Inmatematica, unasuperficie è una forma geometrica senza spessore, avente solo due dimensioni. Una superficie può essere piatta (come unpiano) o curva (come il bordo di unasfera o di uncilindro). Può essere limitata o illimitata, chiusa o aperta.
Vi sono diverse definizioni matematiche di superficie: queste sono tutte quante racchiuse nella nozione di "superficie astratta" e divarietà differenziabile. Nei casi più comuni il termine è usato per riferirsi a superfici in uno spazio tridimensionale.
Informalmente una superficie è un oggetto geometrico ideale senza spessore, avente due dimensioni. Alcuni oggetti reali si avvicinano a questa nozione astratta: ad esempio una lamina molto sottile.
Formalmente, la definizione di superficie nello spazio richiede delle nozioni matematiche non banali proprie della geometria differenziale
Un sottoinsieme dellospazio euclideo tridimensionale è unasuperficie se per ogni punto contenuto in esistono unintorno aperto ed una funzione di classe
tale che interseca precisamente nei punti in cui si annulla:
In altre parole, l'insieme è una superficie se è localmente esprimibile come luogo di zeri di una funzione. La condizione che il gradiente sia diverso da zero garantisce, tramite ilteorema del Dini, che la superficie sia un oggetto liscio in ogni punto.
Lasuperficie sferica di raggio unitario centrata nell'origine può essere descritta in forma parametrica: oppure in forma implicita come luogo di zeri della funzione: .
dove è uninsieme aperto del piano. Per ottenere un oggetto liscio, si richiede che ildifferenziale di sia anch'esso iniettivo in ogni punto: in altre parole deve essere unaimmersione.
Con questa costruzione le coordinate dei punti della superficie sono espresse agevolmente tramite leequazioni parametriche:
al variare dei due parametri nell'aperto.
Questa è la definizione generalmente più utile ai fini pratici, in quanto permette in modo agevole il calcolo diaree e diintegrali di superficie.
Questa superficie a forma di sella è il grafico della funzione.
Una superficie può essere costruita globalmente come luogo di zeri di un'unica funzione differenziabile
dettaequazione cartesiana. Per ottenere un oggetto liscio, il gradiente di deve essere diverso da zero in ogni punto di. Si noti che la definizione generale di superficie richiede l'esistenza di una tale funzione solo localmente.
Unasuperficie di rotazione (odi rivoluzione) è ottenuta ruotando una curva intorno ad un asse. L'asse può essere uno dei tre assi cartesiani oppure una qualsiasi retta.
In un punto della superficie è definito unpiano tangente ed unvettore normale a lui perpendicolare.
L'area di una superficie espressa informa parametrica tramite una funzione con dominio è definita tramite gli strumenti delcalcolo integrale nel modo seguente:
Uniperboloide, uncilindro e unasfera: queste superfici hanno curvatura gaussiana (rispettivamente) negativa, nulla e positiva.
Lacurvatura è una proprietà fondamentale delle superfici nello spazio. In ogni punto della superficie vi sono duecurvature principali e lacurvatura gaussiana è definita come il prodotto di queste due quantità.
La curvatura gaussiana può essere positiva, nulla o negativa. In un piano, la curvatura è nulla e vale l'usualegeometria euclidea; su superfici a curvatura positiva o negativa è possibile definire dellegeometrie non euclidee, chiamate rispettivamenteellittica eiperbolica. In queste geometrie, le usuali rette euclidee sono sostituite dallegeodetiche, curve sulla superficie che minimizzano (localmente) la distanza fra due punti.
Latopologia è una branca dellageometria che studia le proprietà degli oggetti geometrici che restano invariate quando viene effettuata una deformazione senza "strappi".
Questa superficie ha genere due. Il genere (o "numero di manici") è una proprietà topologica: resta invariata se la superficie è deformata in modo continuo.
Unnastro di Möbius è una superficie con una faccia sola (non orientabile).
Una superficie èorientabile se ha due facce (un "sopra" e un "sotto"),non orientabile altrimenti. Contrariamente a quanto suggerito dall'intuizione, esistono effettivamente superfici con una faccia sola: il prototipo è ilnastro di Möbius.
definisce unasuperficie algebrica. Affinché il luogo di zeri sia effettivamente una superficie liscia, ildifferenziale dell'equazione deve essere diverso da zero in ogni punto. Generalmente, si parla però comunque di "superficie algebrica" anche quando questa condizione non è soddisfatta: in questo caso si possono presentare punti non lisci dettisingolarità.
Se ilpolinomio è di primo grado, la superficie è un piano. Superfici descrivibili con equazioni di 2º, 3º, 4º, 5º grado sono chiamatequadriche,cubiche,quartiche,quintiche e così via. La sestica mostrata in figura presenta alcune singolarità.
Unaquadrica è una superficie algebrica di secondo grado. Le quadriche sono classificate con gli strumenti dell'algebra lineare (essenzialmente ilteorema spettrale). Le quadrichenon degeneri sono divise in cinque tipi:
Una superficie èminima se ha area (localmente) minima fra tutte quelle che hanno un bordo fissato. Matematicamente, questa condizione equivale alla richiesta che la superficie abbiacurvatura media ovunque nulla. In natura alcune strutture tendono a sistemarsi in modo da minimizzare l'area e formano quindi delle superfici minime.
Una superficie èchiusa se è limitata e senza confini, come in unasfera. Con il linguaggio rigoroso dellatopologia, una superficie è chiusa se ècompatta.[2]
Intopologia, una branca importante dellageometria, viene studiata una nozione più generale di superficie. Lasuperficie studiata in questo ambito è un oggetto più astratto, che "vive di vita propria", non necessariamente contenuto nello spazio tridimensionale.
Formalmente, unasuperficie astratta è unavarietà topologicadi Hausdorff avente dimensione 2. Molte superfici astratte sono rappresentabili nello spazio, ma non tutte: ad esempio labottiglia di Klein non è visibile dentro allo spazio tridimensionale (può però essere rappresentabile nellospazio euclideo quadridimensionale).
In molti contesti è più utile definire una superficie comevarietà differenziabile invece che topologica. La differenza però non è sostanziale.
Altro esempio di superficie astratta (o algebrica) è laSuperficie di Veronese, rappresentabile solamente in unospazio proiettivo ad almeno cinque dimensioni, mentre laTromba di Torricelli è un'altra superficie paradossale disegnabile in tre dimensioni.
Unasuperficie immersa è una superficie che può auto-intersecarsi. Più precisamente, è l'immagine di unaimmersione
di una superficie astratta. Si richiede quindi che abbia ovunque differenziale iniettivo: questa ipotesi garantisce che sia localmente iniettiva, ma non globalmente.
Ad esempio, la bottiglia di Klein è generalmente mostrata nello spazio tridimensionale tramite una immersione: la superficie si auto-interseca lungo unacirconferenza. Un'altra superficie immersa è lasuperficie di Boy: in questo caso è unpiano proiettivo reale, una superficie non orientabile che, come la bottiglia di Klein, non può essere contenuta nello spazio.
Infine, a seconda dei contesti, si può indicare col terminesuperficie strutture con caratteristiche diverse da quelle citate sopra; ad esempio, si può chiamare brevemente superficie un'ipersuperficie in unospazio euclideo (o in unavarietà differenziabile), cioè una varietà di dimensione inferiore a quella dello spazio ambiente (ma non necessariamente 2), talvolta si parla anche disuperfici frattali, indicandostrutture frattali costruite a partire da una superficie, ma che, in definitiva, non ne conservano alcuna caratteristica specifica.
In topologia vengono considerate spesso anche lesuperfici di tipo finito, ottenute a partire dalle superfici compatte rimuovendo un numero finito di punti e creando così dellepunture. Una superficie con punture non è mai compatta. Analogamente alle superfici compatte, quelle di tipo finito sono classificate da quattro parametri: il genere, il numero di componenti di bordo, l'orientabilità e il numero di punture.
^In questo caso la differenziabilità è sufficiente per ottenere un oggetto liscio.
^In alcuni contesti si chiede che la superficie sia "senza bordo": con la definizione data in questa voce, questa ulteriore condizione non è necessaria.
