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ウィーナー過程

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

この項目では、確率過程について説明しています。物理現象については「ブラウン運動」をご覧ください。

ウィーナー過程（ウィーナーかてい、（英:Wiener process）は、ノーバート・ウィーナーの名にちなんだ連続時間確率過程である。数学におけるブラウン運動（ブラウンうんどう、（英:Brownian motion）とも。

概要

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ウィーナー過程は確率過程の一種であり、レヴィ過程の代表例である。連続時間マルチンゲールの研究から生じ、様々な確率過程の基礎となる確率過程である。確率解析、拡散過程、ポテンシャル論においても重要な役割を果たす。

ウィーナー過程は応用数学、物理学、計算機科学、経済学などにもしばしば現れる（⇒#応用）。

特徴づけ

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ウィーナー過程W_t は次の条件

W₀ = 0
W_t はほとんど確実に（確率 1 で）連続
W_t は独立増分を持ち、0 ≤s <t なる任意のs,t に対して、W_t −W_s は正規分布N(0,t −s) に従う

によって特徴付けられる。ここで、N(μ, σ²) は期待値μ,分散σ² の正規分布を表す。また独立増分とは、「0 ≤s ≤t ≤s′ ≤t′ であるならば、W_t −W_s とW_t′ −W_s′ とが独立な確率変数となる」ことを意味する。

レヴィ条件(Lévy characterization) からウィーナー過程を特徴づけられる。この場合、ウィーナー過程は、ほとんど確実に連続なマルチンゲールでW₀ = 0 かつ二次変分[W_t,W_t] がt になるものとして特徴づけられる。

また、係数が標準正規分布N(0, 1) に従う独立な確率変数であるような正弦級数で表されるスペクトル表現を持つ確率過程としてウィーナー過程を特徴付ける方法もある。このような表現はカルーネン-レーヴェの定理（英語版）を用いることで得られる。

平均 0, 分散 1 の独立同分布な離散時間連鎖のスケーリングの極限は、ウィーナー過程に確率収束する（ドンスカーの定理（英語版））。酔歩と同様にウィーナー過程は、一次元または二次元において再帰的(recurrent) （つまり、出発点の半径任意の近傍に確率 1 で無限回戻ってくる）となるが、三次元以上では過渡的である。酔歩と異なる点は、それがスケール不変であることである。つまりいかなる非零定数α ≠ 0 についても

$\alpha ^{-1}W_{\alpha ^{2}t}$

はウィーナー過程となる。ウィーナー測度はウィーナー過程によって誘導される、g(0) = 0 を満たす連続関数g たちの成す関数空間上の確率分布である。ウィーナー測度に基づいて定義される積分をウィーナー積分と呼ぶことがある。

一次元ウィーナー過程

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時刻t における確率密度関数は

$f_{X}(x;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \alpha t}}}e^{-x^{2}/{2\alpha t}}$

期待値は

$\mu _{X}=0$

時刻t₁,t₂ 間の共分散・相関は

$R_{XX}(t_{1},t_{2})=K_{XX}(t_{1},t_{2})=\alpha \min\{t_{1},t_{2}\}\,$

でそれぞれ与えられる^[1]。

応用

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この節は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）
出典検索^?: "ウィーナー過程" – ニュース ·書籍 ·スカラー ·CiNii ·J-STAGE ·NDL ·dlib.jp ·ジャパンサーチ ·TWL(2025年2月)

ウィーナー過程は様々な分野で応用される。以下はその一例である：

応用数学
- ホワイトノイズの積分
物理学
- ブラウン運動: 浮遊する微粒子の拡散現象。ウィーナー過程がこの現象の直接的な数理モデル。
- 拡散:フォッカー-プランク方程式やランジュバン方程式
工学
- レッドノイズ:周波数スペクトルが $f^{-2}$ に比例するノイズ。ウィーナー過程がこのノイズの直接的な数理モデル。
- 制御理論: 未知の力 (unknown force) などの数理モデル
経済学
- ブラックとショールズのオプション価格モデル
フィルタリング理論: 機器誤差の表現

こういった応用は量子力学における経路積分の厳密な定式化（ウィーナー積分として表されるシュレーディンガー方程式の解であるファインマン-カッツの公式によるもの）や宇宙論における永久インフレーションの研究の基礎を形成している。

出典

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[脚注の使い方]

^Stark & Woods 2002.

参考文献

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Kleinert, Hagen (2004). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets (4th ed.). World Scientific. ISBN 981-238-107-4. http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b5
Stark, Henry; Woods, John W. (2002). Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-020071-9

確率論

確率の歴史

確率の定義

客観確率	統計的確率古典的確率公理的確率
主観確率	ベイズ確率
確率の拡張	外確率負の確率

基礎概念

モデル	試行結果事象標本空間確率測度確率空間
確率変数	確率変数の収束
確率分布	離散確率分布連続確率分布同時分布周辺分布条件付き確率分布独立同分布
関数	確率質量関数確率密度関数累積分布関数特性関数
用語	独立期待値モーメント条件付き確率条件付き期待値