数学における多重算術数列,一般化算術数列（いっぱんかさんじゅつすうれつ、英:generalized arithmetic progression）または多次元算術数列は、自然数からなる有限多重数列であって、各変数に対応する成分がどれも算術数列（公差はそれぞれで異なってよい）となるものを言う。そのような多重数列全体の成す集合を線型集合 (linear set) とも呼ぶ。

例えば、初項17 に3 の倍数または5 の倍数を繰り返し加えたものは多重算術数列を成す。式で書けば、c,d₁,d₂, … は自然数の定数として、k₁,k₂, … は適当な範囲0 ≤k_i <n_i (∏_in_i =:n) を動く自然数変数とするとき、

${\displaystyle x_{k_1,k_2,\dots ,k_j}:=c+k_1{d}_1+k_2{d}_2+\cdots +k_j{d}_j}$

が有限多重算術数列である。取りうる添字の数j をこの多重数列の次元 (dimension) と言う。

より一般に、集合L =L(C;P) は

${\displaystyle x=(x_{k_1,k_2,\dots ,k_j});x_{k_1,k_2,\dots ,k_j}=c+\sum _{i=1}^j{k}_i{d}_i(c\in C;d_i\in P,k_i\in \mathbb{N})}$

なる形のNⁿ の元x 全体の成す集合とする。L が線型集合であるとは、C がただ一つの元からなり、かつP が有限となるときに言う。

Nⁿ の部分集合が半線型集合 (semilinear set) であるとは、それが有限個の線型集合の交わりに書けるときに言う。半線型集合の全体はちょうどプレスバーガー算術における定義可能 (definable) な集合の全体に一致する^[1]。

• フレイマンの定理（英語版）

• Nathanson, Melvyn B. (1996). Additive Number Theory: Inverse Problems and Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics. 165. Springer. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003 

• multidimensional arithmetic progression -PlanetMath.（英語）
• Generalized arithmetic progressions in OEIS Wiki

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