Inmatematica efisica, unospazio di de Sitter è l'analogo, nellospaziotempo di Minkowski, di una sfera nell'ordinariospazio euclideo. Uno spazio di de Sittern-dimensionale, denotato dS_n, è lavarietà lorentziana analoga ad unan-sfera (con la sua metrica Riemanniana canonica); esso è massimamente simmetrico, ha una curvatura scalare costante e positiva ed è semplicemente connesso pern ≥3. Lo spazio de Sitter, così come lospazio anti de Sitter prende il nome daWillem de Sitter (1872–1934), professore di astronomia allaUniversità di Leida e direttore dell'Osservatorio di Leida.Willem de Sitter eAlbert Einstein lavorarono insieme negli anni 20 del 900 aLeida sulla struttura spazio-temporale dell'universo.

Nel linguaggio dellarelatività generale, lo spazio di de Sitter è una soluzione di vuoto massimamente simmetrica delleequazioni di campo di Einstein, avente unacostante cosmologica positiva (repulsiva)${\displaystyle \mathrm{\Lambda }}$ (corrispondente ad una densità dienergia del vuoto positiva e pressione negativa). Nel cason = 4 (3 dimensioni spaziali più tempo), esso è il modello cosmologico dell'universo fisico, dettouniverso di de Sitter.

Lo spazio di de Sitter fu formulato indipendentemente e contemporaneamente daWillem de Sitter^[1][2] eTullio Levi-Civita^[3].

Lo spazio di de Sitter può essere definito come unasottovarietà di unospazio di Minkowski aumentato di unadimensione. Si consideri lo spazio di MinkowskiR^1,n con la metrica standard:

${\displaystyle d{s}^2=-d{x}_0^2+\sum _{i=1}^{n}d{x}_i^2.}$

Lo spazio di de Sitter dS_n è la sottovarietà descritta da uniperboloide a una falda

${\displaystyle -x_0^2+\sum _{i=1}^n{x}_i^2={\alpha }^2,}$

dove${\displaystyle \alpha }$ è una costante positiva.

Lametrica standard

${\displaystyle d{s}^2=-d{x}_0^2+\sum _{i=1}^{n}d{x}_i^2}$

dello spazio ambienteR^1,n induce sulla sottovarietà di de Sitter una forma bilinearenon degenere che ha ancora segnatura lorentziana. Lo spazio di de Sitter è dunque unavarietà pseudo-riemanniana.

Lo spazio di De Sitter può anche essere definito come ilquoziente topologicoO(1,n)/O(1,n−1) di duegruppi pseudo ortogonali, e questo mostra che esso è una varietà pseudo-Riemanniana simmetrica.

Dal punto di vistatopologico, lo spazio di de Sitter è ilprodottoR ×Sⁿ⁻¹ (per cui sen ≥ 3 allora lo spazio di de Sitter risulta semplicemente connesso).

Il gruppo di isometrie dello spazio de Sitter è il gruppo di Lorentz O(1,n). La metrica ha quindin(n + 1)/2vettori di Killing indipendenti ed è al massimamente simmetrica. Ogni spazio massimamente simmetrico ha curvatura costante. Iltensore di curvatura di Riemann per de Sitter è dato da

${\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }=\frac{1}{{\alpha }^2}(g_{\rho \mu }{g}_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }{g}_{\sigma \mu })}$

Lo spazio di de Sitter è una varietà di Einstein poiché iltensore di Ricci è proporzionale alla metrica:

${\displaystyle R_{\mu \nu }=\frac{n-1}{{\alpha }^2}{g}_{\mu \nu }}$

Ciò significa che lo spazio di de Sitter è unasoluzione del vuoto delle equazioni di campo di Einstein, avente unacostante cosmologica positiva data da:

${\displaystyle \mathrm{\Lambda }=\frac{(n-1)(n-2)}{2{\alpha }^2}.}$

Lacurvatura scalare dello spazio di de Sitter è data da:

${\displaystyle R=\frac{n(n-1)}{{\alpha }^2}=\frac{2n}{n-2}\mathrm{\Lambda }.}$

Per il cason = 4, abbiamo Λ = 3/α² eR = 4Λ = 12/α².

Si possono introdurre dellecoordinate statiche${\displaystyle (t,r,\dots )}$ per lo spazio de Sitter come segue:

${\displaystyle x_0=\sqrt{{\alpha }^2-r^2}\sinh (t/\alpha )}$

${\displaystyle x_1=\sqrt{{\alpha }^2-r^2}\cosh (t/\alpha )}$

${\displaystyle x_i=r{z}_{i}2\le i\le n,}$

dove le coordinate${\displaystyle z_i}$ realizzano l'immersione canonica della (n−2)-sfera inRⁿ⁻¹. In queste coordinate la metrica de Sitter prende la forma:

${\displaystyle d{s}^2=-\left(1-\frac{r^2}{{\alpha }^2}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{r^2}{{\alpha }^2}\right)}^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}_{n-2}^2.}$

È interessante notare che è presente unorizzonte cosmologico per${\displaystyle r=\alpha }$.

Posto

${\displaystyle x_0=\alpha \sinh (t/\alpha )+r^2{e}^{t/\alpha }/2\alpha ,}$

${\displaystyle x_1=\alpha \cosh (t/\alpha )-r^2{e}^{t/\alpha }/2\alpha ,}$

${\displaystyle x_i=e^{t/\alpha }{y}_i,2\le i\le n}$

dove${\displaystyle r^2=\sum _i{y}_i^2}$. Allora in coordinate metriche${\displaystyle (t,y_i)}$:

${\displaystyle d{s}^2=-d{t}^2+e^{2t/\alpha }d{y}^2}$

dove${\displaystyle d{y}^2=\sum _{i}d{y}_i^2}$ è la metrica piatta${\displaystyle y_i}$.

Posto

${\displaystyle x_0=\alpha \sinh (t/\alpha )\cosh \xi ,}$

${\displaystyle x_1=\alpha \cosh (t/\alpha ),}$

${\displaystyle x_i=\alpha z_i\sinh (t/\alpha )\sinh \xi ,2\le i\le n}$

dove${\displaystyle \sum _i{z}_i^2=1}$ descrive${\displaystyle S^{n-2}}$ con la metrica standard${\displaystyle \sum _{i}d{z}_i^2=d{\mathrm{\Omega }}_{n-2}^2}$. Allora la metrica de Sitter si legge:

${\displaystyle d{s}^2=-d{t}^2+{\alpha }^2{\sinh }^2(t/\alpha )d{H}_{n-1}^2,}$

dove

${\displaystyle d{H}_{n-1}^2=d{\xi }^2+{\sinh }^2\xi d{\mathrm{\Omega }}_{n-2}^2}$

è la metrica di uno spazio Euclideo iperbolico.

Posto

${\displaystyle x_0=\alpha \sinh (t/\alpha ),}$

${\displaystyle x_i=\alpha \cosh (t/\alpha )z_i,1\le i\le n}$

dove${\displaystyle z_i}$s descrive${\displaystyle S^{n-1}}$. La metrica si legge:

${\displaystyle d{s}^2=-d{t}^2+{\alpha }^2{\cosh }^2(t/\alpha )d{\mathrm{\Omega }}_{n-1}^2.}$

Cambiando la variabile tempo al tempo conformazionale tramite${\displaystyle \tan (\eta /2)=\tanh (t/2\alpha )}$ si ottiene una metrica equivalente auniverso statico di Einstein:

${\displaystyle d{s}^2=\frac{{\alpha }^2}{{\cos }^2\eta }(-d{\eta }^2+d{\mathrm{\Omega }}_{n-1}^2).}$

Questo serve per trovare ildiagramma di Penrose dello spazio de Sitter.

Posto

${\displaystyle x_0=\alpha \sin (\chi /\alpha )\sinh (t/\alpha )\cosh \xi ,}$

${\displaystyle x_1=\alpha \cos (\chi /\alpha ),}$

${\displaystyle x_2=\alpha \sin (\chi /\alpha )\cosh (t/\alpha ),}$

${\displaystyle x_i=\alpha z_i\sin (\chi /\alpha )\sinh (t/\alpha )\sinh \xi ,3\le i\le n}$

dove${\displaystyle z_i}$s descrive${\displaystyle S^{n-3}}$. La metrica si legge:

${\displaystyle d{s}^2=d{\chi }^2+{\sin }^2(\chi /\alpha )d{s}_{dS,\alpha ,n-1}^2,}$

dove

${\displaystyle d{s}_{dS,\alpha ,n-1}^2=-d{t}^2+{\alpha }^2{\sinh }^2(t/\alpha )d{H}_{n-2}^2}$

è la metrica di uno spazio${\displaystyle n-1}$ dimensionale de Sitter con raggio di curvatura${\displaystyle \alpha }$ in coordinate aperte. La metrica iperbolica è data da:

${\displaystyle d{H}_{n-2}^2=d{\xi }^2+{\sinh }^2\xi d{\mathrm{\Omega }}_{n-3}^2.}$

Questa è lacontinuazione analitica del taglio di coordinate aperto sotto${\displaystyle (t,\xi ,\theta ,{\varphi }_1,{\varphi }_2,\cdots ,{\varphi }_{n-3})\to (i\chi ,\xi ,it,\theta ,{\varphi }_1,\cdots ,{\varphi }_{n-4})}$ anche commutando${\displaystyle x_0}$ and${\displaystyle x_2}$ perché cambiano la loro natura spazio temporale.

• (EN) Qing Ming Cheng Cheng,De Sitter space, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Heidelberg-New York, Springer, 2001,ISBN 978-1-55608-010-4.
• (EN)Katsumi Nomizu,The Lorentz–Poincaré metric on the upper half-space and its extension, inHokkaido Mathematical Journal, vol. 11, n. 3, 1982, pp. 253-261.
• (EN)H. S. M. Coxeter,A geometrical background for de Sitter's world, inAmerican Mathematical Monthly, vol. 50, n. 4, Mathematical Association of America, 1943, pp. 217-228,DOI:10.2307/2303924,JSTOR 2303924.
• Bang-Yen Chen,Pseudo-Riemannian Geometry, [delta]-invariants and Applications, World Scientific Publisher, 2011,ISBN 978-981-4329-63-7.

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