Pierre Simon Laplace Inanalisi funzionale , latrasformata di Laplace (dal nome delmatematico francesePierre Simon Laplace ) è unatrasformata integrale ovvero nello specifico unoperatore funzionalelineare che associa unafunzione di variabilereale con una funzione di variabilecomplessa .
Sia data una funzionef ( t ) {\displaystyle f(t)} numeri reali . La trasformata di Laplace è la funzione definita sull'insieme continuos {\displaystyle s}
L { f } ( s ) = def ∫ − ∞ + ∞ e − s t f ( t ) d t {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s){\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\text{e}}^{-st}f(t)\,{\text{d}}t} essendoe {\displaystyle {\text{e}}} numero di Nepero (o Eulero) ed il parametros {\displaystyle s} numero complesso
s = def σ + i ω {\displaystyle s\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sigma +{\text{i}}\omega } conσ {\displaystyle \sigma } ω {\displaystyle \omega } i {\displaystyle {\text{i}}} L { f ( t ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}}
Si può definire la trasformata di Laplace di unamisura di Borel finitaμ {\displaystyle \mu } integrale di Lebesgue :
( L μ ) ( s ) = def ∫ [ 0 , + ∞ ) e − s t d μ ( t ) . {\displaystyle ({\mathcal {L}}\mu )(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{[0,+\infty )}{\text{e}}^{-st}\,{\text{d}}\mu (t).} Un importante caso particolare si verifica seμ {\displaystyle \mu } misura di probabilità .
Latrasformata unilatera di Laplace è definita pert > 0 {\displaystyle t>0}
L u { f } ( s ) = def ∫ 0 + ∞ e − s t f ( t ) d t . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{u}\left\{f\right\}(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{0}^{+\infty }{\text{e}}^{-st}f(t)\,{\text{d}}t.} La trasformata di Laplace tipicamente esiste per tutti i numeri realiR e ( s ) > a {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>a} a {\displaystyle a} ascissa di convergenza ) che dipende dalla funzione originaria e che costituisce laregione di convergenza .
Si tratta di unatrasformata integrale che gode di numerose proprietà, che la rendono utile per l'analisi deisistemi dinamici lineari . Il vantaggio più significativo è che l'integrale e laderivata di una funzione diventano rispettivamente una divisione e una moltiplicazione per la variabile complessa, analogamente al modo in cui ilogaritmi cambiano la moltiplicazione di numeri nella loro addizione. Essa consente di trasformare leequazioni integrali e leequazioni differenziali inequazioni polinomiali , che sono più immediate da risolvere. Anche la risposta (l'uscita) di un sistema dinamico lineare può essere calcolata comeprodotto di convoluzione della suarisposta impulsiva unitaria con il segnale d'ingresso. Sviluppando questo calcolo nello spazio di Laplace la convoluzione diventa unamoltiplicazione , che spesso rende il problema più semplice. In particolare nell'ingegneria dei sistemi la trasformata di Laplace dellarisposta impulsiva del sistema è la suafunzione di trasferimento che caratterizza il comportamento del sistema in oggetto:
H ( s ) = def L { h ( t ) } = ∫ − ∞ + ∞ h ( t ) e − s t d t . {\displaystyle H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}\{h(t)\}\ =\ \int _{-\infty }^{+\infty }h(t){\text{e}}^{-st}\,{\text{d}}t.} Nellateoria delle probabilità la trasformata di Laplace è definita come unvalore atteso . SeX {\displaystyle X} variabile casuale confunzione di densità di probabilità f {\displaystyle f} f {\displaystyle f}
( L f ) ( s ) = E [ e − s X ] . {\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(s)=E\left[{\text{e}}^{-sX}\right].} Conabuso di notazione , ci si riferisce a tale integrale come la trasformata di Laplace diX {\displaystyle X} s {\displaystyle s} − t {\displaystyle -t} funzione generatrice dei momenti diX {\displaystyle X} X {\displaystyle X}
F X ( x ) = L s − 1 { E [ e − s X ] s } ( x ) = L s − 1 { ( L f ) ( s ) s } ( x ) . {\displaystyle F_{X}(x)={\mathcal {L}}_{s}^{-1}\left\lbrace {\frac {E\left[{\text{e}}^{-sX}\right]}{s}}\right\rbrace (x)={\mathcal {L}}_{s}^{-1}\left\lbrace {\frac {\left({\mathcal {L}}f\right)(s)}{s}}\right\rbrace (x).} L'inversa della trasformata di Laplace è data dall'integrale di Bromwich , anche dettointegrale di Fourier-Mellin oformula inversa di Mellin , un integralecomplesso dato da
f ( t ) = L − 1 { F ( s ) } = 1 2 π i lim T → + ∞ ∫ γ − i T γ + i T e s t F ( s ) d s , {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi {\text{i}}}}\,\lim _{T\to {+\infty }}\int _{\gamma -{\text{i}}T}^{\gamma +{\text{i}}T}{\text{e}}^{st}F(s)\,{\text{d}}s,} doveγ {\displaystyle \gamma } F ( s ) {\displaystyle F(s)}
Si dimostra che se una funzioneG ( s ) {\displaystyle G(s)} g ( t ) {\displaystyle g(t)} g {\displaystyle g}
L { g } ( s ) = G ( s ) , {\displaystyle {\mathcal {L}}\{g\}(s)=G(s),} allorag ( t ) {\displaystyle g(t)}
Sef {\displaystyle f} funzione localmente integrabile , o più in generale unamisura di Borel sufficientemente regolare, allora la trasformata di LaplaceF ( s ) {\displaystyle F(s)} f {\displaystyle f}
lim R → + ∞ ∫ 0 R f ( t ) e − t s d t {\displaystyle \lim _{R\to {+\infty }}\int _{0}^{R}f(t){\text{e}}^{-ts}\,{\text{d}}t} econverge assolutamente se esiste l'integrale di Lebesgue
∫ 0 + ∞ | f ( t ) e − t s | d t . {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }|f(t){\text{e}}^{-ts}|\,{\text{d}}t.} Se si verifica soltanto la convergenza del primo tipo, la trasformata di Laplace converge condizionatamente.
Dalteorema della convergenza dominata segue che i valori tali cheF ( s ) {\displaystyle F(s)} R e ( s ) > a {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>a} R e ( s ) ≥ a {\displaystyle \mathrm {Re} (s)\geq a} a {\displaystyle a} ascissa di convergenza assoluta e dipende dal comportamento della crescita della funzionef {\displaystyle f} funzione analitica .
L'insieme di valori in cuiF ( s ) {\displaystyle F(s)} s = s 0 {\displaystyle s=s_{0}} s {\displaystyle s} R e ( s ) > R e ( s 0 ) {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>\mathrm {Re} (s_{0})} R e ( s ) > a {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>a} R e ( s ) = a {\displaystyle \mathrm {Re} (s)=a} R e ( s ) > R e ( s 0 ) {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>\mathrm {Re} (s_{0})}
F ( s ) = ( s − s 0 ) ∫ 0 + ∞ e − ( s − s 0 ) t β ( t ) d t , {\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{+\infty }{\text{e}}^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,{\text{d}}t,} con
β ( u ) = ∫ 0 u e − s 0 t f ( t ) d t , {\displaystyle \beta (u)=\int _{0}^{u}{\text{e}}^{-s_{0}t}f(t)\,{\text{d}}t,} evidenziando così il fatto che nella regione di convergenza la funzioneF ( s ) {\displaystyle F(s)}
L [ ∑ i = 1 n K i ⋅ f i ( t ) ] = ∑ i = 1 n K i ⋅ L [ f i ( t ) ] . {\displaystyle {\mathcal {L}}{\Biggl [}\sum _{i=1}^{n}K_{i}\cdot f_{i}(t){\Biggr ]}=\sum _{i=1}^{n}K_{i}\cdot {\mathcal {L}}{\bigl [}f_{i}(t){\bigr ]}.} L { f ′ } = s L { f } − f ( 0 − ) ; {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0^{-});} L { f ″ } = s 2 L { f } − s f ( 0 − ) − f ′ ( 0 − ) ; {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0^{-})-f'(0^{-});} L { f ( n ) } = s n L { f } − s n − 1 f ( 0 − ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 − ) = s n L { f } − ∑ k = 1 n s n − k d k − 1 f ( 0 ) d t k − 1 ; {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})=s^{n}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}{\frac {d^{k-1}f(0)}{dt^{k-1}}};} L { t f ( t ) } = − L { f } ′ ( s ) ; {\displaystyle {\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-{\mathcal {L}}\left\{f\right\}'(s);} L { f ( t ) t } = ∫ s ∞ L { f } ( σ ) d σ . {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }{\mathcal {L}}\left\{f\right\}(\sigma )\,{\text{d}}\sigma .} L { ∫ 0 t f ( τ ) d τ } = 1 s L { f ( t ) } . {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,{\text{d}}\tau \right\}={1 \over s}{\mathcal {L}}\{f(t)\}.} L { e a t f ( t ) } = L { f } ( s − a ) ; {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\text{e}}^{at}f(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s-a);} L − 1 { L { f } ( s − a ) } = e a t f ( t ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s-a)\right\}={\text{e}}^{at}f(t).} L { f ( t − a ) Θ ( t − a ) } = e − a s L { f } ( s ) ; {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t-a)\Theta (t-a)\right\}={\text{e}}^{-as}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s);} L − 1 { e − a s L { f } } = f ( t − a ) Θ ( t − a ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\text{e}}^{-as}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}\right\}=f(t-a)\Theta (t-a).} doveΘ ( t ) {\displaystyle \Theta (t)} gradino di Heaviside . ( − 1 ) n L { t n f ( t ) } = d n d s n [ L { f } ( s ) ] . {\displaystyle {\mathcal {(}}-1)^{n}\ {\mathcal {L}}\{\,t^{n}f(t)\}={\frac {{\text{d}}^{n}}{{\text{d}}s^{n}}}[{\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s)].} L { f ∗ g } = L { f } L { g } {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}={\mathcal {L}}\{f\}{\mathcal {L}}\{g\}} L { f } = 1 1 − e − p s ∫ 0 p e − s t f ( t ) d t . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-{\text{e}}^{-ps}}\int _{0}^{p}{\text{e}}^{-st}f(t)\,{\text{d}}t.} Si possono enunciare due teoremi che permettono di conoscere il valore iniziale e il valore finale della funzione partendo dalla sua trasformata. Essi valgono per funzioni di classeC 1 {\displaystyle C^{1}} t < 0 {\displaystyle t<0} a < + ∞ {\displaystyle a<+\infty }
f ( 0 ) = lim t → 0 f ( t ) = lim s → ∞ s L { f } ( s ) , {\displaystyle f(0)=\lim _{t\to 0}f(t)=\lim _{s\to \infty }s\,\,{\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s),} mentre il teorema del valore finale stabilisce che se è finito ed esistef ( + ∞ ) {\displaystyle f(+\infty )}
f ( + ∞ ) = lim t → + ∞ f ( t ) = lim s → 0 s L { f } ( s ) . {\displaystyle f(+\infty )=\lim _{t\to +\infty }f(t)=\lim _{s\to 0}s\,\,{\mathcal {L}}\left\{f\right\}(s).} L { δ ( t ) } = 1. {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\delta (t)\}=1.} L { Θ ( t ) } = 1 s . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\Theta (t)\}={\frac {1}{s}}.} L { R ( t ) } = 1 s 2 . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{R(t)\}={\frac {1}{s^{2}}}.} L { e α t } = 1 s − α . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{{\text{e}}^{\alpha t}\}={\frac {1}{s-\alpha }}.} L { sin ( α t ) } = α s 2 + α 2 ; {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\sin(\alpha t)\}={\frac {\alpha }{s^{2}+\alpha ^{2}}};} L { e β t sin ( α t ) } = α ( s − β ) 2 + α 2 . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{{{\text{e}}^{\beta t}\sin(\alpha t)}\}={\frac {\alpha }{(s-\beta )^{2}+\alpha ^{2}}}.} L { cos ( α t ) } = s s 2 + α 2 ; {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\cos(\alpha t)\}={\frac {s}{s^{2}+\alpha ^{2}}};} L { e β t cos ( α t ) } = s − β ( s − β ) 2 + α 2 . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{{\text{e}}^{\beta t}\cos(\alpha t)\}={\frac {s-\beta }{(s-\beta )^{2}+\alpha ^{2}}}.} L { sinh ( α t ) } = α s 2 − α 2 . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\sinh(\alpha t)\}={\frac {\alpha }{s^{2}-\alpha ^{2}}}.} L { cosh ( α t ) } = s s 2 − α 2 . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\cosh(\alpha t)\}={\frac {s}{s^{2}-\alpha ^{2}}}.} L { ln ( t ) } = − ln ( s ) + γ s . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\ln(t)\}=-{\frac {\ln(s)+\gamma }{s}}.} L { t α } = s − α + 1 α ⋅ Γ ( 1 + 1 α ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{{\sqrt[{\alpha }]{t}}\}=s^{-{\frac {\alpha +1}{\alpha }}}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right).} L { J α ( t ) } = ( s + 1 + s 2 ) − α 1 + s 2 . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{J_{\alpha }(t)\}={\frac {\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{-\alpha }}{\sqrt {1+s^{2}}}}.} Funzioni di Bessel modificate: L { I α ( t ) } = ( s + − 1 + s 2 ) − α − 1 + s 2 . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{I_{\alpha }(t)\}={\frac {\left(s+{\sqrt {-1+s^{2}}}\right)^{-\alpha }}{\sqrt {-1+s^{2}}}}.} L { erf ( t ) } = e s 2 / 4 erfc ( s / 2 ) s . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\operatorname {erf} (t)\}={{\text{e}}^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}.} La trasformata di Laplace–Stieltjes di unafunzione a variazione limitata g : R → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } integrale di Lebesgue-Stieltjes dato da:
{ L ∗ g } ( s ) = ∫ 0 + ∞ e − s t d g ( t ) . {\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{+\infty }{\text{e}}^{-st}{\text{d}}g(t).} Seg {\displaystyle g} primitiva dif {\displaystyle f}
g ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t , {\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,{\text{d}}t,} allora la trasformata di Laplace–Stieltjes dig {\displaystyle g} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g}
Latrasformata di Mellin e la sua inversa si ottengono dalla trasformata di Laplace con un cambio di coordinate. Se nella trasformata di Mellin
G ( s ) = M { g ( θ ) } = ∫ 0 + ∞ θ s g ( θ ) d θ θ {\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\left\{g(\theta )\right\}=\int _{0}^{+\infty }\theta ^{s}g(\theta ){\frac {d\theta }{\theta }}} si poneθ = e − t {\displaystyle \theta ={\text{e}}^{-t}}
La trasformata di Fourier è equivalente al valutare la trasformata di Laplace bilatera con argomento immaginarios = i ω = i 2 π f {\displaystyle s={\text{i}}\omega ={\text{i}}2\pi f}
f ^ ( ω ) = F { f ( t ) } = L { f ( t ) } | s = i ω = F ( s ) | s = i ω = ∫ − ∞ + ∞ e − i ω t f ( t ) d t {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}|_{s={\text{i}}\omega }=F(s)|_{s={\text{i}}\omega }=\int _{-\infty }^{+\infty }{\text{e}}^{-{\text{i}}\omega t}f(t)\,{\text{d}}t} e tale definizione è valida se e solo se la regione di convergenza diF ( s ) {\displaystyle F(s)} 1 / 2 π {\displaystyle 1/{2\pi }}
lim σ → 0 + F ( σ + i ω ) = f ^ ( ω ) {\displaystyle \lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +{\text{i}}\omega )={\hat {f}}(\omega )} vale tuttavia sotto condizioni meno restrittive, e le condizioni generali che relazionano il limite della trasformata di Laplace di una funzione sul bordo con la trasformata di Fourier sono date dalteorema di Paley-Wiener .
La trasformata zeta unilatera è la trasformata di Laplace di un segnale campionato in modo ideale con la sostituzione:
z = e s T , {\displaystyle z={\text{e}}^{sT},} doveT = 1 / f s {\displaystyle T=1/f_{s}} f s {\displaystyle f_{s}} frequenza di campionamento (misurata in campioni per secondo o inhertz ).
Sia
Δ T ( t ) = d e f ∑ n = 0 + ∞ δ ( t − n T ) {\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{+\infty }\delta (t-nT)} un treno di impulsi e sia
x q ( t ) = d e f x ( t ) Δ T ( t ) = x ( t ) ∑ n = 0 + ∞ δ ( t − n T ) = ∑ n = 0 + ∞ x ( n T ) δ ( t − n T ) = ∑ n = 0 + ∞ x [ n ] δ ( t − n T ) , {\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}x(t)\Delta _{T}(t)\\&=x(t)\sum _{n=0}^{+\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{+\infty }x(nT)\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{+\infty }x[n]\delta (t-nT),\end{aligned}}} la rappresentazione tempo-continua del segnalex [ n ] = d e f x ( n T ) {\displaystyle x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}x(nT)} x ( t ) {\displaystyle x(t)} x q ( t ) {\displaystyle x_{q}(t)}
X q ( s ) = ∫ 0 − ∞ x q ( t ) e − s t d t = ∫ 0 − + ∞ ∑ n = 0 + ∞ x [ n ] δ ( t − n T ) e − s t d t = ∑ n = 0 + ∞ x [ n ] ∫ 0 − + ∞ δ ( t − n T ) e − s t d t = ∑ n = 0 + ∞ x [ n ] e − n s T . {\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t){\text{e}}^{-st}\,{\text{d}}t\\&=\int _{0^{-}}^{+\infty }\sum _{n=0}^{+\infty }x[n]\delta (t-nT){\text{e}}^{-st}\,{\text{d}}t\\&=\sum _{n=0}^{+\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{+\infty }\delta (t-nT){\text{e}}^{-st}\,{\text{d}}t\\&=\sum _{n=0}^{+\infty }x[n]{\text{e}}^{-nsT}.\end{aligned}}} Si tratta della definizione della trasformata zeta unilatera della funzione tempo-discretax [ n ] {\displaystyle x[n]} X ( z ) = ∑ n = 0 + ∞ x [ n ] z − n . {\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }x[n]z^{-n}.}
con la sostituzionez = e s T {\displaystyle z={\text{e}}^{sT}}
X q ( s ) = X ( z ) | z = e s T . {\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z={\text{e}}^{sT}}.} Nell'ambito della teoria delleequazioni differenziali lineari avalori iniziali dati, le proprietà della trasformata di Laplace, in particolare lalinearità e la formula per lederivate difunzioni , possono essere utilizzate come potente mezzo risolutivo. Considerando la proprietà della trasformata:
L { f ′ } = s L { f } − f ( 0 ) , L { f ″ } = s 2 L { f } − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) , {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0),\qquad {\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0),} si può facilmente dimostrare perinduzione che
L { f ( n ) } = s n L { f } − ∑ i = 1 n s n − i f ( i − 1 ) ( 0 ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f^{(n)}\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-\sum _{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0).} Si consideri ora la seguente equazione differenziale:
∑ i = 0 n a i f ( i ) ( t ) = ϕ ( t ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}(t)=\phi (t)} con valori iniziali dati:
f ( i ) ( 0 ) = c i . {\displaystyle f^{(i)}(0)=c_{i}.} Usando la linearità della trasformata di Laplace è equivalente riscrivere l'equazione come
∑ i = 0 n a i L { f ( i ) ( t ) } = L { ϕ ( t ) } , {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}{\mathcal {L}}\{f^{(i)}(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\},} ottenendo
L { f ( t ) } ∑ i = 0 n a i s i − ∑ i = 1 n ∑ j = 1 i a i s i − j f ( j − 1 ) ( 0 ) = L { ϕ ( t ) } . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}\sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}a_{i}s^{i-j}f^{(j-1)}(0)={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}.} Risolvendo l'equazione perL { f ( t ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}} f ( i ) ( 0 ) {\displaystyle f^{(i)}(0)} c i {\displaystyle c_{i}}
L { f ( t ) } = L { ϕ ( t ) } + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 i a i s i − j c j − 1 ∑ i = 0 n a i s i . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}={\frac {{\mathcal {L}}\{\phi (t)\}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}a_{i}s^{i-j}c_{j-1}}{\sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}}.} La soluzione perf ( t ) {\displaystyle f(t)} trasformata inversa di Laplace aL { f ( t ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}}
f ( i ) ( 0 ) = c i = 0 , ∀ i ∈ { 0 , 1 , 2 , … , n } , {\displaystyle f^{(i)}(0)=c_{i}=0,\qquad \forall i\in \{0,1,2,\ldots ,n\},} allora la formula si semplifica a:
f ( t ) = L − 1 { L { ϕ ( t ) } ∑ i = 0 n a i s i } . {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{{\mathcal {L}}\{\phi (t)\} \over \sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}\right\}.} Si vuole risolvere:
f ″ ( t ) + 4 f ( t ) = sin ( 2 t ) , {\displaystyle f''(t)+4f(t)=\sin(2t),} con valori inizialif ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} f ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle f'(0)=0}
Si nota che:
ϕ ( t ) = sin ( 2 t ) , {\displaystyle \phi (t)=\sin(2t),} ottenendo
L { ϕ ( t ) } = 2 s 2 + 4 . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\phi (t)\}={\frac {2}{s^{2}+4}}.} L'equazione è quindi equivalente a:
s 2 L { f ( t ) } − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) + 4 L { f ( t ) } = L { ϕ ( t ) } . {\displaystyle s^{2}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)+4{\mathcal {L}}\{f(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}.} Si deduce quindi che:
L { f ( t ) } = 2 ( s 2 + 4 ) 2 . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}={\frac {2}{(s^{2}+4)^{2}}}.} Applicando la trasformata inversa di Laplace si ottiene:
f ( t ) = 1 8 sin ( 2 t ) − t 4 cos ( 2 t ) . {\displaystyle f(t)={\frac {1}{8}}\sin(2t)-{\frac {t}{4}}\cos(2t).} Si consideri l'equazione:
N ˙ = − λ N . {\displaystyle {\dot {N}}=-\lambda N.} Questa equazione è la relazione fondamentale che descrive ildecadimento radioattivo , dove:
N = N ( t ) {\displaystyle N=N(t)} rappresenta il numero di atomi non decaduti in un campione diisotopi radioattivi al tempot {\displaystyle t} λ {\displaystyle \lambda } costante di decadimento . Si può usare la trasformata di Laplace per risolvere questa equazione. Riscrivendo l'equazione da una parte si ha:
N ˙ + λ N = 0. {\displaystyle {\dot {N}}+\lambda N=0.} Trasformando entrambi i membri:
( s N ( s ) − N 0 ) + λ N ( s ) = 0 , {\displaystyle (s{N}(s)-N_{0})+\lambda {N}(s)=0,} dove
N ( s ) = L { N ( t ) } , N 0 = N ( 0 ) . {\displaystyle {N}(s)={\mathcal {L}}{\{N(t)\}},\qquad N_{0}=N(0).} Risolvendo si trova:
N ( s ) = N 0 s + λ . {\displaystyle {N}(s)={\frac {N_{0}}{s+\lambda }}.} Alla fine si antitrasforma per trovare la soluzione generale:
N ( t ) = N 0 e − λ t , {\displaystyle N(t)=N_{0}{\text{e}}^{-\lambda t},} che è il risultato corretto che descrive il decadimento radioattivo.
Si consideri uncircuito RC in tensione continuaV {\displaystyle V}
V := { 0 , t < 0 , V ¯ ≠ 0 , t ≥ 0 {\displaystyle V:={\begin{cases}0,&t<0,\\{\overline {V}}\neq 0,&t\geq 0\end{cases}}} e con condizioni inizialiI ( 0 ) = V C ( 0 ) = 0 {\displaystyle I(0)=V_{\text{C}}(0)=0} carica di un condensatore ). Usando leleggi di Kirchhoff , si ha che la sua equazione caratteristica è
V = I R + 1 C ∫ 0 t I ( t ′ ) d t ′ . {\displaystyle V=IR+{\dfrac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(t')\,\mathrm {d} t'.} Trasformando secondo Laplace da entrambe le parti:
V ¯ s = I ~ R + 1 s C I ~ ⟹ I ~ = V ¯ R 1 s + 1 τ , {\displaystyle {\dfrac {\overline {V}}{s}}={\tilde {I}}R+{\dfrac {1}{sC}}{\tilde {I}}\implies {\tilde {I}}={\dfrac {\overline {V}}{R}}{\dfrac {1}{s+{\dfrac {1}{\tau }}}},} dove si è indicatoI ~ {\displaystyle {\tilde {I}}} I {\displaystyle I} τ = R C {\displaystyle \tau =RC}
I = V ¯ R exp ( − t τ ) , {\displaystyle I={\frac {\overline {V}}{R}}\exp \left(-{\dfrac {t}{\tau }}\right),} che è la nota espressione per la corrente in un circuito RC in fase di carica.
Studiamo l'equazione delmoto armonico semplice :
θ ¨ ( t ) + ω 2 θ ( t ) = 0 , {\displaystyle {\ddot {\theta }}(t)+\omega ^{2}\theta (t)=0,} conθ ( 0 ) = θ 0 , θ ˙ ( 0 ) = θ ˙ 0 {\displaystyle \theta (0)=\theta _{0},\ {\dot {\theta }}(0)={\dot {\theta }}_{0}}
s 2 θ ~ − s θ 0 − θ ˙ 0 + ω 2 θ ~ = 0 ⟹ θ ~ = θ 0 s s 2 + ω 2 + θ ˙ 0 ω ω s 2 + ω 2 {\displaystyle s^{2}{\tilde {\theta }}-s\theta _{0}-{\dot {\theta }}_{0}+\omega ^{2}{\tilde {\theta }}=0\implies {\tilde {\theta }}=\theta _{0}{\dfrac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}{\dfrac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}} e, dunque, antitrasformando
θ ( t ) = θ 0 cos ω t + θ ˙ 0 ω sin ω t = A sin ( ω t + φ ) , {\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \omega t+{\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}\sin \omega t=A\sin \left(\omega t+\varphi \right),} avendo posto
A = θ 0 2 + ( θ ˙ 0 ω ) 2 , {\displaystyle A={\sqrt {\theta _{0}^{2}+\left({\dfrac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega }}\right)^{2}}},} sin φ = θ 0 A , {\displaystyle \sin \varphi ={\frac {\theta _{0}}{A}},} cos φ = θ ˙ 0 ω A . {\displaystyle \cos \varphi ={\frac {{\dot {\theta }}_{0}}{\omega A}}.} (EN Mathematical methods for physics and engineering , 3rd, Cambridge University Press, 2010, p. 455,ISBN 978-0-521-86153-3 . (EN Feedback systems and control , 2nd, Schaum's outlines, 1995, p. 78,ISBN 0-07-017052-5 . (EN Handbook of Mathematical Functions capitolo 29 ) (EN An Introduction To The Laplace Transformation (EN The Laplace Transform (EN Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002.ISBN 1-58488-299-9 Luca Tomassini,trasformata di Laplace Enciclopedia della scienza e della tecnica ,Istituto dell'Enciclopedia Italiana , 2008. (EN Laplace transform Enciclopedia Britannica (EN Laplace Transform MathWorld (EN Trasformata di Laplace Encyclopaedia of Mathematics Trasformata di Laplace Enciclopedia della scienza e della tecnica , Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.Calcolo online della trasformata e della trasformata inversa in wims.unice.fr(EN Laplace transform Academic Training Lectures CERN, Geneva, Switzerland, 1 Sep 1968 - 30 Jun 1969 (EN Trasformata di Laplace (EN Trasformata di Laplace 
