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プランク長

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出典検索?: "プランク長" – ニュース ·書籍 ·スカラー ·CiNii ·J-STAGE ·NDL ·dlib.jp ·ジャパンサーチ ·TWL(2012年1月)
プランク長
Planck length
記号ℓP{\displaystyle \ell _{P}}
値1mP=1.616229(38)×10−35 m
相対標準不確かさ2.3×10−5
語源マックス・プランク
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プランク長（プランクちょう、英:Planck length）は、長さのプランク単位である。記号ℓP{\displaystyle \ell _{P}} で表し、単位はmPである。コンプトン波長をπ{\displaystyle \pi } で割ったものとシュワルツシルト半径とが等しい長さとなる質量で定義される。このときの質量をプランク質量という。

導出

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質量m{\displaystyle m}、光速度をc{\displaystyle c}、万有引力定数をG{\displaystyle G} とすると、そのシュワルツシルト半径rs{\displaystyle r_{s}} は、

rs=2Gmc2,{\displaystyle r_{s}={2Gm \over c^{2}},}

と表される。一方、質量m{\displaystyle m} のコンプトン波長λc{\displaystyle \lambda _{c}} はプランク定数h{\displaystyle h} を使って

λc=hmc,{\displaystyle \lambda _{c}={h \over mc},}

と表される。定義rS=λCπ{\displaystyle r_{S}={\lambda _{C} \over \pi }} より、

rS=2Gmc2=hπmc=2ℏmc,{\displaystyle r_{S}={2Gm \over c^{2}}={h \over {\pi m}c}={2\hbar \over {m}c},}

ここで、ℏ=h2π{\displaystyle \hbar ={h \over {2\pi }}} （＝ディラック定数）である。すると、質量m{\displaystyle m}、シュワルツシルト半径rS{\displaystyle r_{S}} はそれぞれ、

m=ℏcG,rS=2ℏGc3,{\displaystyle m={\sqrt {\hbar c \over G}},r_{S}=2{\sqrt {\hbar G \over c^{3}}},}

となる。このとき、

ℓ=λC2π,{\displaystyle \ell ={\lambda _{C} \over 2{\pi }},}

をプランク単位系ではプランク長といい、記号ℓP{\displaystyle \ell _{P}} （単位 :mP）で表す。国際単位系に換算すると、

ℓPmp=ℓPℏGc3≈ℓP×1.616 229(38)×10−35m.{\displaystyle \ell _{P}\,{\mbox{m}}_{p}={\ell _{P}{\sqrt {\hbar G \over c^{3}}}}\thickapprox \ell _{P}\times 1.616\ 229(38)\times 10^{-35}\,{\mbox{m}}.}

となる[1]。

背景

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この単位は自然単位による計測系を作ろうとしていたマックス・プランクによって作られた[2]。プランク長はプランク質量に基づくものである。この単位が提唱されたときには量子力学や一般相対性理論は知られていなかったが、後に、プランク長のスケールでは重力が量子力学の影響を示すことが明らかとなった。そしてこの事から、重力が重力子によって媒介されていると言う重力相互作用の理論が予測された。

観測可能な宇宙の推定の大きさ（共動距離：直径 930億光年 =8.798×1026 m）は、5.444×1061 プランクメートルである。量子カオス系においてはプランク長よりも小さいスケールが現れることがある。大きさがないといわれている素粒子のシュワルツシルト半径は1mP以下であるが、1mP以下の長さが存在するか否かは判明していないことなどから実際に素粒子がシュワルツシルト半径を形成しているかどうかは定かではない。

脚注

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  1. ^（括弧内は標準不確かさ）。Planck length 2014年CODATA推奨値
  2. ^「プランク長」『デジタル大辞泉』。https://kotobank.jp/word/%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%AF%E9%95%B7。コトバンクより2022年2月3日閲覧。 
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