Intopologia, unospazio sequenziale è unospazio topologico che soddisfa unassioma di numerabilità piuttosto debole. Gli spazi sequenziali costituiscono la più generale classe di spazi topologici per la quale le successioni di punti caratterizzano completamente la topologia.
Uno spazio topologicoX si dicespazio sequenziale quando uninsieme
è chiuso se e solo se per ognisuccessione inA che converge inX, il suo limite appartiene adA.[1]
SiaX unospazio topologico.
- Un sottoinsiemeU diX si dicesequenzialmente aperto, oaperto per successioni, se ogni successione (xn) di punti diX convergente ad un punto diU èdefinitivamente inU (cioè esiste almeno un intero positivoN tale chexn appartiene adU per ognin ≥N.)
- Un sottoinsiemeA diX si dicesequenzialmente chiuso, ochiuso per successioni, se, per ogni successione (xn) inA che converge a
, allorax appartiene adA.
Ilcomplemento di un insieme sequenzialmente aperto è un insieme sequenzialmente chiuso, e viceversa.
Si dimostra che ogni sottoinsieme aperto diX è sequenzialmente aperto e che ogni sottoinsieme chiuso diX è sequenzialmente chiuso. In generale, queste proposizioni non ammettono l'inverso.
In modo equivalente, unospazio sequenziale è uno spazio topologicoX che soddisfa una delle seguenti condizioni equivalenti:
- Ogni sottoinsieme sequenzialmente aperto diX è aperto.
- Ogni sottoinsieme sequenzialmente chiuso diX è chiuso.
- ^(EN) Engelking, R.,General Topology, PWN, Warsaw, (1977), pagina 53.
- (EN) Arkhangel'skii, A.V. and Pontryagin, L.S.,General Topology I, Springer-Verlag, New York (1990)ISBN 3-540-18178-4.
- (EN) Booth, P.I. and Tillotson, A.,Monoidal closed, cartesian closed and convenient categories of topological spaces Pacific J. Math., 88 (1980) pp. 35–53.
- (EN) Engelking, R.,General Topology, PWN, Warsaw, (1977).
- (EN) Franklin, S. P., "Spaces in Which Sequences Suffice", Fund. Math.57 (1965), 107-115.
- (EN) Franklin, S. P., "Spaces in Which Sequences Suffice II", Fund. Math.61 (1967), 51-56.
- (EN) Goreham, Anthony, "Sequential Convergence in Topological Spaces"
- (EN) Steenrod, N.E.,A convenient category of topological spaces, Michigan Math. J., 14 (1967), 133-152.
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