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三角錐数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
n=5 のときの三角錐数である35個の球。最初の5つの三角数に等しい個数の球を順番に段重ねしたものである。

三角錐数（さんかくすいすう、triangular pyramidal number）は球を右図のように三角錐の形にならべたとき、そこに含まれる球の総数にあたる自然数である。つまり三角数を1から小さい順に足した数のことである。四面体数（しめんたいすう、tetrahedral number）ともいう。

例： 1, 4 (=1+3), 10 (=1+3+6), 20 (=1+3+6+10), 35 (=1+3+6+10+15)

n 番目の三角錐数 Tn は1からn 番目の三角数n(n + 1)/2 までの和に等しいので

Tn=∑k=1nk(k+1)2=12(n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2)=n(n+1)(n+2)6{\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}+{\frac {n(n+1)}{2}}\right)\\&={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}\\\end{aligned}}}

また組み合わせの記号を用いるとTn=n+2C3{\displaystyle T_{n}={}_{n+2}{\rm {C}}_{3}\,} となる。

三角錐数を小さい順に列記すると

1,4,10,20,35,56,84,120,165,220,286,364,455,560,680,816,969, …（オンライン整数列大辞典の数列A292）。

性質

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  • 三角錐数でなおかつ四角錐数でもある数は 1 のみである。
  • 2つの連続する三角錐数の和は四角錐数になる。
  • 三角錐数の奇数番目は奇数の平方和、偶数番目は偶数の平方和で表される。(例.35=12+32+52、56=22+42+62)
奇数の時　∑k=1n(2k−1)2=(2n−1)⋅2n⋅(2n+1)6{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(2k-1)^{2}={\frac {(2n-1)\cdot 2n\cdot (2n+1)}{6}}}
偶数の時　∑k=1n(2k)2=2n(2n+1)(2n+2)6{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(2k)^{2}={\frac {2n(2n+1)(2n+2)}{6}}}
  • 三角錐数は奇数-偶数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。
(奇数…オンライン整数列大辞典の数列A015219、偶数…オンライン整数列大辞典の数列A015220)
パスカルの三角形
モナド(単数)の数列　1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,…,n−1C0{\displaystyle {}_{n-1}{\rm {C}}_{0}\,},…
自然数の数列　1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…,nC1{\displaystyle {}_{n}{\rm {C}}_{1}\,} ,…
三角数の数列　1,3,6,10,15,21,28,36,45,…,n+1C2{\displaystyle {}_{n+1}{\rm {C}}_{2}\,} ,…
三角錐数の数列　1,4,10,20,35,56,84,120,165,…,n+2C3{\displaystyle {}_{n+2}{\rm {C}}_{3}\,} ,…

となっている。左上（または右上）にある数列はその一つ右下（または左下）の数列の階差数列である。

∑k=1∞1k(k+1)(k+2)6=6∑k=1∞12(1k−2k+1+1k+2)=3{(⧸1⧸1−⧸2⧸2+⧸1⧸3)+(12−⧸2⧸3+⧸1⧸4)+(⧸1⧸3−⧸2⧸4+15)+(⧸1⧸4−25+16)+⋯}=32{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\frac {k(k+1)(k+2)}{6}}}&=6\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {2}{k+1}}+{\frac {1}{k+2}}\right)\\&=3{\bigg \{}\left({\frac {\color {Green}\not 1}{\color {Green}\not 1}}-{\frac {\color {Green}\not 2}{\color {Green}\not 2}}+{\frac {\not 1}{\not 3}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {\not 2}{\not 3}}+{\frac {\color {Red}\not 1}{\color {Red}\not 4}}\right)+\left({\frac {\not 1}{\not 3}}-{\frac {\color {Red}\not 2}{\color {Red}\not 4}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {\color {Red}\not 1}{\color {Red}\not 4}}-{\frac {2}{5}}+{\frac {1}{6}}\right)+\cdots {\bigg \}}\\&={\frac {3}{2}}\end{aligned}}}

関連項目

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Project:数学
Portal:数学

外部リンク

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