数 全体で定義された函数を表示するのに、棒グラフもまたよく用いられる。この場合、各元x はx -軸上の区間を表しており、函数の値はx の表す区間を底辺とする高さf (x )長方形 として表現できる。
17世紀にはじまった函数の概念は、新しい無限小解析 の基礎付けとなった（函数概念の歴史 （英語版 ） 実変数 の実数値関数 しか考えられておらず、どの函数も滑らかな関数 であることが仮定されていたが、直に多変数複素関数 に定義が拡張されていった。19世紀後半には数学的に厳密な函数の定義が導入され、任意の定義域および終域を持つ函数も扱われ始めた。
いまや函数は数学のあらゆる分野において用いられる。初歩の基礎解析学 では単に「函数」といえば一変数の実数値函数の意味である。より一般の定義が導入され厳密な設定のもとで函数を扱うようになるのは実解析 や複素解析 においてであろう。
一次函数のグラフ 多項式函数（ここでは二次函数）のグラフ 二つの三角函数（正弦と余弦）のグラフ 実函数とは「実変数」「実数値」の函数、つまり実数全体の成す集合を終域とし実数からなる適当な区間 を含む部分集合を定義域とする函数を言う。以下本節では、そのような函数を単に函数と呼ぶことにする。
数学及びその応用分野において最もよく扱われる函数はさらに適当な正則性条件（連続 や微分可能関数 あるいは解析関数 など）が課せられる。このような正則性があることによって、函数はそのグラフを用いてよく視覚化することができる。以下、適当な区間上で微分可能であるような函数だけを扱う。
函数は点ごとの演算 が備わっている。つまり、函数f, g に対して、それらの和・差・積を( f + g ) ( x ) := f ( x ) + g ( x ) ( f − g ) ( x ) := f ( x ) − g ( x ) ( f ⋅ g ) ( x ) := f ( x ) ⋅ g ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&:=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&:=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&:=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}} f, g の定義域の交わりを定義域とする函数が得られる。同様にこれらの商をf g ( x ) := f ( x ) g ( x ) {\displaystyle {\frac {f}{g}}(x):={\frac {f(x)}{g(x)}}} f, g の定義域の交わりからg の関数の零点 を除いたものになる。
多項式 からは実数全体で定義された多項式函数 が定まる。これには定数関数 ・一次函数・二次函数などが含まれる。ふたつの多項式函数の商である有理函数は（ゼロ除算 が起きないように）補有限 の実数を定義域とする。もっとも単純な有理函数x ↦1 / x 双曲線 で0 を除く実数直線 全体を定義域に持つ。
実可微分函数の導函数もまた実函数である。実連続函数の原始函数はもとの函数が連続となる任意の開区間上で可微分な実函数を与える。例えば逆数函数x ↦ 1/x x = 1自然対数 函数）は正の実数全体の成す集合上で微分可能である。
実函数f がある区間上で単調写像 となるのは、平均の変化率f ( x ) − f ( y ) x − y {\textstyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}} x, y の選び方に依らず一定であるときである。その函数がその区間で微分可能ならば、その区間上で微分係数の符号が一定であるときに単調となる。実函数f が区間I において単調であるならば、f の逆函数がf (I )I への函数として定まる。このような方法で、逆三角函数は三角函数が単調となる区間上で三角函数の逆函数として与えられる。あるいはまた、自然対数函数は正の実軸上で単調で値域 は実数直線全体となるから、その逆函数である指数函数は実数全体から正の実数全体への全単射 であることが分かる。
他にも多くの実函数が陰函数定理 （逆函数は陰函数の特別の場合）から、あるいは微分方程式 の解として、定義される。例えば正弦函数sin や余弦函数cos は線型微分方程式 y ″ + y = 0 {\textstyle y''+y=0} sin 0 = 0 , cos 0 = 1 , ∂ sin x ∂ x ( 0 ) = 1 , ∂ cos x ∂ x ( 0 ) = 0 {\displaystyle \sin 0=0,\cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,{\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0}
終域の元がベクトルとなっているような函数はベクトル値函数と呼ばれる。ベクトル値函数は、（例えば物理的性質をモデル化するような）応用において特に有用で、例えば流束の各点においてその点での速度 ベクトルを割り当てる函数はベクトル値函数になる。
ℝ n 多様体 のようにℝ n
解析学 あるいはより具体的に関数解析学 において、特定の性質を共有するスカラー場 またはベクトル値の函数からなり線型位相空間 を成すような集合を関数空間 と呼ぶ。例えば、関数の台 付き（つまり、適当なコンパクト空間 の外側では常に零となる）滑らかな実函数全体の成す集合は、シュワルツ超函数 論の基盤となる函数空間を成す。
函数空間ではその代数的および位相的性質を利用して函数の性質を調べることができるようになるから、より進んだ解析学において函数空間は基本的な役割を果たすことになる。例えば、常微分方程式 や偏微分方程式 における解の存在や一意性を言うすべての定理は函数空間を調べることで得られた結果である。
複数の変数によって値が決定される関数を多変数関数 という。これは複数の数の集合たちの直積集合 から数の集合への写像であると解釈される。ベクトルの集合を定義域 とする独立変数をもつ関数と解釈することもある。n n
y = f ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} のように書かれる。例えば
y = x 1 2 + x 2 2 {\displaystyle y=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} は二変数関数である。
一つの入力に複数の出力を返すような対応規則を多価関数
現代の厳密な関数の定義（写像）においては、一つの入力に対して出力は「ただ一つ」でなければならないため、多価関数は厳密な意味では関数ではない。しかし、複素解析などの分野では歴史的な経緯や便利さから、このような対応関係を「多価関数」と呼び、従来（一価）の関数を特に一価関数 (single-valued function) と呼んで区別することがある。常にn n n 価数 と呼ぶ。例えば正の実数にその平方根を与える操作は正と負の二つ値を持つので、二価関数とみなせる。
多変数関数は独立変数がベクトルに値をとるものと解釈できるということを上に述べたが、逆に従属変数がベクトルの値を持つような写像も考えられ、それをベクトル値関数 という。ベクトル値関数が与えられたとき、像のベクトルに対してその各成分をとり出す写像を合成することにより、通常の一価関数が複数得られる。つまり、定義域を共有するいくつかの関数を一つのベクトルとしてまとめて扱ったものがベクトル値関数であるということができる。
一つの例として、実数体R {\displaystyle \mathbb {R} }
f ( x ) := ± 1 + x 2 {\displaystyle f(x):=\pm {\sqrt {1+x^{2}}}} はベクトル値関数
f : R → R 2 ; x → f ( x ) = ( 1 + x 2 , − 1 + x 2 ) {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2};\ x\to f(x)=({\sqrt {1+x^{2}}},-{\sqrt {1+x^{2}}})} として扱うことができる。また、定義域の "コピー" を作って定義域を広げてやることで、その拡張された定義域上の一価の関数
f : A ⊔ B → R ( A = B = R ) {\displaystyle f\colon A\sqcup B\to \mathbb {R} \quad (A=B=\mathbb {R} )} f ( x ) = { − 1 + x 2 ( x ∈ A ) , 1 + x 2 ( x ∈ B ) {\displaystyle f(x)={\begin{cases}-{\sqrt {1+x^{2}}}&(x\in A),\\{\sqrt {1+x^{2}}}&(x\in B)\end{cases}}} と見なすこともある。複素変数の対数関数log は素朴には無限多価関数であるが、これをlog のリーマン面 上の一価関数と見なすなど、定義域を広げて一価にする手法は解析的な関数に対してしばしば用いられる。
多変数方程式がいくつかの関数関係を定義することもある。例えば
F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} のような式が与えられているとき、x とy は独立に別々の値をとることはできない。x に勝手な値を与えるならば、y はx の値によってとりうる値の制約を受けるからである。このことを以って、独立変数x と従属変数y が対応付けられると考えるとき、方程式 F (x ,y ) = 0 はx の関数y を陰 (implicit) に定めるといい、y をx の陰伏関数 または陰関数 (implicit function) という。これに対して、y =f (x ) と表されるような関数関係を、y はx の陽関数 (explicit function) である、あるいはy はx で陽 (explicit) に表されているなどと言い表す。
陰伏的な関数関係が F (x ,y ) = 0 によって与えられていて、陽な関数関係y =f (x ) が適当な集合D を定義域として F (x ,f (x )) = 0 を満たすなら、この陽関数y =f (x ) はD 上で関係式 F (x ,y ) = 0 から陰伏的に得られるという。関数の概念を広くとらず、一価で連続である場合や一価正則な場合などに考察を限ることはしばしば行われることであるが、そのような仮定のもとでは陰関数から陰伏的に得られる陽関数は一つとは限らず、一般に一つの陰関数は（定義域や値域でより分けることにより）複数の陽関数に分解される。このとき、陰伏的に得られた個々の陽関数をもとの陰関数の枝 という。また、陰関数の複数の枝を総じて扱うならば、陰関数の概念から多価関数の概念を得ることになる。例えば、方程式
y 2 − x 2 = 1 {\displaystyle y^{2}-x^{2}=1} が定める陰関数y は全域で 2 つの一価連続な枝
f 1 ( x ) := 1 + x 2 , {\displaystyle f_{1}(x):={\sqrt {1+x^{2}}},} f 2 ( x ) := − 1 + x 2 {\displaystyle f_{2}(x):=-{\sqrt {1+x^{2}}}} をもつ二価関数である。
また、媒介変数 を導入して関係式を分解し、各変数を媒介変数の陽関数として表すことによって、陰関数を表すこともある。例えば、方程式 2x − 3y = 0 は、媒介変数t を導入して
{ x = 3 t , y = 2 t {\displaystyle {\begin{cases}x=3t,\\y=2t\end{cases}}} と表すことができるが、これによってy とx の陰伏的な関数関係が表されていると考えるのである。
有限集合からの関数は実質的に数の組あるいは数列 と呼ばれるものになる（適当な演算をいれてベクトルと見ることもできる）。それはつまり、集合の各元に序列を与えて {1, 2, ...,n } と並べるとき、k = 1, 2, ...,n に対してx k x (k ) を対応付ける関数x を
( x 1 , x 2 , … , x n ) ∈ R n {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} のかたちに表すのである。これは有限列であるが、無限列
( s n ) n ∈ N ∈ R N {\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} を考えれば、それは各自然数n に対して、数s n
s : N → R ; n ↦ s n {\displaystyle s\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} ;\,n\mapsto s_{n}} という関数を考えていることに他ならない。もっと一般に数の族 を考慮に入れれば、通常の実関数f =f (x ) をx を添字に持つ実数の族
( f x ) x ∈ R ∈ R R {\displaystyle (f_{x})_{x\in \mathbb {R} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }} と読みかえることができる。
関数を変数に取る関数はとくに汎関数 (functional) と呼ばれる。特にある集合上の関数の作るベクトル空間 から係数体への線型写像 を線型汎函数
F ( f ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x {\displaystyle F(f)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx} は可積分関数f を変数と見なして様々に取り替えることによって汎関数F を与える。積分は線型性 を持つから、F は線型汎関数である。
有限個の変数の組を考えることも関数の一種であったから、汎関数
F ( f ) = F ( f ( x ) ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f)={\mathcal {F}}(f(x))} はひとつまたは複数のパラメータで添字付けられる一般には無限個の変数をもつ関数の一種
F ( ( f x ) x ∈ R ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\left((f_{x})_{x\in \mathbb {R} }\right)} と見なすことができる。また、有限次元ベクトル空間は基底 を固定することにより、その座標 で表される係数体の加群の直和 と同型写像 であるから、そこからの汎関数は多変数関数
F ( x 1 , x 2 , x 3 , … , x n ) {\displaystyle F(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})} と同一視できる。
関数に対して数を対応付けるという汎関数の概念は、さらに関数に関数を対応付ける作用素 の概念に一般化される。
シュワルツの超関数 英 :distribution ）の理論は、汎関数の一種（コンパクトな台を持つ無限階微分可能関数の作る空間上の連続線型汎関数）として超関数 を定義する。通常の局所可積分関数に測度を掛けて積分作用素として見ると、この意味で超関数と見なされる。
この様な連続線型汎関数を用いた定式化の方向でdistribution よりも大きいクラスとしては、超分布 (ultradistribution) が知られている。
一方、佐藤超関数 英 :hyperfunction ）は層係数コホモロジー 等の代数的手法を用いて定義される。この代数的手法の解析学への導入により、線型微分方程式系の代数化であるD 加群の理論等、代数解析学と呼ばれる分野が開かれた。以上の超関数のクラスは局所化可能、言い換えれば層を成すという事が重要である。
^ 数学の多くの文脈では函数 (function) と写像 (map) は同じ意味で用いられる。[ 1] ^ 例えばSerge Lang [ 2] 終域 が数の集合 (すなわち実数 体R 複素数 体C 体 の部分集合) となる写像を指す場合に限り、より一般の場合には "mapping" を用いている ^ 但し、1958年の中学校学習指導要領では用語として「一次関数(一次函(かん)数)」と併記しており、「関数」のみになるのは1969年の中学校学習指導要領である。 ^ ここでいう「初等的」は必ずしも日常会話的な意味で初等的とは限らない。初等的な数学において遭遇するほとんどの函数は初等函数だが、例えば高次多項式の根を含むなどして日常的な意味で初等的ではないような初等函数も存在する。 ^ 例えば単位円 の方程式x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} –1 <x < 1 ならばy として二つの値が可能で、一方は正他方は負である。x = ± 10 になる。それ以外ではy は値を持たない。このことから、この方程式は[–1, 1] を定義域とするふたつの陰函数を定義し、それらの値域はそれぞれ[0, +∞) および(–∞, 0] である。この例では方程式はy について解くことができてy = ± 1 − x 2 {\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}} y 5 + x + 1 = 0 {\displaystyle y^{5}+x+1=0} y を超冪根 と呼ばれるx の陰函数としてさだめる（定義域・値域ともにR ^ 松坂 1968 , p. 28—「A ,B が一般の集合である場合にも、A からB への写像を、A からB への関数 （中略）ということがある。」^ Lang, Serge (1971), Linear Algebra (2nd ed.), Addison-Wesley, p. 83 ^ 馮, 立升「『代微積拾級 』の日本への伝播と影響について 」『数学史研究』第162号、日本数学史学会、1999年9月、15–28、doi :10.11501/3202759 、ISSN 0386-9555 、2022年11月2日閲覧 。 ^a b 公田藏「近代日本における, 函数の概念とそれに関連したことがらの受容と普及 (数学史の研究) 」『数理解析研究所講究録』第1787巻、京都大学数理解析研究所、2012年4月、265-279頁、CRID 1050282810743929856 、hdl :2433/172764 ISSN 1880-2818 。 ^a b 片野, 善一郎『数学用語の由来』明治図書出版、1988年。ISBN 4-18-543002-7 。 ^a b c d 片野, 善一郎『数学用語と記号ものがたり』裳華房、2003年。ISBN 4-7853-1533-4 。 ^ 「譯語會記事 」『東京數學會社雑誌』第62号、數學會社假事務所、9頁、doi :10.11429/sugakukaisya1877.1884.62_8 。 ^ 「譯語會記事 」『東京數學會社雑誌』第64号、數學會社假事務所、14頁、doi :10.11429/sugakukaisya1877.1884.64_14 。 ^ 菊池大麓「雜録 」『東京數學會社雑誌』第61号、數學會社假事務所、1頁、doi :10.11429/sugakukaisya1877.1883.61_1 。 菊池大麓「雜録 」『東京數學會社雑誌』第63号、數學會社假事務所、1頁、doi :10.11429/sugakukaisya1877.1884.63_1 。 ^ この経緯については、島田茂 (1981)「学校数学での用語と記号」福原満州雄他『数学と日本語』共立出版ISBN 4-320-01315-8 pp.135-169 に詳しい。 ^ 一松信 (1999)「当用漢字による書き替え」数学セミナー編集部編『数学の言葉づかい100』日本評論社ISBN 4-535-60613-7 p.5 ^a b 小松勇作「関数」『数学100の慣用語』数学セミナー1985 年9月増刊、数学セミナー編集部編『数学の言葉づかい100』日本評論社ISBN 4-535-60613-7 p. 58 に再録 ^ 志賀浩二『数学が生まれる物語／第4週 座標とグラフ』岩波書店、70頁（1992年） ^ (美国) 羅密士撰『代微積拾級』 巻十、(英国) 偉烈亜力口訳、(清) 李善蘭筆述、1859年、1丁裏頁。 東北大学和算資料データベース で『代微積拾級 』を検索することにより、画像ファイルを見ることができる。^a b 飯島徹穂編著、『数の単語帖 』、共立出版、2003年、「関数」より。ISBN 978-4-320-01728-3 ^ 遠山啓、『[1] 』、岩波書店、〈岩波現代文庫〉、2011年。ISBN 978-4-00-603215-9 ^ Letourneau, Mary; Sharp, Jennifer Wright (2017-10), AMS Style Guide , American Mathematical Society ^ Ron Larson, Bruce H. Edwards (2010), Calculus of a Single Variable , Cengage Learning, p. 19, ISBN 978-0-538-73552-0 ^ 日本数学会編、『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「特殊関数」より。ISBN 978-4-00-080309-0 C3541 日本数学会 編『岩波数学辞典』（4版）岩波書店、2007年。ISBN 978-4000803090 。 松坂, 和夫 『集合・位相入門』岩波書店、1968年。ISBN 4-00-005424-4 。 馮, 立升「『代微積拾級 』の日本への伝播と影響について 」『数学史研究』第162号、日本数学史学会、1999年9月、15–28、doi :10.11501/3202759 、ISSN 0386-9555 、2022年11月2日閲覧 。 公田, 藏「近代日本における, 函数の概念とそれに関連したことがらの受容と普及 」『数理解析研究所講究録』第1787号、京都大学数理解析研究所、2012年4月、265–279、2022年11月2日閲覧 。 片野, 善一郎『数学用語の由来』明治図書出版、1988年。ISBN 4-18-543002-7 。 片野, 善一郎『数学用語と記号ものがたり』裳華房、2003年。ISBN 4-7853-1533-4 。 「譯語會記事 」『東京數學會社雑誌』第62号、數學會社假事務所、9頁。 「譯語會記事 」『東京數學會社雑誌』第64号、數學會社假事務所、14頁。 菊池大麓「雜録 」『東京數學會社雑誌』第61号、數學會社假事務所、1頁。 菊池大麓「雜録 」『東京數學會社雑誌』第63号、數學會社假事務所、1頁。 福原, 満洲雄 著「学校数学での用語と記号」、島田, 茂、田島, 一郎 編『数学と日本語』共立出版、1981年、135–169頁。ISBN 4-320-01315-8 。 一松, 信 著「当用漢字による書き替え」、数学セミナー編集部 編『数学の言葉づかい100』日本評論社、1999年、5頁。ISBN 4-535-60613-7 。 小松, 勇作 著「関数」、数学セミナー編集部 編『数学の言葉づかい100』日本評論社、1999年、58頁。ISBN 4-535-60613-7 。 小松勇作「関数」『数学100の慣用語』数学セミナー1985 年9月増刊の再録 羅密士 著、偉烈亜力, 李善蘭 訳『代微積拾級』 巻十、1859年、1丁裏頁。 ウィキブックスに
関数 関連の解説書・教科書があります。
