Inmatematica, lospazio topologico è l'oggetto base dellatopologia. Si tratta di un concetto molto generale di spazio, accompagnato da una nozione di "vicinanza" definita nel modo più debole possibile. In questo modo molti degli spazi comunemente usati in matematica (come lospazio euclideo o glispazi metrici) sono spazi topologici. Intuitivamente, ciò che caratterizza uno spazio topologico è la sua forma, non la distanza fra i suoi punti, che può non essere definita.
Nel corso della storia sono state proposte varie definizioni di spazio topologico, e c'è voluto tempo per arrivare a quella generalmente usata oggi: benché possa sembrare piuttosto astratta, si adatta a tutti i concetti alla base della topologia.
Nell'analisi matematica lo studio delle nozioni dilimite econtinuità nell'insieme deinumeri reali e neglispazi euclidei si avvale dell'introduzione del concetto diintorno e del concetto strettamente collegato diinsieme aperto. La nozione di convergenza e di continuità possono essere espresse in termini del solo concetto diinsieme aperto.
Con la nozione dispazio topologico si cerca di individuare le proprietà fondamentali dei concetti che permettono di definire una nozione dicontinuità, in qualche modo analoga a quella che si ha per gli spazi euclidei, e considerare quindi un'idea astratta dispazio che verifichi solo queste proprietà fondamentali.
La famiglia degli insiemi aperti di (o di qualunque altrospazio euclideo) soddisfa le seguenti tre condizioni:
Queste tre condizioni sono necessarie e sufficienti per dimostrare diversi risultati importanti, come la preservazione dellacompattezza e dellaconnessione da parte dellefunzioni continue. Per questo motivo esse vengono assunte come le proprietà fondamentali che unospazio topologico astratto deve verificare.
Gli aperti di unospazio euclideo godono naturalmente di molte altre proprietà, che tuttavia in questo contesto astratto non sono richieste, in modo da garantire un maggiore livello di generalità, pur permettendo di ottenere dei risultati significativi. Successivamente gli spazi topologici definiti in questa massima generalità vengono classificati in base a ulteriori proprietà che possono renderli più o meno "simili" a spazi euclidei.
Si definiscetopologia una collezione disottoinsiemi di uninsieme tali che:[1]
Uno spazio topologico è una coppia, dove è un insieme e una topologia. In uno spazio topologico gli insiemi che costituiscono si diconoaperti in.[1]
I complementari degli insiemi aperti sono dettichiusi, sempre in analogia con gliinsiemi chiusi di
Inoltre dalla terza condizione di topologia, e per induzione, si deduce che l'intersezione di un numero finito di insiemi appartenenti a appartiene a.
Si dice che la collezione di aperti è una topologia per. Se dal contesto è chiaro di che topologia si sta parlando, per brevità si indica lo spazio solo con il nome dell'insieme.
Definizioni equivalenti (sebbene poco usate) possono essere date attraverso la collezione deichiusi (ossia dei complementari degli aperti), oppure attraverso le proprietà degliintorni, o ancora attraverso l'operazione dichiusura (si vedano gliassiomi di chiusura di Kuratowski).
Questa definizione, meno usata della definizione tramite aperti, fa uso della definizione difiltro su un insieme e risulta per certi versi più usata inanalisi matematica.
Uno spazio topologico è una coppia con
viene dettafamiglia d'intorni del punto o topologia del punto, mentre viene dettointorno del punto.
Consideriamo l'insieme.
Lo stesso argomento in dettaglio:Relazione di finezza.Un insieme fissato ammette in generale numerose topologie differenti. Ad esempio:
Qui è l'insieme delle parti di. Quindi nella topologia banale solo e sono aperti, mentre in quella discreta tutti i sottoinsiemi sono aperti.
Due topologie su un insieme sonoconfrontabili se una delle due è sottoinsieme dell'altra. Se contiene, la topologia è topologia più fine di.
Ad esempio, su la topologia è più fine di.
L'insieme di tutte le topologie su forma con questa relazione uninsieme parzialmente ordinato, in cui le topologie banale e discreta sono rispettivamente la meno fine e la più fine di tutte.
Oltre alla definizione data all'inizio, ne esiste un'altra equivalente e altrettanto attuale, anche se meno comune, che determina la topologia in termini dichiusi. Se partiamo dagli aperti, chiameremo chiusi i sottoinsiemi che hanno complementare aperto. Se partiamo dai chiusi saranno aperti quelli che hanno complementare chiuso.
Partendo dalla definizione data all'inizio dimostriamo le tre proprietà che caratterizzano i chiusi:
Se prendiamo queste tre proposizioni come proprietà che deve soddisfare una collezione di sottoinsiemi per essere una topologia, abbiamo la definizione basata sui chiusi.
Notiamo che un sottoinsieme può essere chiuso, aperto, sia aperto sia chiuso, né aperto né chiuso.
Introduciamo qui alcuni concetti chiave, definiti in ogni spazio topologico.
Lo stesso argomento in dettaglio:Intorno.Un insieme contenente un punto di è unintorno di se esiste un aperto con
Sia un sottoinsieme di. Lachiusura di è il più piccolo insieme chiuso che contiene (definito come l'intersezione di tutti i chiusi che lo contengono). Analogamente, laparte interna di è l'aperto più grande contenuto in. Chiusura e parte interna vengono rispettivamente indicati nel modo seguente
La chiusura di è anche indicata con. Lafrontiera di è infine definita come
Lo stesso argomento in dettaglio:Spazio di Hausdorff.Il matematicoHausdorff definì un suo concetto di spazio topologico, basato su una definizione assiomatica diintorno di un punto. Gli intorni devono soddisfare i seguenti assiomi, chiamati successivamenteassiomi di Hausdorff:
Uno spazio con queste proprietà prende il nome dispazio di Hausdorff.
Equivalentemente, uno spazio di Hausdorff è uno spazio topologico che soddisfa l'assioma di separazione (per due punti distinti e, esistono dueintorni disgiunti e, ovvero il quinto assioma di Hausdorff).
A volte serve usare gli strumenti della topologia, ma non è disponibile un "insieme di punti". Si può allora ricorrere allatopologia formale, basata sull'ordinamento e la convergenza di insiemi aperti come fondamento teorico; mentre letopologie di Grothendieck sono strutture particolari definite sucategorie formali che permettono la definizione difasci su tali categorie, e con esse la definizione di teorie dicoomologia molto generali.
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