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ローレンツ力

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出典検索^?: "ローレンツ力" – ニュース ·書籍 ·スカラー ·CiNii ·J-STAGE ·NDL ·dlib.jp ·ジャパンサーチ ·TWL(2016年12月)

ローレンツ力（ローレンツりょく、英:Lorentz force）は、電磁場中で運動する荷電粒子が受ける力のことである。名前はヘンドリック・ローレンツに由来する。

概要

電場 ${\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})$ と磁束密度（磁場） ${\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})$ の空間中を運動する荷電粒子（位置 ${\boldsymbol {r}}(t)$ 、速度 ${\boldsymbol {v}}(t)$ 、電荷 $q {\displaystyle q}$ ）に作用する電磁気的な力 ${\boldsymbol {F}}(t)$ は

{\boldsymbol {F}}(t)=q{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}(t))+q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}(t))=q{\big \{}{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}(t))+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}(t)){\big \}}

であり、この ${\boldsymbol {F}}$ をローレンツ力と言う。ここで、「×」はベクトル積である。

上式で右辺第一項は電場中で荷電粒子が受ける力でありクーロン力とも呼ばれる。なお、第二項は磁場中で荷電粒子が受ける力

q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}

であるが、ローレンツ力という用語がこの項のみを指すものとされる場合もある。

荷電粒子が加速度運動している場合、その荷電粒子自身による電磁場の効果が存在するが^[要校閲]、その影響はごく小さい場合が多いので通常は無視されるか、ごく小さなものとして扱われる^{[疑問点 –ノート]}。（参考:制動放射、ラーモアの公式放射の反作用、en:Abraham–Lorentz force）

ローレンツ力の向き

ローレンツ力の向きについて、電場による力 $(q{\boldsymbol {E}})$ は電場と平行である。また、磁場による力 $(q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})$ は右手の法則に従い、下図のようにフレミングの左手の法則で表される。

磁場による力の向きを表すフレミングの左手の法則

右手の姿で示す方法

また、右手の姿で示す方法もある。

ローレンツ力と仕事

ローレンツ力のする仕事は

\mathrm {d} W={\boldsymbol {F}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=q({\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}

である。ここで、磁場による力の項は、

\mathrm {d} W_{\mathrm {m} }=q({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=q({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {v}}~\mathrm {d} t=0

であり、磁場は仕事をしない。

電場による力の項は、

\mathrm {d} W_{\mathrm {e} }=q{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=q{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {v}}~\mathrm {d} t=w\,\mathrm {d} t

である。この電場による仕事量は、巨視的に見るとジュール熱に相当する。

磁場による力は速度と直交する方向に生じるので、運動の向きを変えるだけで粒子の運動エネルギーは変化しない。エネルギーの移動は電場により生じている。

ローレンツ力と電磁力

電荷q_i の時刻t における位置をr_i(t)、速度をv_i(t) とすると、電荷密度ρ、電流密度j は、

{\begin{aligned}\rho (t,{\boldsymbol {x}})&=\sum _{i}q_{i}\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))\\{\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {x}})&=\sum _{i}q_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t))\end{aligned}}

と表すことができる。δ(x)はディラックのデルタ関数である。

ローレンツ力Fは多数の粒子系に対しては

{\boldsymbol {F}}(t)=\sum _{i}q_{i}\left({\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))+{\boldsymbol {v}}_{i}(t)\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))\right)

となる。ここで、電場Eと磁束密度Bを

{\begin{aligned}{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))&=\int \mathrm {d} ^{3}x\,\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t)){\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})\\{\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}}_{i}(t))&=\int \mathrm {d} ^{3}x\,\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}_{i}(t)){\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})\end{aligned}}

として、和と積分を入れ替えると、

{\boldsymbol {F}}(t)=\int \mathrm {d} ^{3}x\,\left(\rho (t,{\boldsymbol {x}}){\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {j}}(t,{\boldsymbol {x}})\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {x}})\right)

このようにミクロな粒子に作用する力(ローレンツ力)から、マクロな粒子系に作用する力(クーロン力及びアンペール力)が導かれた。

相対論的な表示

ローレンツ力を相対論的に記述すると

{\dot {p}}_{\mu }=-q{\dot {X}}^{\nu }F_{\nu \mu }(X)

となる。ここでX = (ct,r) は粒子の相対論的な位置、p = (E/c,p) は粒子の相対論的な4元運動量、ドットは運動のパラメータによる微分である。F は電場と磁場を合わせた電磁場テンソルで、その成分は具体的に

(F_{01},F_{02},F_{03})=(-E_{1}/c,-E_{2}/c,-E_{3}/c),~(F_{23},F_{31},F_{12})=(B_{1},B_{2},B_{3})

と表される。

位置の微分は非相対論的な速度v によって

{\dot {X}}^{\mu }=(c{\dot {t}},{\dot {t}}{\boldsymbol {v}})

と表される。従って、この式の空間成分は

{\dot {\boldsymbol {p}}}=q{\dot {t}}{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}})+q{\dot {t}}{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})

となる。非相対論的な力f は

{\boldsymbol {f}}={\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\frac {\dot {\boldsymbol {p}}}{\dot {t}}}=q{\boldsymbol {E}}(t,{\boldsymbol {r}})+q{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}(t,{\boldsymbol {r}})

となる。

関連項目

表話編歴電磁気学
基本	電気磁性
静電気学	電荷クーロンの法則電場電束ガウスの法則電位静電誘導電気双極子分極電荷
静磁気学	アンペールの法則電流磁場磁化磁束ビオ・サバールの法則磁気モーメントガウスの法則
電気力学	自由空間ローレンツ力起電力電磁誘導ファラデーの法則レンツの法則変位電流マクスウェルの方程式電磁場電磁波リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル（英語版）マクスウェル・テンソル渦電流
電気回路	電気伝導電圧キルヒホッフの法則電気抵抗静電容量インダクタンス交流インピーダンスアドミタンス共鳴空洞導波管
共変定式	電磁場テンソル 4元電流密度電磁ポテンシャル電磁場の応力エネルギーテンソル（英語版）
人物	アンペールクーロンファラデーガウスオームヘヴィサイドヘンリーヘルツキルヒホフローレンツマクスウェルテスラボルタヴェーバーエルステッド
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