Il tetraedro si può definire anche comesimplesso tridimensionale, vale a dire come il solido tridimensionale col minor numero di vertici.
Iltetraedro regolare è uno dei cinquesolidi platonici, cioè uno deipoliedri regolari e le sue facce sonotriangoli equilateri. Esso presenta un angolo diedro di circa 70° 31′ 43,606″ o più precisamente di angolo diedro.
Fig. 1: determinazione dello spigolo del tetraedro inscritto nella sfera di diametroFig. 2: costruzione del tetraedro
Nel libro XIII dei suoiElementi,Euclide descrive il metodo per inscrivere un tetraedro regolare in una sfera di diametro dato. La costruzione descritta da Euclide è la seguente:
Sia (vedi Fig. 1) un diametro della sfera data; lo si divida nel punto in modo che sia il doppio di. Su questo diametro si costruisca un semicerchio, si alzi la perpendicolare da e si denoti con il punto di intersezione tra tale perpendicolare e lacirconferenza. Infine, si congiungano i punti.
Si replichi la stessa costruzione su due piani passanti per, con angolo diedro di 120° rispetto al piano iniziale (Fig. 2). Si traccino infine le congiungenti fra i punti, ed.
È chiaro che i vertici,, e si trovano sugli archi di cerchio costruiti sul diametro, quindi si trovano tutti sulla superficie della sfera di pari diametro. Per costruzione gli spigoli, ed sono uguali fra loro, così come lo sono gli spigoli, ed (questi ultimi determinano iltriangolo equilatero alla base del tetraedro). Rimane da verificare che questi due gruppi di spigoli abbiano la stessa lunghezza.
Nella parte alta della figura di sinistra è replicata la costruzione iniziale: per ilsecondo teorema di Euclide, il segmento è medio proporzionale fra i segmenti e. Supponendo (senza perdita di generalità) che il diametro del cerchio sia unitario, risulta che tali segmenti hanno le lunghezze indicate in figura, quindi:
Grazie alteorema di Pitagora si può ora calcolare la lunghezza del segmento o, per praticità, il suo quadrato:
La parte inferiore del disegno raffigura la base del tetraedro. Il segmento è cateto del triangolo rettangolo in, quindi:
Di conseguenza, i tre spigoli alla base del tetraedro e i tre spigoli che fanno capo al vertice, hanno tutti la stessa lunghezza e quindi il poliedro costruito è effettivamente inscritto nella sfera data. Si noti inoltre come da questi calcoli segua anche che il quadrato di un qualsiasi spigolo del tetraedro è pari a del quadrato del diametro.
Ilpoliedro duale del tetraedro è ancora un tetraedro. Il tetraedro regolare è l'unico dei cinque solidi platonici che è duale di sé stesso: gli altri quattro sono accoppiati dalla relazione di dualità.
Simmetrie del tetraedro: rotazioni intorno ad un asse o riflessione rispetto ad un piano.
Il tetraedro hasimmetrie: ognipermutazione dei quattro vertici è infatti realizzata da un'unica simmetria. Ilgruppo di simmetria è quindi il gruppo di permutazioni di elementi, di cardinalità. Tra queste, sonorotazioni intorno ad alcuni assi, mentre le altre invertono l'orientazione dello spazio.
Le simmetrie rotatorie (inclusa l'identità) formano unsottogruppo,isomorfo algruppo alternante. L'asse di rotazione di una simmetria può collegare il centro di una faccia con un vertice opposto ( possibilità), oppure i punti medi di due spigoli opposti ( possibilità). Intorno ad un asse del primo tipo possono essere effettuate rotazioni di 120° o 240°, mentre intorno ad un asse del secondo tipo la rotazione è di 180°. In totale, si ottengono quindi rotazioni, cui va aggiunta l'identità per ottenere tutte le simmetrie rotatorie.
Le 12 simmetrie rotatorie del tetraedro. Oltre all'identità, vi sono rotazioni lungo assi passanti per i vertici e lungo assi che collegano spigoli opposti.
Numerando i vertici del tetraedro con,, e, le rotazioni di 120° e 240° corrispondono alle permutazioni
ovvero ai cicli di ordine. Le rotazioni di 180° invece corrispondono alle permutazioni
ottenute come prodotto di-cicli indipendenti.
Delle simmetrie che non preservano l'orientazione, sono riflessioni lungo piani: ciascun piano contiene uno spigolo e ilpunto medio dello spigolo opposto (come nella figura a destra). Queste corrispondono ai cicli di ordine
Infine, le altre simmetrie sonocomposizioni di riflessioni lungo piani e rotazioni, e corrispondono ai cicli di ordine
Ilsimplesso è un oggetto che generalizza la nozione di tetraedro in dimensione arbitraria. Si tratta dell'unicopolitopo-dimensionale avente vertici, mentre ogni altro politopo ne ha una quantità maggiore. Per il simplesso è rispettivamente unsegmento, untriangolo e un tetraedro.
Esiste un curioso aneddoto riguardoAlbert Einstein[1]: ad un convegno difisici, subissato dalle critiche per la suabalzana concezione di unospaziotempo a quattro dimensioni, egli propose il seguente problema:
Dati seistuzzicadenti, costruire quattro triangoli equilateri.
Nessuno dei presenti riuscì a posizionare su un piano gli stuzzicadenti per formare i triangoli richiesti, il che è infatti impossibile, al che Einstein compose un tetraedro coi sei stuzzicadenti e disse:
Se non sapete usare la terza dimensione, che sperimentate tutti i giorni, come sperate di capire la quarta?
.jpg)
