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Sfera

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Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vediSfera (disambigua).
Sfera generata al computer
Sfera generata al computer

Lasfera (dalgreco antico:σφαῖρα?,sphaîra) è il solidogeometrico costituito da tutti i punti che sono a distanza minore o uguale a una distanza fissatar{\displaystyle r}, dettaraggio della sfera, da un puntoO{\displaystyle O} dettocentro della sfera.

L'insieme dei punti la cui distanza è eguale ar{\displaystyle r} è dettosuperficie sferica di centroO{\displaystyle O} e raggior{\displaystyle r}. È detta "semisfera" ciascuna delle metà di un solido sferico diviso in due da un piano passante per il centro o anche ciascuna delle due superfici di una sfera divisa da una sua circonferenza massima.

Rappresentazione analitica

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Ingeometria cartesiana, una superficie sferica con centro(x0,y0,z0){\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} e di raggior{\displaystyle r} è rappresentata dall'insieme di punti(x,y,z){\displaystyle (x,y,z)} tali che

(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=r2.{\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}

I punti della superficie sferica possono essere parametrizzati incoordinate sferiche nel modo seguente

{x=x0+rsin⁡ϑcos⁡φy=y0+rsin⁡ϑsin⁡φz=z0+rcos⁡ϑ{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \vartheta \cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \vartheta \sin \varphi \\z&=z_{0}+r\cos \vartheta \end{aligned}}\right.}

doveϑ{\displaystyle \vartheta } eφ{\displaystyle \varphi } rappresentano lalatitudine e lalongitudine del punto, variando negli intervalli

0≤ϑ≤π,−π≤φ<π.{\displaystyle 0\leq \vartheta \leq \pi ,\quad -\pi \leq \varphi <\pi .}

Ogni punto della superficie sferica è descritto da una sola coppia(ϑ,φ){\displaystyle (\vartheta ,\varphi )} di questo tipo, tranne i poli: la coppia(0,φ){\displaystyle (0,\varphi )} descrive sempre il polo nord, e(π,φ){\displaystyle (\pi ,\varphi )} sempre il polo sud (per qualsiasi valore diφ{\displaystyle \varphi }).

Alternativamente si può utilizzare l'equazione cartesiana della superficie sferica:

x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+by+cz+d=0}

cona{\displaystyle a},b{\displaystyle b},c{\displaystyle c},d{\displaystyle d},numeri reali tali chea2+b2+c2−4d>0{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}-4d>0}. Dall'equazione cartesiana si possono ricavare le coordinate del centro:

C(−a2;−b2;−c2).{\displaystyle C\left(-{\dfrac {a}{2}};-{\dfrac {b}{2}};-{\dfrac {c}{2}}\right).}

Superficie

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L'area della superficie di una sfera di raggioR{\displaystyle R} è data dall'equazione:

A=4πR2.{\displaystyle A=4\pi R^{2}.}

Dimostrazione analitica in coordinate cartesiane

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La sfera può essere pensata come unsolido di rotazione ottenuto ruotando attorno all'assex{\displaystyle x} il grafico della funzione

f(x)=R2−x2,{\displaystyle f(x)={\sqrt {R^{2}-x^{2}}},}

che rappresenta una semicirconferenza di raggioR{\displaystyle R}. Pertanto, per ilprimo teorema di Guldino, la superficie laterale è data da:

A=2π∫−R+Rf(x)1+[f′(x)]2dx=2π∫−R+RR2−x2RR2−x2dx=2π∫−R+RRdx=2πR(R+R)=4πR2.{\displaystyle A=2\pi \int _{-R}^{+R}f(x){\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx=2\pi \int _{-R}^{+R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}{\frac {R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{-R}^{+R}R\,dx=2\pi R(R+R)=4\pi R^{2}.}

Dimostrazione analitica in coordinate polari

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La superficie totale della sfera si può ottenere, per ilprimo teorema di Guldino, tramite il seguente integrale:

A=2π∫0πR2sin⁡ϑdϑ=2πR2(−cos⁡π+cos⁡0)=4πR2.{\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{\pi }R^{2}\sin \vartheta \,d\vartheta =2\pi R^{2}(-\cos \pi +\cos 0)=4\pi R^{2}.}

Volume

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Ilvolume della sfera di raggioR{\displaystyle R} è dato dall'equazione (integrale indR{\displaystyle dR} della superficie):

V=AR3=4πR33.{\displaystyle V={\frac {AR}{3}}={\frac {4\pi R^{3}}{3}}.}

La dimostrazione di questa formula può essere ottenuta in modo immediato usando ilmetodo degli indivisibili oppure con gli strumenti nell'analisi matematica.

Dimostrazione analitica

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Si pensi di sommare tutte le aree dei cerchi che si ottengono sezionando la sfera con dei piani orizzontali. Il raggio di questi cerchi varierà con una funzionef(l){\displaystyle f(l)} della distanza del piano orizzontale dal centro della sfera e dato che l'area di un cerchio equivale aπ{\displaystyle \pi } per il raggio al quadrato:

V=∫−R+Rπf2(l)dl,{\displaystyle V=\int _{-R}^{+R}\pi f^{2}(l)\,dl,}

dovel{\displaystyle l} appunto è la distanza del piano dal centro della sfera.

Raggio alla distanzax{\displaystyle x}

s=r2−x2.{\displaystyle s={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.}

Dunque, dalteorema di Pitagora,f(l){\displaystyle f(l)} vale:

f(l)=R2−l2{\displaystyle f(l)={\sqrt {R^{2}-l^{2}}}}

che, sostituita nell'equazione del volume, si trova:

V=∫−R+Rπ(R2−l2)dl=π∫−R+RR2dl−π∫−R+Rl2dl=2πR3−23πR3=43πR3.{\displaystyle V=\int _{-R}^{+R}\pi (R^{2}-l^{2})\,dl=\pi \int _{-R}^{+R}R^{2}\,dl-\pi \int _{-R}^{+R}l^{2}\,dl=2\pi R^{3}-{\frac {2}{3}}\pi R^{3}={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.}

Allo stesso modo si può calcolare il volumeVKS{\displaystyle V_{\mathrm {KS} }} di un segmento di sfera di altezzah{\displaystyle h}

VKS=∫r−hrAxdx=r2π[x]r−hr−13π[x3]r−hr{\displaystyle V_{\mathrm {KS} }=\int _{r-h}^{r}{A_{x}dx}=r^{2}\pi \left[x\right]_{r-h}^{r}-{1 \over 3}\pi \left[{x^{3}}\right]_{r-h}^{r}}
VKS=r2π[r−(r−h)]−13π[r3−(r−h)3]=πr2h−13π[r3−(r3−3r2h+3rh2−h3)]{\displaystyle V_{\mathrm {KS} }=r^{2}\pi \left[r-(r-h)\right]-{1 \over 3}\pi \left[r^{3}-(r-h)^{3}\right]=\pi r^{2}h-{\frac {1}{3}}\pi \left[r^{3}-(r^{3}-3r^{2}h+3rh^{2}-h^{3})\right]}
VKS=πr2h−πr2h+πrh2−13πh3=πh23(3r−h).{\displaystyle V_{\mathrm {KS} }=\pi r^{2}h-\pi r^{2}h+\pi rh^{2}-{1 \over 3}\pi h^{3}={\pi h^{2} \over 3}(3r-h).}

Dimostrazione tramite infinitesimi

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La sfera può anche essere intesa come l'insieme di numerosepiramidiinfinitesime, tutte con il vertice nel centro della sfera e con ipoligoni di base delle piramidi che poggiano sulla superficie della sfera: queste infinite piramidi elementari riempiranno tutto e solo il volume della sfera. Il volume di ogni piramide è:

area di base⋅altezza3{\displaystyle {\frac {{\mbox{area di base}}\cdot {\mbox{altezza}}}{3}}}

mentre il volume complessivo è uguale a

area della sfera⋅raggio della sfera3{\displaystyle {\frac {{\mbox{area della sfera}}\cdot {\mbox{raggio della sfera}}}{3}}}

dal quale si desume il significato della formula per il volume della sfera.

Altre proprietà

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La sfera è la figura tridimensionale con il minimo rapporto superficie/volume: ciò spiega perché a tale forma tendono molti oggetti fisici, dalle gocce di liquido ai corpi celesti. Ad esempio, le bolle sono sferiche perché latensione superficiale tende a minimizzare l'area a parità di volume.

Ilcilindro circoscritto ha un volume che è3/2{\displaystyle 3/2} quello della sfera, ed una superficie laterale che è la stessa di quella della sfera. Questo fatto, e le formule scritte sopra, erano già noti adArchimede.

Con l'aumentare del raggio, il volume della sfera cresce più della superficie. Infatti il rapporto fra queste due quantità èR/3{\displaystyle R/3}.

Una sfera può anche essere definita come formata da unsemicerchio che ruota intorno al suodiametro. Se si usa unaellisse, si ottiene unellissoide di rotazione.

Terminologia

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Due punti della superficie sferica che stanno sulla stessa retta passante per l'origine sono dettiantipodali, e una tale retta è dettaasse, poiché è unasse di simmetria della sfera.

Uncerchio massimo è una circonferenza avente lo stesso centro della sfera, ottenuta quindi intersecando la superficie sferica con un piano passante per l'origine.

Se un punto della superficie sferica è identificato comepolo nord, il suo antipodale è ilpolo sud e l'equatore è il cerchio massimo equidistante dai due poli. I cerchi massimi passanti per i poli sono imeridiani, mentre la linea retta passante per l'origine ed i due poli è l'asse. Questa terminologia è usata anche per i corpi celesti come laTerra, anche se non perfettamente sferici.

Generalizzazioni ad altre dimensioni

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Lo stesso argomento in dettaglio:Ipersfera.

La sfera può essere generalizzata in altredimensioni. Per ogninumero naturalen{\displaystyle n}, unasferan{\displaystyle n}-dimensionale è l'insieme dei punti nellospazio euclideo(n+1){\displaystyle (n+1)}-dimensionaleRn+1{\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} che hanno una distanza fissatar>0{\displaystyle r>0} da un certo punto dello spazio.

Ad esempio:

Le sfere di dimensione > 2 sono chiamate ancheipersfere. La sferan{\displaystyle n}-dimensionale di raggio unitario, centrata nell'origine, viene indicata conSn{\displaystyle S^{n}}.

Generalizzazioni in spazi metrici

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Più in generale, in unospazio metrico(E,d){\displaystyle (E,d)}, la sfera di centrox{\displaystyle x} e raggior>0{\displaystyle r>0} è l'insieme

S(x;r)={y∈E|d(x,y)=r}.{\displaystyle S(x;r)=\{y\in E|d(x,y)=r\}.}

Una sfera in uno spazio metrico può essere un oggetto molto diverso dalla sfera usuale. Ad esempio, può essere vuota: se consideriamoZn{\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} con la metrica euclidea, una sfera di raggior{\displaystyle r} è vuota se e solo ser2{\displaystyle r^{2}} non può essere scritto come somma din{\displaystyle n} quadrati.

Formule

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Formule della Sfera
CirconferenzaU=2πr =dAPFdr{\displaystyle U\,=\,2\pi r{\color {OliveGreen}\ ={\frac {\mathrm {d} A_{\mathrm {PF} }}{\mathrm {d} r}}}}
SuperficieAO=4πr2 =dVdr{\displaystyle A_{O}\,=\,4\pi r^{2}\,{\color {OliveGreen}\ ={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}}}
VolumeV=43πr3=∫0rAOdr{\displaystyle V\,=\,{\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A_{O}\mathrm {d} r}
Area di uncerchio massimoAPF=πr2=∫0rUdr{\displaystyle A_{\mathrm {PF} }\,=\,\pi r^{2}=\int _{0}^{r}U\mathrm {d} r}
Volume di un segmento di sferaVKS=h2π3(3r−h){\displaystyle V_{\mathrm {KS} }\,=\,{\frac {h^{2}\pi }{3}}(3r-h)}
Area di unacalotta sfericaAKK=2rhπ=2r2π(1−cos⁡α2){\displaystyle A_{\mathrm {KK} }\,=\,2rh\pi =2r^{2}\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)}
Momento d'inerziaJ=25mr2{\displaystyle J\,=\,{\frac {2}{5}}mr^{2}}

Dove conr{\displaystyle r} si intende il raggio della sfera, conh{\displaystyle h} l'altezza del segmento di sfera o della calotta sferica, conα{\displaystyle \alpha } l'ampiezza insteradianti della calotta.

Ingegneria

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Lo stesso argomento in dettaglio:Chilogrammo § Proposte per la definizione futura.
Sfera campione delprogetto Avogadro

Per quanto si sia avvicinato, l'uomo non è ancora riuscito a produrre alcun oggetto dalla sfericità matematicamente perfetta. Finora il miglior risultato è stato raggiunto dall'Australian Centre for Precision Optics, diLindfield (Australia). La sfera è stata ottenuta attraverso una levigazione ad altissima precisione di una barra di silicio 28 (unisotopo delsilicio) ed è frutto delProgetto Avogadro, che si propone di arrivare alla definizione delchilogrammo perfetto, basata sulla conoscenza dell'esatto numero diatomi che compongono tale sfera.[1] Il suo diametro è di 9,36centimetri e come uniche imperfezioni presenta unarugosità di 0,3nanometri e piccole deviazioni di sfericità di circa 60-70 nanometri. In precedenza, il miglior risultato era stato ottenuto dallaNASA, che per lasondaGravity Probe B, costruita per degli studigravitazionali inorbita, ha creato deigiroscopi con deviazioni inferiori ai 100 nanometri.

Filosofia

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Parmenide paragona l'Essere a una sfera perfetta, sempre uguale a se stessa nello spazio e nel tempo, chiusa e finita (per gliantichi greci il finito era sinonimo di perfezione). La sfera è infatti l'unico solidogeometrico che non ha differenze al suo interno, ed è uguale dovunque la si guardi; l'ipotesi collima suggestivamente con lateoria della relatività diAlbert Einstein che nel1900 dirà:[2] «Se prendessimo unbinocolo e lo puntassimo nello spazio, vedremmo una linea curva chiusa all'infinito» in tutte le direzioni dello spazio, ovvero, complessivamente, una sfera (per lo scienziato infatti l'universo è finito sebbene illimitato, fatto di uno spazio tondo ripiegato su se stesso).[3]

Note

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  1. ^Alla ricerca del chilo perfetto, sucorriere.it.
  2. ^Albert Einstein si espresse tra l'altro in maniera sorprendentemente simile a Parmenide, in quanto anch'egli tendeva a negare la discontinuità deldivenire e il suo svolgimento neltempo. Secondo Popper, «grandi scienziati come Boltzmann, Minkowski, Weyl, Schrödinger, Gödel e, soprattutto, Einstein hanno concepito le cose in modo similare a Parmenide e si sono espressi in termini singolarmente simili» (tratto da Karl Popper,The World of Parmenides, Routledge, 1998,ISBN 9780415237307., trad. it., 1998).
  3. ^«La materia, secondo Einstein, si curverebbe su se stessa, per cui l'universo sarebbe illimitato ma finito, simile ad una sfera, che è illimitatamente percorribile anche se finita. Inoltre Einstein ritiene che non abbia senso chiedersi che cosa esista fuori dell'universo» (Ernesto Riva,Manuale di filosofia, pag. 132, 2007,ISBN 978-1-4092-0059-8).

Voci correlate

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