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ハイパー演算子（ハイパーえんざんし、hyper operator）は、加算、乗算、冪乗を一般化した演算のための演算子である。

表記の制約のため、以後丸囲み文字(①,②,③,…)を丸かっこ入り文字 (n) で表すものとする。

加算演算子を上付き(1) (a +b =a⁽¹⁾b)、乗算演算子を上付き(2) (ab =a⁽²⁾b)、冪乗演算子を上付き(3) (a^b =a⁽³⁾b)で表し、それらを一般の非負整数nに一般化した上付き(n) (a⁽ⁿ⁾b) がハイパー演算子である。

それらを関数形式で表す hypern、nを変数とした3変数関数 hyper も定義される。hyper1は加算、hyper2は乗算、hyper3は冪乗であり、さらにhyper4はテトレーション (tetration)、hyper5はペンテーション (pentation)、hyper6はヘキセーション (hexation)･･･と呼ばれる。

n = 0～4 の例は次のとおり。

hyper0は、第2被演算子b の後者関数（第1被演算子a は無視される）とする。ただし、他の定義を使うこともある。

n > 4 の場合は次のように定める。これはn > 1 の場合全てに成り立つが、n = 1 では成り立たない。

${\displaystyle \mathrm{hyper}n\left(a,b\right)=\mathrm{hyper}\left(a,n,b\right)=a^{\left(n\right)}b=\underset{b\text{ copies of }a}{\underbrace{a^{\left(n-1\right)}{a}^{\left(n-1\right)}{\cdots }^{\left(n-1\right)}a}}}$

n ≥ 3 に対しては、クヌースの矢印表記やコンウェイのチェーン表記との間に次の関係が成り立つ。

${\displaystyle \mathrm{hyper}(a,n,b)=a^{(n)}b=a{\uparrow }^{n-2}b=a\to b\to (n-2)\text{ when }n\ge 3}$

また、n ≥ 1 に対しては、Bowerの拡張演算子 (Jonathan Bowers' Extended Operator) との間に次の関係が成り立つ。

${\displaystyle \mathrm{hyper}(a,n,b)=a^{(n)}b=a⟨n⟩b\text{ when }n\ge 1}$

次のように再帰的に定義できる。b = 0のときの例外処理がnによって違うことに注意。

冪乗を指数関数に拡張したような、b、n の実数への自然な拡張はなされていない。

n ≥ 3（冪乗） 以上では結合律が成り立たないので、右からの優先順位が定められていて、

${\displaystyle \mathrm{hyper}\left(n+1\right)\left(a,b\right)=a^{\left(n+1\right)}b=\underset{b\text{ copies of }a}{\underbrace{a^{\left(n\right)}{a}^{\left(n\right)}{\cdots }^{\left(n\right)}{a}^{\left(n\right)}a}}=\underset{b\text{ copies of }a}{\underbrace{a^{\left(n\right)}\left(a^{\left(n\right)}{\cdots }^{\left(n\right)}\left(a^{\left(n\right)}a\right)\cdots \right)}}}$

である。

それに対し、ハイパー演算子を下付きにすることで、優先順位を左からとする演算を表せる。つまり、

${\displaystyle {\mathrm{hyper}}_{n+1}\left(a,b\right)=a_{\left(n+1\right)}b=\underset{b\text{ copies of }a}{\underbrace{{\left(\cdots {\left(a^{\left(n\right)}a\right)}^{\left(n\right)}{\cdots }^{\left(n\right)}a\right)}^{\left(n\right)}a}}}$

である。

ただし、下付きハイパーn+1演算子はハイパーn演算子を使って簡単に表せる、たとえば

${\displaystyle a_{\left(4\right)}b=a_{\left(3\right)}{a}_{\left(3\right)}\left(b-1\right)=a^{a^{\left(b-1\right)}}}$

（冪乗法則より）なので、本質的に新しい演算ではなく、下付きハイパー演算子の用途はあまりない。

• Large Numbers（英語）

表 話 編 歴 二項演算
四則演算	加法 減法 乗法 除法
ハイパー演算	加法 乗法 冪乗 テトレーション ペンテーション
その他	対数 二項係数 スターリング数 階乗冪 剰余演算 最小公倍数 最大公約数 平方剰余記号
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• 出典を必要とする記事/2017年12月
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