Inmatematica, e in particolare inlogica matematica, lateoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel comprende gli assiomi standard dellateoria assiomatica degli insiemi su cui, insieme con l'assioma di scelta, si basa tutta la matematica ordinaria secondo formulazioni moderne. Sono indicati comeassiomi Zermelo–Fraenkel della teoria degli insiemi osistema di assiomi di Zermelo-Fraenkel, e abbreviati conZF.
Gli assiomi sono il risultato del lavoro diThoralf Skolem del1922, basato su lavori precedenti diAbraham Fraenkel nello stesso anno, che si basa sulsistema assiomatico sviluppato daErnst Zermelo nel1908 (teoria degli insiemi di Zermelo).
Il sistema assiomatico è scritto mediante unlinguaggio del primo ordine; ha un numeroinfinito di assiomi poiché viene usato unoschema di assiomi. Un sistema alternativo finito viene dato dagliassiomi di von Neumann-Bernays-Gödel, che aggiungono il concetto di unaclasse in aggiunta a quello di uninsieme; esso è "equivalente" nel senso che qualsiasiteorema riguardo agliinsiemi che può essere provato in un sistema può essere provato nell'altro.
Si indica con la siglaZFC ilsistema formale dato dagli assiomi di Zermelo - Fraenkel con l'aggiunta dell'assioma della scelta: data unafamiglianon vuota diinsiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento. La "C" nella sigla è l'iniziale dichoice (scelta in inglese): per lo stesso motivo, l'assioma della scelta viene spesso abbreviato con le lettereAC (la "A" sta per "axiom").
Illinguaggio diZF include:
Gli assiomi diZF sono:
Indichiamo un taleA con o con{}.[1]
Indichiamo un taleC con{A,B}.[1]
Indichiamo un taleB con o con.[1]
Il più piccoloA che soddisfa questo assioma viene solitamente indicato conω o, in quanto rispettante gliassiomi di Peano, con il simbolo utilizzato solitamente per indicare un generico modello di Peano:.[1]
Indichiamo un taleB, che viene solitamente dettoinsieme potenza oinsieme delle parti diA, con.[1]
Un tale insieme viene solitamente indicato con[1], anche abbreviato in.
Questo è uno schema assiomatico, in quanto comeP possiamo porre una qualsiasi proprietà, e ogni volta che lo facciamo stiamo formalmente creando un nuovo assioma.
Anche questo, come il precedente, è uno schema assiomatico.
Sebbene la maggioranza deimetamatematici creda che questi assiomi siano coerenti (nel senso che da essi non deriva alcuna contraddizione), questo non è dimostrato. Essi sono da molti ritenuti le fondamenta della matematica ordinaria e la loro coerenzanon può essere provata dalla matematica ordinaria, come dimostrato da Gödel con il suo celebresecondo teorema di incompletezza.
La coerenza della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel può però essere provata assumendo l'esistenza di uncardinale inaccessibile maggiore di.
Il tentativoriduzionista dei logici di rifondare tutta la matematica moderna su basi insiemistiche si è scontrato con il fatto che alcuni risultati importanti basilari non sono dimostrabili con i soli assiomi di Zermelo e Fraenkel. È quindi necessario aggiungere l'assioma della scelta, e il nuovo sistema formale che ne risulta viene solitamente chiamatoZFC, dove la "C" sta per "choice" ("scelta").
Nel1938Kurt Gödel costruì un modello basato sulla ZF in cui l'assioma della scelta è valido (il modello è noto comeUniverso degli insiemi costruibili).
In tal modo egli dimostrò che se ZF è coerente, lo è anche ZFC (l'unione degli assiomi della ZF e dell'assioma della scelta).
Basandosi su tale presupposto, e sull'ipotesi, solitamente data per vera, che ZF sia coerente, i logici hanno visto nella ZFC la possibilità di fondare tutta la matematica su basi insiemistiche, dato che l'assioma della scelta si rivela indispensabile per raggiungere tutta una serie di risultati molto importanti (come l'esistenza di unabase per un datospazio vettoriale). Per questo motivo, nonostante tale assioma porti anche a risultati controintuitivi (come l'insieme di Vitali e ilparadosso di Banach-Tarski), esso viene solitamente considerato vero.
Si è dovuto aspettare però il 1964 perchéCohen dimostrasse l'indipendenza dell'assioma della scelta dagli assiomi di Zermelo - Fraenkel (ovvero che se ZF è coerente anche ZFC, l'unione degli assiomi della ZF e dellanegazione dell'assioma della scelta, lo è). In tal modo egli provò che effettivamente ZF e ZFC non sono la stessa cosa: la sua dimostrazione si basa sulla creazione di un modello in cui valgono tutti gli assiomi di ZF e la negazione dell'assioma della scelta.
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