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固有振動

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
太鼓の表面における固有振動

固有振動（こゆうしんどう、英語:characteristic vibration, normal mode）とは、ある系が自由振動を行う際に現れる、いくつかの特定の振動形式のことである[1]。固有振動の振動数を固有振動数という。

代表的な振動系の固有振動

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ばね‐質量系の固有振動

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ばね‐質量系の振動

質量mの物体を一端を固定したばね定数kのばねの他端に取り付けて、摩擦の無い水平面上に置く。右向きを正にx軸をとり、ばねが自然長の時の物体の位置を0とする。物体を正の向きに移動させるとばねが伸び、負の向きに移動させるとばねは縮む。いずれもばねはフックの法則に従うため、物体の変位をx、物体がばねから受ける力をFとすると

F=−kx{\displaystyle F=-kx} … (1-1)

が成り立つ。また物体の加速度をxの時間tによる2階微分で表すと、ニュートンの運動方程式は

md2xdt2=F{\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F} … (1-2)

である。(1-1)と(1-2)から

md2xdt2=−kx{\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx} … (1-3)

を得る。この2階微分方程式を解くと一般解は

x=Asin⁡(ωt+ϕ){\displaystyle x=A\sin(\omega t+\phi )} … (1-4)

となる。ただしA,ω,ϕ{\displaystyle A,\omega ,\phi }は定数でω=k/m{\displaystyle \omega ={\sqrt {k/m}}}である。このときのωがばね-質量系の固有角振動数である。

単振り子の固有振動

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単振り子の様子

単振り子は微小振動をしているとき水平面内で単振動をしているとみなすことができる。おもり(質点とみなす)の質量をm、糸の長さをℓとする。糸が鉛直線となす角度θが十分小さいとき、水平方向にx軸をとると変位は

x=lsin⁡θ≈lθ{\displaystyle x=l\sin \theta \approx l\theta } … (2-1)

水平方向の力は

F=−mgsin⁡θ≈−mgθ{\displaystyle F=-mg\sin \theta \approx -mg\theta } … (2-2)

物体の加速度をxの時間tによる2階微分で表すと、ニュートンの運動方程式は

md2xdt2=F{\displaystyle m{d^{2}x \over dt^{2}}=F} … (2-3)

である。(2-1)、(2-2)、(2-3)から

−mgθ=mld2θdt2{\displaystyle -mg\theta =ml{d^{2}\theta \over dt^{2}}}

d2θdt2=−glθ{\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}={-{g \over l}\theta }} … (2-4)

を得る。この2階微分方程式を解くと一般解は

θ=Asin⁡(ωt+ϕ){\displaystyle \theta =A\sin(\omega t+\phi )} … (2-5)

となる。ただしA,ω,ϕ{\displaystyle A,\omega ,\phi }は定数でω=g/l{\displaystyle \omega ={\sqrt {g/l}}}である。このときのωが単振り子の固有角振動数である。

弦の固有振動

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線密度ρ(kg/m)で張力T(N)で引っ張られている弦に関して、v=T/ρ{\displaystyle v={\sqrt {T/\rho }}}とおくと

∂2y∂x2=1v2∂2y∂t2{\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}={1 \over {v^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}}

の波動方程式を得る。この波動方程式を解くと、

yn(x,t)=Ansin⁡nπxlsin⁡(ωnt+ϕn)(n=1,2,3,…){\displaystyle y_{n}(x,t)=A_{n}\sin {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})\quad (n=1,2,3,\ldots )}… (3-1)

このような各yn(x,t){\displaystyle y_{n}(x,t)}を基準モードという。また各y(x,t)は線形微分方程式の解であるから、それらの和もまた解である。したがって一般解は

y(x,t)=∑n=1∞Ansin⁡nπxlsin⁡(ωnt+ϕn){\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} … (3-2)

(3-1)においてn=1,2,3の基準モードは右図のような振動を示す。

n=1のとき第1調和振動
n=2のとき第2調和振動
n=3のとき第3調和振動

またこの系における固有角振動数は

ωn=nπvl=nπlTρ{\displaystyle \omega _{n}={n\pi v \over l}={n\pi \over l}{\sqrt {T \over \rho }}}

である。

気柱の固有振動

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空気の密度をρ(g/㎥)、体積弾性率をK(N/㎡)、v=K/ρ{\displaystyle v={\sqrt {K/\rho }}}とする。ここでは開口で実際に生じる開口端補正を無視して考える。

一端が閉口で他端が開口の管

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∂2y∂x2=1v2∂2y∂t2{\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}={1 \over {v^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}}

の波動方程式を得る。この波動方程式を解くと、

yn(x,t)=Ansin⁡(2n−1)πx2lsin⁡(ωnt+ϕn)(n=1,2,3,…){\displaystyle y_{n}(x,t)=A_{n}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})\quad (n=1,2,3,\ldots )}

また各y(x,t)は線形微分方程式の解であるから、それらの和もまた解である。したがって一般解は

y(x,t)=∑n=1∞Ansin⁡(2n−1)πx2lsin⁡(ωnt+ϕn){\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})}

この系における固有角振動数は

ωn=(2n−1)πv2l=(2n−1)π2lKρ{\displaystyle \omega _{n}={(2n-1)\pi v \over 2l}={(2n-1)\pi \over 2l}{\sqrt {K \over \rho }}}

である。

両端が開口の管

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∂2y∂x2=1v2∂2y∂t2{\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}={1 \over {v^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}}

の波動方程式を得る。この波動方程式を解くと、

yn(x,t)=Ancos⁡nπxlsin⁡(ωnt+ϕn)(n=1,2,3,…){\displaystyle y_{n}(x,t)=A_{n}\cos {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})\quad (n=1,2,3,\ldots )}

また各y(x,t)は線形微分方程式の解であるから、それらの和もまた解である。したがって一般解は

y(x,t)=∑n=1∞Ancos⁡nπxlsin⁡(ωnt+ϕn){\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})}

この系における固有角振動数は

ωn=nπvl=nπlKρ{\displaystyle \omega _{n}={n\pi v \over l}={n\pi \over l}{\sqrt {K \over \rho }}}

である。

付録

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(1-4)式が(1-3)式の解であることの証明

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dxdt=Aωcos⁡(ωt+ϕ){\displaystyle {dx \over dt}=A\omega \,\cos(\omega t+\phi )}

d2xdt2=−Aω2sin⁡(ωt+ϕ)=−ω2x{\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}=-A\omega ^{2}\,\sin(\omega t+\phi )=-\omega ^{2}x} … (1-5)

(1-2)と(1-5)から

−mω2x=−kx{\displaystyle -m\omega ^{2}x=-kx} … (1-6)

(1-6)式でmω2=k{\displaystyle m\omega ^{2}=k}を満足していれば解であることがいえる。

(2-5)式が(2-4)式の解であることの証明

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dθdt=Aωcos⁡(ωt+ϕ){\displaystyle {d\theta \over dt}=A\omega \,\cos(\omega t+\phi )}

d2θdt2=−Aω2sin⁡(ωt+ϕ)=−ω2θ{\displaystyle {d^{2}\theta \over dt^{2}}=-A\omega ^{2}\,\sin(\omega t+\phi )=-\omega ^{2}\theta } … (2-6)

(2-4)と(2-6)から

−ω2θ=−glθ{\displaystyle -\omega ^{2}\theta =-{g \over l}\theta } … (2-7)

(2-7)式でω2=gl{\displaystyle \omega ^{2}={g \over l}}を満足していれば解であることがいえる。

弦に関する波動方程式

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振動する弦の微小部分

波動方程式の導出

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　線密度ρ(kg/m)で張力T(N)で引っ張られている弦がXY平面上にあるとする。その弦のxとx+δxの微小部分について考える。位置xにおける弦の接線とx軸のなす角をθx{\displaystyle \theta _{x}}、位置x+δxにおける弦の接線とx軸のなす角をθx+δx{\displaystyle \theta _{x+\delta x}}とすると張力TA{\displaystyle T_{A}}とTB{\displaystyle T_{B}}のx方向成分、y方向成分は次のように表すことができる。

TAx=−Tcos⁡θx{\displaystyle T_{A}^{x}=-T\cos \theta _{x}}

TAy=−Tsin⁡θx{\displaystyle T_{A}^{y}=-T\sin \theta _{x}}

TBx=Tcos⁡θ(x+δx){\displaystyle T_{B}^{x}=T\cos \theta _{(x+\delta x)}}

TBy=Tsin⁡θ(x+δx){\displaystyle T_{B}^{y}=T\sin \theta _{(x+\delta x)}}

　したがってy方向の力Fy{\displaystyle F_{y}}は

Fy=TAy+TBy=Tsin⁡θ(x+δx)−Tsin⁡θx{\displaystyle F_{y}=T_{A}^{y}+T_{B}^{y}=T\sin \theta _{(x+\delta x)}-T\sin \theta _{x}} … (3-1)

ここでTsin⁡θ(x+δx){\displaystyle T\sin \theta _{(x+\delta x)}}にテイラー級数展開を適用すると

Tsin⁡θ(x+δx)=Tsin⁡θx+∂Tsin⁡θx∂xδx+∂2Tsin⁡θx2∂x2(δx)2+⋯{\displaystyle T\sin \theta _{(x+\delta x)}=T\sin \theta _{x}+{\frac {\partial T\sin \theta _{x}}{\partial x}}\delta x+{\frac {{\partial }^{2}T\sin \theta _{x}}{2\partial x^{2}}}(\delta x)^{2}+\cdots }

δxは微小であるため2次以上の項を無視できる。よって

Tsin⁡θ(x+δx)=Tsin⁡θx+∂Tsin⁡θx∂xδx{\displaystyle T\sin \theta _{(x+\delta x)}=T\sin \theta _{x}+{\frac {\partial T\sin \theta _{x}}{\partial x}}\delta x} … (3-2)

(3-2)を(3-1)に代入すると、

Fy=Tsin⁡θx+∂Tsin⁡θx∂xδx−Tsin⁡θx=∂Tsin⁡θx∂xδx{\displaystyle F_{y}=T\sin \theta _{x}+{\frac {\partial T\sin \theta _{x}}{\partial x}}\delta x-T\sin \theta _{x}={\frac {\partial T\sin \theta _{x}}{\partial x}}\delta x}

θ十分に小さいときsin⁡θ≈tan⁡θ{\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta }と近似できる。またtan⁡θ=∂y∂x{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\partial y}{\partial x}}}と置き換えられるから

Fy=T∂2y∂x2δx{\displaystyle F_{y}=T{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}\delta _{x}} … (3-3)

線分δs{\displaystyle \delta s}の質量はρδs{\displaystyle \rho \delta s}であるから[ニュートンの運動方程式は

T∂2y∂x2δx=ρδs∂2y∂t2{\displaystyle T{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}\delta x=\rho \delta s{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}}

δyが小さいからδs≈δx{\displaystyle \delta s\approx \delta x} ,さらにv{\displaystyle v}=Tρ{\displaystyle {\sqrt {T \over \rho }}}とおくと

∂2y∂x2=1v2∂2y∂t2{\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}={1 \over {v^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}} … (3-4)

の波動方程式を得る。

波動方程式の解法

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波動方程式を解くために、変数分離法を用いる。関数y(x,t)がxの関数X(x)とtの関数T(t)の積の形で表されると仮定して

y(x,t)=X(x)T(t){\displaystyle y(x,t)=X(x)T(t)}… (3-5)

とおく。(3-5)を(3-4)に代入して整理し、両辺をX(x)T(t)でわると

1X(x)d2X(x)dx2=1v2T(t)d2T(t)dt2{\displaystyle {1 \over {X(x)}}{\frac {{d}^{2}X(x)}{dx^{2}}}={1 \over {v^{2}T(t)}}{\frac {{d}^{2}T(t)}{dt^{2}}}}… (3-6)

このとき左辺はxのみの関数、右辺はtのみの関数であり、xとtは独立変数である。両辺が等しいということは両辺の値が定数であるということになる。この定数をKとおくと(3-6)から

d2X(x)dx2−KX(x)=0{\displaystyle {\frac {{d}^{2}X(x)}{dx^{2}}}-KX(x)=0}… (3-7)

d2T(t)dt2−Kv2T(t)=0{\displaystyle {\frac {{d}^{2}T(t)}{dt^{2}}}-Kv^{2}T(t)=0}… (3-8)

と書きかえられる。

ⅰ)K＝0のとき

d2X(x)dx2=0{\displaystyle {\frac {{d}^{2}X(x)}{dx^{2}}}=0}

となる。この微分方程式の一般解はX(x)=ax+b{\displaystyle X(x)=ax+b}である。

ⅱ)K>0のとき

実数の定数k用いてK=k2{\displaystyle K=k^{2}}とすると

d2X(x)dx2−k2X(x)=0{\displaystyle {\frac {{d}^{2}X(x)}{dx^{2}}}-k^{2}X(x)=0}… (3-9)

と表される。ここでX(x)=eαx{\displaystyle X(x)=e^{\alpha x}}とおくと、d2X(x)dx2=α2eαx{\displaystyle {\frac {{d}^{2}X(x)}{dx^{2}}}={\alpha }^{2}e^{\alpha x}}なので(3-9)は(α2−k2)X(x)=0{\displaystyle ({\alpha }^{2}-k^{2})X(x)=0}と書きかえられる。X(x)は任意の関数であるからα2−k2=0{\displaystyle {\alpha }^{2}-k^{2}=0}を考える。つまりα=±k{\displaystyle \alpha =\pm k}である。したがって解はX(x)=ekx{\displaystyle X(x)=e^{kx}}とX(x)=e−kx{\displaystyle X(x)=e^{-kx}}であり、またその線形結合のX(x)=C1ekx+C2e−kx{\displaystyle X(x)=C_{1}e^{kx}+C_{2}e^{-kx}}も解である。k=K{\displaystyle k={\sqrt {K}}}から

X(x)=C1eKx+C2e−Kx(C1,C2{\displaystyle X(x)=C_{1}e^{{\sqrt {K}}x}+C_{2}e^{-{\sqrt {K}}x}\quad (C_{1},C_{2}}は定数)


ⅲ)K<0のとき

実数の定数k用いてK=−k2{\displaystyle K=-k^{2}}とすると

d2X(x)dx2+k2X(x)=0{\displaystyle {\frac {{d}^{2}X(x)}{dx^{2}}}+k^{2}X(x)=0}… (3-10)

と表される。ここでX(x)=eαx{\displaystyle X(x)=e^{\alpha x}}とおくと、d2X(x)dx2=α2eαx{\displaystyle {\frac {{d}^{2}X(x)}{dx^{2}}}={\alpha }^{2}e^{\alpha x}}なので(3-10)は(α2+k2)X(x)=0{\displaystyle ({\alpha }^{2}+k^{2})X(x)=0}と書きかえられる。X(x)は任意の関数であるからα2+k2=0{\displaystyle {\alpha }^{2}+k^{2}=0}を考える。つまりα=±ik{\displaystyle \alpha =\pm ik}である。したがって解はX(x)=eikx{\displaystyle X(x)=e^{ikx}}とX(x)=e−ikx{\displaystyle X(x)=e^{-ikx}}であり、またその線形結合のX(x)=C1eikx+C2e−ikx{\displaystyle X(x)=C_{1}e^{ikx}+C_{2}e^{-ikx}}も解である。k=−K{\displaystyle k={\sqrt {-K}}}から

X(x)=C1ei−Kx+C2e−i−Kx(C1,C2{\displaystyle X(x)=C_{1}e^{i{\sqrt {-K}}x}+C_{2}e^{-i{\sqrt {-K}}x}\quad (C_{1},C_{2}}は定数)

オイラーの公式を適用すると

X(x)=C1(cos⁡−Kx+isin⁡−Kx)+C2(cos⁡−Kx−isin⁡−Kx)=C3cos⁡−Kx+C4sin⁡−Kx{\displaystyle X(x)=C_{1}(\cos {{\sqrt {-K}}x}+i\sin {{\sqrt {-K}}x})+C_{2}(\cos {{\sqrt {-K}}x}-i\sin {{\sqrt {-K}}x})=C_{3}\cos {{\sqrt {-K}}x}+C_{4}\sin {{\sqrt {-K}}x}}

(C3=C1+C2,C4=iC1−iC2{\displaystyle C_{3}=C_{1}+C_{2},C_{4}=iC_{1}-iC_{2}}はそれぞれ定数)

ⅰ)～ⅲ)から

K=0のとき…X(x)=ax+b{\displaystyle X(x)=ax+b}… (3-11)
K>0のとき…X(x)=C1eKx+C2e−Kx{\displaystyle X(x)=C_{1}e^{{\sqrt {K}}x}+C_{2}e^{-{\sqrt {K}}x}} … (3-12)
K<0のとき…X(x)=C3cos⁡−Kx+C4sin⁡−Kx{\displaystyle X(x)=C_{3}\cos {{\sqrt {-K}}x}+C_{4}\sin {{\sqrt {-K}}x}}… (3-13)

両端固定の長さl{\displaystyle l}の弦について考えると、両端固定による条件は

y(0,t)=0{\displaystyle y(0,t)=0} andy(l,t)=0{\displaystyle y(l,t)=0}… (3-14)

(3-11)に条件(3-14)を与えると

X(x)=0{\displaystyle X(x)=0}

(3-12)に条件(3-14)を与えると

X(x)=0{\displaystyle X(x)=0}

(3-13)に条件(3-14)を与えると

X(x)=0{\displaystyle X(x)=0} orX(x)=C4sin⁡nπxl{\displaystyle X(x)=C_{4}\sin {n\pi x \over l}}

X(x)=0{\displaystyle X(x)=0}は弦が振動していない様子を表すので、振動する弦の解は

X(x)=C4sin⁡nπxl(n=1,2,3,…){\displaystyle X(x)=C_{4}\sin {n\pi x \over l}\quad (n=1,2,3,\ldots )} … (3-15)

である。

d2T(t)dt2=−k2v2T(t){\displaystyle {\frac {{d}^{2}T(t)}{dt^{2}}}=-k^{2}v^{2}T(t)}… (3-16)

と表される。この2階微分方程式を解くと一般解は

T(t)=C5sin⁡(ωnt+ϕn){\displaystyle T(t)=C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})}… (3-17)

となる。ただし、C5{\displaystyle C_{5}},ωn{\displaystyle \omega _{n}},ϕn{\displaystyle \phi _{n}}は定数で、ωn=kv=nπvl{\displaystyle \omega _{n}=kv={n\pi v \over l}}である。

(3-15)、(3-17)から

yn(x,t)=X(x)T(t)=C4sin⁡nπxlC5sin⁡(ωnt+ϕn)=Ansin⁡nπxlsin⁡(ωnt+ϕn)(n=1,2,3,…){\displaystyle y_{n}(x,t)=X(x)T(t)=C_{4}\sin {n\pi x \over l}C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})=A_{n}\sin {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})\quad (n=1,2,3,\ldots )} … (3-18)

また各y(x,t)は線形微分方程式の解であるから、それらの和もまた解である。したがって一般解は

y(x,t)=∑n=1∞Ansin⁡nπxlsin⁡(ωnt+ϕn){\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} … (3-19)

気柱に関する波動方程式

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波動方程式の導出

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断面積Sの円筒の中の空気の振動を考える。空気の密度をρ[g/㎥]、空気のx軸方向の変位をy(x,t)とする。大気圧をP0{\displaystyle P_{0}}とすると、位置xにおける圧力はP0+δP(x,t){\displaystyle P_{0}+\delta P(x,t)}と表される。

気柱の変位

この円筒の中のxとx+δxの微小部分について考える。空気が振動していないとき微小部分の体積はV=Sδxである。空気が振動したときの体積の変化は

δV=S(y(x+δx,t)−y(x,t)){\displaystyle \delta V=S(y(x+\delta x,t)-y(x,t))}… (4-1)

と表される。空気の体積と圧力の間には

δP=−KδVV{\displaystyle \delta P=-K{\delta V \over V}}… (4-2)

の関係が成り立つ。ここでKは体積弾性率である。(4-1)を(4-2)に代入すると

δP=−KS(y(x+δx,t)−y(x,t))Sδx{\displaystyle \delta P=-K{S(y(x+\delta x,t)-y(x,t)) \over S\delta x}}

δx→0で

δP=−K∂y(x,t)∂x{\displaystyle \delta P=-K{\partial y(x,t) \over \partial x}}… (4-3)

気柱にはたらく圧力

空気の断面にはそれぞれ圧力がはたらいている。xにおける断面にはたらく力は

Fx=S(P0+δP(x,t)){\displaystyle F_{x}=S(P_{0}+\delta P(x,t))}

x+δxにおける断面にはたらく力は

Fx+δx=−S(P0+δP(x+δx,t)){\displaystyle F_{x+\delta x}=-S(P_{0}+\delta P(x+\delta x,t))}

したがって微小部分にはたらく力は

F=S(−P0−δP(x+δx,t)+P0+δP(x,t))=−S(δP(x+δx,t)−δP(x,t)){\displaystyle F=S(-P_{0}-\delta P(x+\delta x,t)+P_{0}+\delta P(x,t))=-S(\delta P(x+\delta x,t)-\delta P(x,t))}… (4-4)

また微小部分の質量はm=ρSδx{\displaystyle m=\rho S\delta x}であり、ニュートンの運動方程式を整理すると

ρ∂2y∂t2=−δP(x+δx,t)−δP(x,t)δx{\displaystyle \rho {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}=-{\delta P(x+\delta x,t)-\delta P(x,t) \over \delta x}}

x→0で

ρ∂2y∂t2=−∂δP(x,t)∂x{\displaystyle \rho {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial \delta P(x,t)}{\partial x}}}… (4-5)

(4-3),(4-5)より

ρ∂2y∂t2=K∂2y∂x2{\displaystyle \rho {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}=K{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}}

v{\displaystyle v}=Kρ{\displaystyle {\sqrt {K \over \rho }}}とおくと

∂2y∂x2=1v2∂2y∂t2{\displaystyle {\frac {{\partial }^{2}y}{\partial x^{2}}}={1 \over {v^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}y}{\partial t^{2}}}} … (4-6)

の波動方程式を得る。

波動方程式の解法

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「弦に関する波動方程式の解法」と同様にして変数分離法で波動方程式を解いていくと、xについての方程式は次の解を得る。

K=0のとき…X(x)=ax+b{\displaystyle X(x)=ax+b}… (4-7)
K>0のとき…X(x)=C1eKx+C2e−Kx{\displaystyle X(x)=C_{1}e^{{\sqrt {K}}x}+C_{2}e^{-{\sqrt {K}}x}} … (4-8)
K<0のとき…X(x)=C3cos⁡−Kx+C4sin⁡−Kx{\displaystyle X(x)=C_{3}\cos {{\sqrt {-K}}x}+C_{4}\sin {{\sqrt {-K}}x}}… (4-9)
一端が閉口で他端が開口の管の場合
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ここでは開口で実際に生じる開口端補正を無視して解きすすめる。左端が閉口で右端が開口な長さl{\displaystyle l}の管について考えると、左端が閉口による条件はy(0,t)=0{\displaystyle y(0,t)=0}、右端が開口による条件はP(l,t)=0{\displaystyle P(l,t)=0}つまり∂y(l,t)∂x=0{\displaystyle {\partial y(l,t) \over \partial x}=0}。したがって管の満たすべき条件は

y(0,t)=0{\displaystyle y(0,t)=0} and∂y(l,t)∂x=0{\displaystyle {\partial y(l,t) \over \partial x}=0}… (4-10)

である。(4-7)に条件(4-10)を与えると

X(x)=0{\displaystyle X(x)=0}

(4-8)に条件(4-10)を与えると

X(x)=0{\displaystyle X(x)=0}

(4-9)に条件(4-10)を与えると

X(x)=0{\displaystyle X(x)=0} orX(x)=C4sin⁡(2n−1)πx2l{\displaystyle X(x)=C_{4}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}}

X(x)=0{\displaystyle X(x)=0}は気柱が振動していない様子を表すので、振動する気柱の解は

X(x)=C4sin⁡(2n−1)πx2l(n=1,2,3,…){\displaystyle X(x)=C_{4}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}\quad (n=1,2,3,\ldots )}… (4-11)

である。また、「弦に関する波動方程式の解法」と同様にしてtについての方程式を解くと、

T(t)=C5sin⁡(ωnt+ϕn){\displaystyle T(t)=C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})}… (4-12)

となる。ただし、C5{\displaystyle C_{5}},ωn{\displaystyle \omega _{n}},ϕn{\displaystyle \phi _{n}}は定数で、ωn=kv=(2n−1)2lπv{\displaystyle \omega _{n}=kv={(2n-1) \over 2l}\pi v}である。したがって

yn(x,t)=X(x)T(t)=C4sin⁡(2n−1)πx2lC5sin⁡(ωnt+ϕn)=Ansin⁡(2n−1)πx2lsin⁡(ωnt+ϕn)(n=1,2,3,…){\displaystyle y_{n}(x,t)=X(x)T(t)=C_{4}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})=A_{n}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})\quad (n=1,2,3,\ldots )} … (4-13)

また各y(x,t)は線形微分方程式の解であるから、それらの和もまた解である。したがって一般解は

y(x,t)=∑n=1∞Ansin⁡(2n−1)πx2lsin⁡(ωnt+ϕn){\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {(2n-1)\pi x \over 2l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} … (4-14)

両端が開口の管の場合
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ここでは開口で実際に生じる開口端補正を無視して解きすすめる。両端が開口で長さl{\displaystyle l}の管について考えると、両端開口による条件は

∂y(0,t)∂x=0{\displaystyle {\partial y(0,t) \over \partial x}=0} and∂y(l,t)∂x=0{\displaystyle {\partial y(l,t) \over \partial x}=0}… (4-15)

である。(4-7)に条件(4-15)を与えると

X(x)=0{\displaystyle X(x)=0}

(4-8)に条件(4-15)を与えると

X(x)=0{\displaystyle X(x)=0}

(4-9)に条件(4-15)を与えると

X(x)=0{\displaystyle X(x)=0} orX(x)=C3cos⁡nπxl{\displaystyle X(x)=C_{3}\cos {n\pi x \over l}}

X(x)=0{\displaystyle X(x)=0}は気柱が振動していない様子を表すので、振動する気柱の解は

X(x)=C3cos⁡nπxl(n=1,2,3,…){\displaystyle X(x)=C_{3}\cos {n\pi x \over l}\quad (n=1,2,3,\ldots )} … (4-16)

である。また、「弦に関する波動方程式の解法」と同様にしてtについての方程式を解くと、

T(t)=C5sin⁡(ωnt+ϕn){\displaystyle T(t)=C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})}… (4-17)

となる。ただし、C5{\displaystyle C_{5}},ωn{\displaystyle \omega _{n}},ϕn{\displaystyle \phi _{n}}は定数で、ωn=kv=nlπv{\displaystyle \omega _{n}=kv={n \over l}\pi v}である。したがって

yn(x,t)=X(x)T(t)=C3cos⁡nπxlC5sin⁡(ωnt+ϕn)=Ancos⁡nπxlsin⁡(ωnt+ϕn)(n=1,2,3,…){\displaystyle y_{n}(x,t)=X(x)T(t)=C_{3}\cos {n\pi x \over l}C_{5}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})=A_{n}\cos {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})\quad (n=1,2,3,\ldots )} … (4-18)

また各y(x,t)は線形微分方程式の解であるから、それらの和もまた解である。したがって一般解は

y(x,t)=∑n=1∞Ancos⁡nπxlsin⁡(ωnt+ϕn){\displaystyle y(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\cos {n\pi x \over l}\sin({\omega _{n}t+\phi _{n}})} … (4-19)

脚注

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  1. ^小項目事典,百科事典マイペディア,世界大百科事典内言及, デジタル大辞泉,精選版 日本国語大辞典,改訂新版 世界大百科事典,ブリタニカ国際大百科事典. “固有振動(コユウシンドウ)とは？ 意味や使い方”. コトバンク. 2024年9月27日閲覧。

参考文献

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出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。 記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2023年3月）

関連項目

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