Inmatematica, e più precisamente inalgebra, lateoria degli anelli è lo studio deglianelli,strutture algebriche dotate delle operazioni di somma e prodotto simili ainumeri interi.
Unanello è una struttura algebrica dotata di un sostegno e di due operazioni, chiamatesomma eprodotto, che soddisfano le proprietà seguenti:
Informalmente, si chiede che somma e prodotto soddisfino le stesse proprietà valide neinumeri interi, tranne una: non è richiesto infatti che il prodotto siacommutativo (mentre è richiesto che la somma lo sia).
Un anello in cui anche il prodotto è commutativo è unanello commutativo. Oltre ai numeri interi, esempi classici di anelli sono gli spazi dimatrici (non commutativo) e soprattutto dipolinomi (commutativo). Spesso questi spazi hanno anche una struttura dispazio vettoriale, e vengono quindi chiamatialgebre.
Come nelle altre strutture algebriche, unomomorfismo è una funzione fra anelli che preserva le operazioni. Unisomorfismo è un omomorfismo che ammette uninverso.
Alcuni autori non richiedono che sia presente l'elemento neutro 1 per la moltiplicazione nella definizione di anello, e parlano dianello con unità nel caso in cui ci sia.
Un anello è una struttura molto flessibile, che può avere molte proprietà aggiuntive, ad esempio la commutatività del prodotto, e le più importanti fra queste strutture aggiuntive hanno un nome. La struttura più importante è sicuramente quella dicampo: un campo è un anello commutativo in cui tutti gli elementi (tranne lo zero) hanno un inverso rispetto al prodotto. Esempi di campi sono gli insiemi deinumeri razionali,reali,complessi. I campi sono alla base della definizione degli spazi vettoriali, e di fondamentale importanza per lateoria di Galois: la disciplina che li studia è lateoria dei campi.
Un ruolo importante nella teoria degli anelli è giocato dagliideali, che si comportano in modo simile aisottogruppi normali nellateoria dei gruppi. Un ideale è un sottoinsieme dell'anello chiuso rispetto alla somma e al prodotto per qualsiasi elemento dell'anello (assumiamo qui che l'anello sia commutativo, per semplicità). L'importanza di questa nozione sta nei fatti seguenti:
In questo modo è possibile costruire molti anelli a partire da uno dato, quozientando per i suoi ideali. Ad esempio, l'anello
deipolinomi in variabili a coefficienti nel campo contiene molti ideali, e tramite quoziente si costruiscono molte tipologie differenti di anelli. Questi ideali giocano un ruolo da protagonista ingeometria algebrica per il fatto seguente:
Lo studio degli ideali in un anello fissato è quindi di fondamentale importanza. Tra questi, i più rilevanti per la geometria algebrica sono gliideali primi e gliideali massimali. Gliideali principali sono gli idealigenerati da un solo elemento.
Nelle definizioni che seguono gli anelli sono sempre supposti commutativi.
Undominio d'integrità è un anello in cui non esistonodivisori dello zero, cioè elementi tali che per qualche altro elemento non nullo. L'anello degli interi non contiene divisori dello zero (tranne lo zero, ovviamente), ma è facile costruire anelli di polinomi che ne contengono.
Unanello a fattorizzazione unica è un anello in cui ogni elemento si fattorizza in modo unico come prodotto dielementi primi, similmente a quanto accade nei numeri interi con ilTeorema fondamentale dell'aritmetica.
Unanello a ideali principali è un anello in cui ogni ideale è principale.
Unanello euclideo è un anello in cui è possibile effettuare una sorta di divisione con resto, e quindi l'algoritmo di Euclide per la determinazione delmassimo comune divisore.
Le definizioni date sono una contenuta nell'altra; valgono infatti le implicazioni seguenti:
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