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Varietà riemanniana

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Bernhard Riemann introdusse le nozioni di varietà e dicurvatura di varietà nel1854, in "Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen", "Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria", pubblicata postuma nel1867.

Ingeometria differenziale, unavarietà riemanniana è unavarietà differenziabile su cui sono definite le nozioni didistanza, lunghezza,geodetica,area (ovolume) ecurvatura. È una nozione fondamentale in quanto permette di modellizzare spazi "curvi" di dimensione arbitraria. Prende il nome dal matematico tedescoBernhard Riemann.

Definizione

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Unavarietà riemanniana è unavarietà differenziabileM{\displaystyle M} dotata di untensore metricog{\displaystyle g} con cui definire unprodotto scalaredefinito positivo sullospazio tangente di ogni punto diM{\displaystyle M}. La varietà riemanniana è spesso indicata come coppia(M,g){\displaystyle (M,g)}.

Rilassando il requisito che il tensore metricog{\displaystyle g} sia sempre definito positivo e imponendo solo che non siadegenere si ha unavarietà pseudo-riemanniana.

Nozioni geometriche basilari

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Grazie al solo tensore metricog{\displaystyle g}, è possibile definire su una varietà riemannianaM{\displaystyle M} numerose nozioni presenti nell'usualespazio euclideo. Tutte queste nozioni dipendono fortemente dalla scelta dig{\displaystyle g}.

Angoli e moduli di vettori

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Siax{\displaystyle x} un punto diM{\displaystyle M} eTx{\displaystyle T_{x}} il suo spazio tangente. Il tensoreg{\displaystyle g} definisce un prodotto scalare definito positivo suTx{\displaystyle T_{x}}, e quindi una nozione di lunghezza e angolo fra vettori tangenti inx{\displaystyle x}.

In particolare, seα{\displaystyle \alpha } eβ{\displaystyle \beta } sono duecurve differenziabili

α,β:(−1,1)→M{\displaystyle \alpha ,\beta :(-1,1)\to M}

conα(0)=β(0)=x{\displaystyle \alpha (0)=\beta (0)=x}, i loro vettori tangentiα′(0){\displaystyle \alpha '(0)} eβ′(0){\displaystyle \beta '(0)} sono elementi diTx{\displaystyle T_{x}} e quindi è definito il loro modulo‖α′(0)‖,‖β′(0)‖{\displaystyle \|\alpha '(0)\|,\|\beta '(0)\|} come

‖α′(0)‖=g(α′(0),α′(0)){\displaystyle \|\alpha '(0)\|={\sqrt {g(\alpha '(0),\alpha '(0))}}}

e l'angoloθ{\displaystyle \theta } compreso tra questi (se sono entrambi non nulli), tramite la relazione

θ=arccos⁡g(α′(0),β′(0))‖α′(0)‖‖β′(0)‖.{\displaystyle \theta =\arccos {\frac {g\left(\alpha '(0),\beta '(0)\right)}{\|\alpha '(0)\|\|\beta '(0)\|}}.}

Lunghezza di una curva

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La lunghezza di una curvaγ(t){\displaystyle \gamma (t)} è definita integrando le lunghezze dei vettori tangenti alla curva ad ogni tempot{\displaystyle t}.

La lunghezzaL(γ){\displaystyle L(\gamma )} di una curva differenziabile

γ:[a,b]→M{\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}

è quindi definita tramite l'integrale

L(γ)=∫ab‖γ′(t)‖dt{\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}\|\gamma '(t)\|dt}

Distanza

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Ladistanzad(x,y){\displaystyle d(x,y)} fra due puntix{\displaystyle x} ey{\displaystyle y} diM{\displaystyle M} è definita come

d(x,y)=inf{L(α)}{\displaystyle d(x,y)=\inf\{L(\alpha )\}}

al variare di tutte le curve differenziabiliα{\displaystyle \alpha } che partono inx{\displaystyle x} e arrivano iny{\displaystyle y}. La distanzad{\displaystyle d} definisce suM{\displaystyle M} una struttura dispazio metrico.

Geodetica

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Unageodetica è l'analogo della linea retta nell'usuale spazio (o piano) euclideo. Si tratta di una curva differenziabileα{\displaystyle \alpha } che minimizza localmente la lunghezza. Più precisamente, ognit{\displaystyle t} interno al dominio[a,b]{\displaystyle [a,b]} ha unintornoU{\displaystyle U} tale che la distanza fraα(t){\displaystyle \alpha (t)} eα(t′){\displaystyle \alpha (t')} è uguale alla lunghezza del sotto-arco diα{\displaystyle \alpha } che collega i due punti, per ognit′{\displaystyle t'} inU{\displaystyle U}.

Volume

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Una varietàorientataM{\displaystyle M} è dotata di unaforma di volumeω{\displaystyle \omega }. Su ogni spazio tangenteTx{\displaystyle T_{x}}, si tratta dell'unicotensore antisimmetrico di tipo(n,0){\displaystyle (n,0)} che vale

ω(e1,…,en)=1{\displaystyle \omega (e_{1},\ldots ,e_{n})=1}

su ognibase ortonormale positiva(e1,…,en){\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})} diTx{\displaystyle T_{x}}. In unacarta, si scrive come

ω=detgdx1∧...∧dxn{\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\,dx^{1}\wedge ...\wedge dx^{n}}

dovedetg{\displaystyle \det g} è ildeterminante dig{\displaystyle g}, che è positivo perchég{\displaystyle g} è definito positivo, e labase(x1,…,xn){\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})} è una base positiva rispetto all'orientazione. Si tratta di unan{\displaystyle n}-forma differenziale, che seintegrata su un dominioS{\displaystyle S} definisce il volume diS{\displaystyle S}:

Vol(S)=∫Sω.{\displaystyle {\rm {Vol}}(S)=\int _{S}\omega .\,\!}

Una orientazione è necessaria per definire la forma volume: una tale forma esiste infatti soltanto suvarietà orientabili.

Proprietà metriche

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Completezza

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Una varietà riemanniana è in particolare unospazio metrico, e in quanto tale può esserecompleta o meno. Esistono vari criteri equivalenti di completezza, forniti dalteorema di Hopf-Rinow.

Una varietà compatta è sempre completa. Una varietà differenziabile non compatta può essere completa o meno: la completezza è in questo caso fortemente dipendente dal tensore di curvatura.

Curvatura

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Lacurvatura misura la tendenza della geometria locale su una varietà riemanniana a discostarsi dalla usuale geometria euclidea. La curvatura è una misura locale, che può essere realizzata in vari modi.

La curvatura di unasuperficieS{\displaystyle S} è misurata dallacurvatura gaussiana, un numero reale associato ad ogni punto diS{\displaystyle S}. Per una varietà di dimensione maggiore, la codifica e lo studio della curvatura sono più complessi. L'oggetto che descrive completamente la curvatura di una varietà è iltensore di Riemann, untensore di ordine(3,1){\displaystyle (3,1)}.

Il tensore di Riemann è un oggetto algebrico molto complesso, e quindi spesso si ricorre a nozioni di curvatura più semplici da manipolare. Lacurvatura sezionale misura la curvatura su ogni piano passante per un punto: questa nozione più geometrica di curvatura è molto ricca, contiene le stesse informazioni del tensore di Riemann ed è spesso di più facile applicazione. Iltensore di Ricci e lacurvatura scalare sono due versioni "semplificate" del tensore di Riemann, ottenute contraendo alcuni indici del tensore. Il tensore di Ricci è un tensore di tipo(2,0){\displaystyle (2,0)}, e la curvatura scalare un numero, simile alla curvatura gaussiana.

Tutte queste nozioni misurano la curvaturaintrinseca della varietà, determinata unicamente dalla sua struttura di varietà riemanniana. Nozioni di curvaturaestrinseca sono applicabili soltanto quando la varietà è contenuta in un'altra varietà più grande: ad esempio, nel caso di una superficie contenuta nello spazioR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} esistono anche le nozioni dicurvatura principale ecurvatura media, che a differenza della curvatura gaussiana non sono definite su una superficie astratta.

Bibliografia

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Voci correlate

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Collegamenti esterni

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Controllo di autoritàThesaurus BNCF31542 ·LCCN(EN) sh85114045 ·GND(DE) 4128295-4 ·BNE(ES) XX552043(data) ·BNF(FR) cb11959398f(data) ·J9U(EN, HE) 987007538989305171 ·NDL(EN, JA) 00569452
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