モナ・リザ の画像（左図）を平行四辺形に線形変換した画像（右図）。この線形変換において、画像の中にある右向きの矢印（青色）は変化していないのに対し、上を向いた矢印（赤色）は方向が変化している。この青い矢印がこの変換における固有ベクトル であり、赤い矢印は固有ベクトルではない。ここで青い矢印は伸張も収縮もしていないので、この固有値 は 1 である。このベクトルと平行なすべてのベクトルは固有ベクトルである。零ベクトルも含めて、これらのベクトルはこの固有値に対する固有空間 を形成する。数学 の線型代数学 において、線型変換 の固有値 （こゆうち、英 :eigenvalue ）とは、零ベクトル でないベクトルを線型変換によって写したときに、写された後のベクトルが写される前のベクトルのスカラー 倍になっている場合の、そのスカラー量（拡大率）のことである。この零ベクトル でないベクトルを固有ベクトル （こゆうベクトル、英 :eigenvector ）という。この2つの用語を合わせて、固有対 (eigenpair) という。
固有値・固有ベクトルは線型変換の特徴を表す指標の一つである。
線形変換T の固有値の一つをλ とすると、T の固有値λ に関する固有ベクトルおよび零ベクトルは部分線形空間を形成し、固有空間 (英 :eigenspace ) という。
与えられた線型変換の固有値および固有ベクトルを求める問題のことを固有値問題 (英 :eigenvalue problem ) という。ヒルベルト空間論 において線型作用素 あるいは線型演算子 と呼ばれるものは線型変換であり、やはりその固有値や固有ベクトルを考えることができる。固有値という言葉は無限次元ヒルベルト空間論や作用素代数におけるスペクトル の意味でもしばしば使われる。
現在では、固有値の概念は行列 論と絡めて導入されることが多いものの、歴史的には二次形式 や微分方程式 の研究から生じたものである。
18世紀初頭、ヨハン・ベルヌーイ とダニエル・ベルヌーイ 、ダランベール およびオイラー らは、いくつかの質点がつけられた重さのない弦の運動を研究しているうちに固有値問題に突き当たった。18世紀後半に、ラプラス とラグランジュ はこの問題をさらに研究し、弦の運動の安定性には固有値が関係していることを突き止めた。彼らはまた固有値問題を太陽系 の研究にも適用している[ 1]
オイラーはまた剛体 の回転についても研究し、主軸 の重要性に気づいた。ラグランジュがこの後発見したように、主軸は慣性行列の固有ベクトルである[ 2] コーシー がこの研究を二次曲面 の分類に適用する方法を示し、その後一般化して任意次元の二次超曲面の分類を行った[ 3] "racine caractéristique " （特性根）という言葉も考案し、これが今日「固有値」と呼ばれているものである。彼の単語は「特性方程式 (英 :characteristic equation [ 4]
フーリエ は、1822年の有名な著書 ("Théorie analytique de la chaleur " ) の中で、変数分離 による熱方程式 の解法においてラプラスとラグランジュの結果を利用している[ 5] スツルム はフーリエのアイデアをさらに発展させ、これにコーシーが気づくことになった。コーシーは彼自身のアイデアを加え、対称行列の全ての固有値は実数であるという事実を発見した[ 3] 1855年 にエルミート によって、今日エルミート行列 と呼ばれる概念に対して拡張された[ 4] ブリオスキ は直交行列 の固有値全てが単位円 上に分布することを証明し[ 3] クレープシュ が歪対称行列 に関して対応する結果を得ている[ 4] ワイエルシュトラス が、ラプラスの創始した安定論 (英 :stability theory 不完全行列 を構成することによって明らかにした[ 3]
19世紀中ごろ、ジョゼフ・リウヴィル は、スツルムの固有値問題の類似研究を行った。彼らの研究は、今日スツルム＝リウヴィル理論 と呼ばれる一分野に発展している[ 6] ヘルマン・アマンドゥス・シュヴァルツ は一般の定義域上でのラプラス方程式 の固有値についての研究を19世紀の終わりにかけて初めて行った。一方、アンリ・ポアンカレ はその数年後ポアソン方程式 について研究している[ 7]
20世紀初頭、ヒルベルト は、積分作用素 を無限次元の行列と見なしてその固有値について研究した[ 8] ヘルムホルツ の関連する語法に従ったのだと思われるが、固有値や固有ベクトルを表すためにドイツ語 のeigen [ 9] [ 10] "proper value" ということもあるが、印象的な"eigenvalue" の方が今日では標準的に用いられる[ 11] valeur propre である。
固有値や固有ベクトルの計算に対する数値的なアルゴリズムの最初のものは、ヤコビが対称行列の固有値固有ベクトルを求める手法として（ヤコビの提出したヤコビ法（電子計算機が発明されたときにフォンノイマンが発見したと思われたが実際はヤコビが既に述べていた）、ガウスによる行列の基本変形操作によるヘッセンベルグ形式への還元、などが知られていた）、1929年にフォン・ミーゼス が公表した冪乗法 である。今日最もよく知られた手法の一つに、1961年にFrancis とKublanovskaya が独立に考案したQR法 がある[ 12]
線形空間 V （有限次元 とは限らない）上の線形変換A に対して、次の方程式
A x = λ x {\displaystyle A{\boldsymbol {x}}=\lambda {\boldsymbol {x}}} を満たす零ベクトル でないベクトルx λ が存在するとき、x A の固有ベクトル（右固有ベクトル） 、λ をA の固有値 と呼ぶ。
線型変換A の固有ベクトル x A により写しても、その方向は変わらず、定数倍されるだけの影響しか受けない（拡大率が 1 なら全く影響を受けない）ベクトルで、零ベクトルでないもののことである。 線型変換A の固有値 は、固有ベクトルのA による拡大率（上のλ ）のことである。 空間の線型変換 （回転 、鏡映 、拡大・縮小 、剪断 、およびそれらの任意の合成）は、それがベクトルに対して引き起こす影響によって視覚化することができる。ベクトルは一点から他の点へ向かう矢印によって視覚化される。
線型変換A の固有値λ に対するその固有ベクトルおよび零ベクトルは部分線形空間 をなし、これを固有空間 という。固有値λ の固有空間W (λ )Ker は核 、I は恒等変換を表す）：
W ( λ ) = Ker ( λ I − A ) {\displaystyle W(\lambda )=\operatorname {Ker} (\lambda I-A)} 固有空間の次元をその固有値の幾何的重複度 という。n 次正方行列A の固有値λ の幾何的重複度は次の式で求められる： dim W ( λ ) = n − rank ( λ I − A ) {\displaystyle \dim W(\lambda )=n-\operatorname {rank} (\lambda I-A)} 有限次元ベクトル空間上の線型変換のスペクトル 位相 に依存する。 体 K n 次正方行列 A の固有値は、体K
A の固有値λ が満たすべき条件は、
A x = λ x {\displaystyle A{\boldsymbol {x}}=\lambda {\boldsymbol {x}}} すなわち
( λ I − A ) x = o {\displaystyle (\lambda I-A){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {o}}} を満たすx o I は単位行列 である。
線形方程式 ・行列式 の理論より、この条件は
det ( λ I − A ) = 0 {\displaystyle \det(\lambda I-A)=0} となる。この方程式のことを固有方程式 （または特性方程式 ）という。固有方程式はλ についてのn 次代数方程式 であり、A は、この方程式の解として、重複度 （代数学的重複度 ）を込めて（基礎体の代数的閉包 上）n 個の固有値を持つことが分かる。
特に行列A が実対称（あるいはエルミート）の場合、固有方程式は永年方程式 とも言われる。
実対称 かエルミート の固有値は必ず実数になる。 実対称 かエルミート である行列の、固有値を異にする固有ベクトルは相互に直交する（内積が0 である）。 n が大きければ固有値問題は数値的対角化手法（→ヤコビ法 、ハウスホルダー法 など）によって解くこととなる。行列A が実対称やエルミートでない場合は、これを解くことは一般に難しくなる。
例えば、三次元内の回転変換の固有ベクトルは回転軸 の中にある。この変換の固有値は1 のみで、固有値は1 の固有空間は回転軸である。固有空間が一次元であるから、この固有値1 の幾何的重複度は1 であり、スペクトルは実数である固有値1 唯一つのみからなる。
別の例として、右のモナ・リザの画像の変形のような剪断変換 の正方行列を考える：
A = [ 1 0 − 1 2 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{2}}&1\end{bmatrix}}} まず、この行列の固有多項式 を求める。
det ( λ I − A ) = det ( λ [ 1 0 0 1 ] − [ 1 0 − 1 2 1 ] ) = ( λ − 1 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\det(\lambda I-A)&=\det \!\left(\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{2}}&1\end{bmatrix}}\right)\\&=(\lambda -1)^{2}\end{aligned}}} 故に、この行列A の固有方程式は
(λ − 1)2 =0 で、この場合のA の固有値は、ただ一つλ = 11I −A 零空間 、すなわち線型方程式 (I −A )x
[ 0 0 1 2 0 ] [ x 1 x 2 ] = 0 {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\{\frac {1}{2}}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=0} の解x
x = [ 0 c ] ( c ∈ K ) {\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{bmatrix}0\\c\end{bmatrix}}\quad (c\in \mathbb {K} )} となる。ここでc は任意の定数である。つまり、この形に表される（この場合、真上または真下を向いている）ベクトルで零ベクトルでないものは全てこの行列A の固有ベクトルである。
一般に、2次正方行列は代数的重複を込めて2つの固有値をもち、固有値それぞれに関する固有ベクトルをもつ。ほとんどのベクトルが行列の作用によってその長さと方向の両方を変えるのに対して、固有ベクトルは向きつき長さのみが変化し、方向は変わらない。
地球が自転すると、地球中心から地表の各地点へ向かう矢印も一緒に向きが変わる。しかしこの回転軸上にあるベクトルだけは向きが変わらない。たとえば、地球の中心から北極あるいは南極へのベクトルはこの変換の固有ベクトルとなるが、赤道に向いているベクトルは固有ベクトルとはならない。また、地球が回転してもこのベクトルの大きさは変わらないので、この固有値は 1 である。
別の例として、ゴムシートをある固定された一点から全方向に向かって伸ばすような変換を考える。ゴムシート上のあらゆる点と点の間の距離が 2倍になるように引き伸ばすとすると、この変換の固有値は 2 になる。この場合、固定された点からシート上のあらゆる点に向かうベクトルはすべて固有ベクトルになり、固有空間はこれらのベクトルすべてからなるような集合となる。
境界が固定されたひもの定常波 の振動数もまた固有値の例である。 ベクトル空間は、二次元や三次元の幾何的な空間だけとは限らない。さらに別の例として、ちょうど弦楽器 における弦 のような、両端が固定されたひもを考えよう（図2）。このひもが振動しているとき、ひも上の各原子 が、ひもがぴんと張った時の位置（釣り合いの位置）から動いた距離（変位）は、ひもを構成する原子の個数分だけの次元をもつベクトルの構成部分として表すことができる。このひもが連続的な物体でできていると仮定しよう。このとき、ひもの各点の加速度を表す式（運動方程式）を考えると、その固有ベクトル（より正確には固有関数 ）は定常波 となる。
定常波では、ひもの加速度とひもの変位が常に一定の比例係数で比例する。その比例係数が固有値である。その値は、角振動数 を ω とすると、−ω2 に等しい。
定常波は時間とともに正弦的な振幅で伸縮するが、基本的な形は変わらない。
エルミート行列 A の固有値が全て正の場合に、その行列A は正定値 [ 注 1] 正定値行列 ）。エルミート行列A の固有値が全て非負の場合に、その行列A は半正定値 であるという（半正定値行列 ）。 この定義は対角化 を用いることにより、二次形式 の正定値、半正定値の定義と同値の関係であることが確認できる。
量子力学 においては固有値問題が次のような形で現れる。まず、系の状態は、「状態ベクトル」というもの（波動関数ともいう）で表現されると考える。そして、その状態ベクトルは、シュレーディンガー方程式 に従って時間的に変化すると考える。このとき、系が時間的に変化しない定常状態（厳密に言うと、時間的に変化するものが状態ベクトルの位相に限定される場合）、シュレーディンガー方程式 は、変数分離法によって、以下のようになる：
i ℏ ∂ ∂ t | x ⟩ = H | x ⟩ = ϵ | x ⟩ , {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\mathbf {x} \rangle =H|\mathbf {x} \rangle =\epsilon |\mathbf {x} \rangle ,} and H | x ⟩ = ϵ | x ⟩ . {\displaystyle H|\mathbf {x} \rangle =\epsilon |\mathbf {x} \rangle .} ここで、H は系のハミルトニアン であり、|x ⟩ は状態ベクトルである。これは固有値問題そのものである。上の方程式を解くことで固有値 ε が求まる。この ε を用いて、下の方程式を解くと、状態ベクトルの位相はϵ / ℏ {\displaystyle \epsilon /\hbar } ℏ {\displaystyle \hbar } エネルギー準位 x はハミルトニアンの固有ベクトルになっており、そのような状態をエネルギー固有状態 という。
ハミルトニアンはエルミート演算子であり、従って、異なる固有値に対応する固有ベクトルは互いに直交している。ハミルトニアンに限らず、任意の物理量は、それぞれエルミート演算子に対応する。それらに関する固有ベクトルは、それらの物理量が確定している状態であり、その固有値が、その状態での物理量の値となる。
実際の多電子系などの数値計算においてはエルミート演算子を有限サイズのエルミート行列で近似することになる。つまり、本来、状態ベクトルのなすヒルベルト空間が無限次元であれば、行列による表現は無限行、無限列であるが、これは現実に計算することは不可能なので、有限の大きさに切断して近似的に計算が実行される。波動関数は適当な基底関数 の線型結合（重ねあわせ）で表現され、求めるべき基底関数の展開係数を並べたものが、そのエルミート行列の固有ベクトルに相当することになる。展開係数の数も本来無限個必要であるが、有限の数で切断（カットオフ）される。切断は、求めるべき物理量（全エネルギーなど）が精度として十分に収束するところで行う必要がある（解くために必要な数値計算量にも依存する）。
^ Hawkins (1975 , §2);Kline (1972 , pp. 807–808) を参照のこと。^ Hawkins (1975 , §2) を参照。^a b c d Hawkins (1975 , §3) を参照。 ^a b c Kline (1972 , pp. 807–808) を参照。 ^ Kline (1972 , p. 673) を参照。^ Kline (1972 , pp. 715–716)^ Kline (1972 , pp. 706–707)^ Kline (1972 , p. 1063)^ Ben-Menahem 2009 , p. 5513, Table 6.24: Earliest Known Mathematical Terminology.^ Schwartzman 1994 , p. 80 ^ Aldrich (2006) ^ SeeGolub & van Loan (1996 , §7.3),Meyer (2000 , §7.3) Abdi, H. (2007), “Eigen-decomposition: eigenvalues and eigenvecteurs” , in Neil Salkind, Encyclopedia of Measurement and Statistics , Sage, doi :10.4135/9781412952644 , ISBN 978-1-4129-1611-0 , http://www.utdallas.edu/~herve/Abdi-EVD2007-pretty.pdf Aldrich, John (2006), “Eigenvalue, eigenfunction, eigenvector, and related terms” , in Jeff Miller, Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics , http://members.aol.com/jeff570/e.html 2006年8月22日閲覧。 Ben-Menahem, Ari (2009), Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences , Springer-Verlag, doi :10.1007/978-3-540-68832-7_1 , ISBN 978-3-540-68831-0 , MR 2848375 , Zbl 1175.01001 クロード・コーエン＝タヌージ (1977), “Chapter II. The mathematical tools of quantum mechanics”, Quantum Mechanics , Wiley, ISBN 0-471-16432-1 Fraleigh, John B.; Beauregard, Raymond A. (1995), Linear Algebra (3rd ed.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-83999-7 , Zbl 0949.15002 Golub, Gene H.; van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations ISBN 978-0-8018-5414-9 , MR 1417720 , Zbl 0865.65009 , https://books.google.co.jp/books?id=mlOa7wPX6OYC Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013), Matrix Computations (4th ed.), Johns Hopkins,ISBN 978-1-4214-0794-4 Hawkins, T. (1975), “Cauchy and the spectral theory of matrices”, Historia Mathematica 2 : 1-29, doi :10.1016/0315-0860(75)90032-4 , MR 0469635 , Zbl 0296.01014 Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511810817 , ISBN 0-521-30586-1 , MR 0832183 , Zbl 0576.15001 Kline, Morris (1972), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times , Oxford University Press , ISBN 0-19-501496-0 , MR 0472307 , Zbl 0277.01001 Review by Gian-Carlo Rota in Bull. Amer. Math. Soc.)Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra doi :10.1137/1.9780898719512 , ISBN 978-0-89871-454-8 , MR 1777382 , Zbl 0962.15001 , https://books.google.co.jp/books?id=-7JeAwAAQBAJ Schwartzman, S. (1994), The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English ISBN 0-88385-511-9 , MR 1270906 , Zbl 0864.00007 , https://books.google.co.jp/books?id=iuoZSkSOBQsC Valentin, D.; Abdi, H.; Edelman, B.; O'Toole, A. (1997), “Principal component and neural network analyses of face images: What can be generalized in gender classification?” , Journal of Mathematical Psychology 41 : 398-413, doi :10.1006/jmps.1997.1186 , http://www.utdallas.edu/~herve/abdi.vaeo97.pdf Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems:a Practical Guide; Edited by Zhaojun Bai, James Demmel, Jack Dongarra, Axel Ruhe, and Henk van der Vorst (NETLIB) Rajendra Bhatia:Perturbation Bounds for Matrix Eigenvalues , SIAM (Classics in Applied Mathematics 53),ISBN 978-0-898716-31-3 (2007). 
